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18.2.2菱形培優(yōu)訓(xùn)練人教版2024—2025學(xué)年八年級下冊
一、知識梳理 班級：　 　　 姓名：　　 　　
1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是（ ）
A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝AD
第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖
2.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是（ ）
A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
3.如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO．若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為　 　．
4.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊的中點，連接EF，若EF＝，BD＝2，則菱形ABCD的面積為　 　．
5.如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，E為AB的中點，
若P為對角線BD上一動點，則EP＋AP的最小值為　 　．
二、典型例題
例1.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．
例2.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點．過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）證明四邊形ADCF是菱形；
（3）若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面積．
例3.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．
（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；
（2）當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．
例4.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．
三、鞏固練習(xí)
1.下列說法正確的是（　 　）
A．對角線垂直的四邊形是菱形 B．對角線互相平分的四邊形是菱形
C．菱形的對角線相等且互相平分 D．菱形的對角線互相垂直且平分
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，則平行四邊形ABCD的周長為（　 　）
A．4 B．6 C．8 D．12
第2題圖 第3題圖 第4題圖
3．如圖，已知四邊形ABCD的四邊都相等，等邊△AEF的頂點E、F分別在BC、CD上，且AE=AB，則∠C=（　 　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
4．如圖，將兩條寬度都為3的紙條重疊在一起，使∠ABC=60°，則四邊形ABCD的面積為　 　．
5．一個平行四邊形的一條邊長為3，兩條對角線的長分別為4和2，則它的面積為　 　．
6．如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2=　 　．
第6題圖 第7題圖
7．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BC交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連接BE分別交AC、AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論中一定成立的是　 　．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）
①OG=AB； ②與△EGD全等的三角形共有5個；
③S四邊形CDGF＞S△ABF； ④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．
8．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥DC，AB=DC，E，F(xiàn)，M，N分別是AD，BC，BD，AC的中點．猜想EF與MN的關(guān)系，并證明．
9．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF．
（1）求證：BD=DF；
（2）求證：四邊形BDFG為菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四邊形BDFG的周長．
10．已知：∠1=∠2，3=∠4，過點P作PD∥BC交直線AB于點D，交直線AC于點H，PK∥AC交直線BC于點K，請你解答下列問題：
（1）如圖1，求證：BD=DH﹣PK；
（2）如圖2、3，DH、PK、BD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想，不需要證明；
（3）在（1）（2）的條件下，若DB=10，CH=4，則DH=　 　．

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