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y=ax +bx+c的圖象與性質 拋物線與x軸的交點問題熱點考點選擇題 歸類練 2025年中考數學一輪復習備考
一、單選題
1．已知二次函數的圖象與軸交于點，其對稱軸與軸交于點，當、之間的距離最小時，下列選項中關于該二次函數的結論正確的是（ ）
A．該二次函數的最小值為 B．圖象與軸的另一個交點是
C．圖象的頂點位于第四象限 D．圖象不經過第三象限
2．若拋物線與y軸交于點，則c的值為（ ）
A．3 B． C． D．5
3．拋物線與軸的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．拋物線與y軸的交點為（ ）
A． B． C． D．
5．二次函數與軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，二次函數的圖像與x軸交于，兩點，其對稱軸經過點，下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．
C．方程 有兩個實數根
D．二次函數 的頂點坐標為
7．拋物線的對稱軸為，與軸的一個交點坐標為，與y軸交于點，其部分圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．當時，
C．
D．關于的方程有兩個不等的實數根
8．如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題是真命題的是（ ）
A．當時，
B．若，則
C．當時y有最大值
D．拋物線上有兩點和，若，且，則
9．如圖，二次函數的圖象與x軸負半軸交于，對稱軸為直線，有以下結論，其中結論正確的是（ ）
A．
B．
C．若點，，均在函數圖象上，則
D．對于任意實數m，都有
10．已知拋物線（a、b、c為常數，）經過點，，其對稱軸在y軸左側，下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B．方程沒有實數根
C． D．
11．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，，，與y軸交點C的縱坐標在之間（不包含3和4），如圖，根據圖象判斷以下結論中不正確的是（ ）
A．
B．
C．拋物線的頂點坐標為
D．若，則
12．如圖，二次函數的圖象與x軸負半軸交于，頂點坐標為，有以下結論：①；②；③若點，，，均在函數圖象上，則；④對于任意m都有；⑤點M，N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P，使得，則a的范圍為．其中結論正確的有（ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
13．如圖，二次函數的圖象與x軸交于兩點，，其中．以下四個結論：①；②；③；④，正確的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
參考答案
1．A
此題考查了二次函數的圖象和性質，求出點，，得到，當時，、之間的距離最小，此時，進一步即可判斷各選項，得到答案．
解：當時，，
對稱軸為直線，
∴點，，
∴，
當時，、之間的距離最小，此時，
即最小值為，故選項A正確，
當時，，解得，
∴圖象與軸的另一個交點是，故選項B錯誤，
∵開口向上，與y軸交于點，頂點為，位于第三象限，故選項C不正確，
∴圖象經過第三象限，故選項D錯誤．
故選：A
2．C
本題主要考查二次函數的圖象與性質，令，求出的值即可．
解：∵，
∴當時，，
∴，
故選：C
3．D
本題考查了拋物線與坐標軸的交點問題，把代入函數解析式求出的值即可求解，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
解：當時，，
∴拋物線與軸的交點坐標為，
故選：．
4．B
本題考查了二次函數與坐標軸的交點，熟練掌握拋物線與y軸交點的橫坐標為0是解題的關鍵．
求出當時y的值，即可得出拋物線與y軸的交點坐標．
解：在中，
當時，，
∴拋物線與軸交點的坐標是，
故選：B．
5．A
本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，由二次函數得，當時，，從而求解，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
解：由二次函數，當時，，
∴與軸的交點坐標是，
故選：．
6．D
本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵；
根據二次函數的圖像和性質即可求解；
解：A、當時，根據函數圖象可得：；
故該選項錯誤；
B、∵對稱軸經過點，
∴，
故該選項錯誤；
C、二次函數的圖像與x軸交于，兩點，
將，代入中，
可得：，
解得：，
函數解析式為：
將代入，
可得：，
即，
，，，
，故方程沒有實數根，
該選項錯誤；
D、，故二次函數 的頂點坐標為，
該選項正確；
故選：D
7．C
由拋物線的對稱軸是直線，據此即可判斷結論C；根據軸對稱的性質及中點坐標公式，可求出拋物線與x軸的另一個交點坐標為，據此即可判斷結論A；由一元二次方程根與系數的關系可得，解得，進而可得拋物線開口向下，利用圖象法解一元二次不等式，據此即可判斷結論B；代入、、的值將方程變形為，利用因式分解法解一元二次方程，據此即可判斷結論D；綜上，即可得出答案．
解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴對稱軸為直線，
∴，故結論C錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，與y軸交于點，，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，，
∴拋物線與x軸有兩個不同交點，的兩個根為，，
∴，，
解得：，
∴拋物線開口向下，
∴當時，，故結論A，結論B正確；
∵，
∴方程變形為，
∵，，
∴，
∴方程變形為，
解得：，，故結論D正確；
8．D
本題考查了判斷命題真假，二次函數的圖象性質．解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象性質．
利用拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍可對A進行判斷；先求出拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性可對B進行判斷；根據頂點式判定當時，y的最大值對C進行判斷；先求出拋物線的對稱軸方程，然后比較點P和Q到對稱軸的距離大小，則根據二次函數的大小可對D進行判斷．
解：A、由圖象可得，當時，；當時，，所以原命題是假命題，故此選項不符合題意；
B、拋物線的對稱軸為直線，當時，則，即，所以原命題是假命題，故此選項不符合題意；
C、拋物線的圖象開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，所以當時y有最大值，所以原命題是假命題，故此選項不符合題意；
D、拋物線的對稱軸為直線，當時，則點P、Q在對稱軸的兩旁，又因為，所以點Q離對稱軸較遠，所以，所以命題是真命題，故此選項符合題意；
故選：D．
9．D
本題主要考查了二次函數的圖象與性質，熟練運用二次函數的圖象與性質是解題關鍵．該二次函數的圖象的對稱軸為，則，由圖象可知，，即可判斷A；根據圖象可知，當時，，即可判斷B；根據拋物線開口向上，離對稱軸水平距離越大，值越大，即可判斷C，根據時函數取得最小值，即可判斷D，即可求解．
解：A、∵根據題意，該二次函數的圖象的對稱軸為，
∴，
∴，
由圖象可知，，
∴，
∴，故A不正確；
B、根據圖象可知，當時，，故B不正確；
C、∵拋物線開口向上，離對稱軸水平距離越大，值越大，
又∵，
∴，故C不正確；
D、∵時函數取得最小值，
∴，
∴，故D正確
故選：D．
10．B
根據拋物線的開口向下，對稱軸，拋物線與坐標軸的交點，函數的增減性，利用數形結合思想，計算判斷即可．
本題考查了拋物線的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．
解：∵拋物線的對稱軸在y軸的左側，
∴對稱軸為直線，
∵拋物線（a、b、c為常數，）經過點，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
當時，，解得，此時無解；
當時，，解得，此時取值范圍為，
∴，，
∴，
故A，C選項都正確；
∵拋物線開口向下，與x軸的一個交點坐標為，且在對稱軸的右側，
∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，
∵，且當時，，
∴，
∴，
故D選項正確；
∵，
∴方程，
∵拋物線開口向下，且經過點，
∴拋物線分布在四個象限中，
∴當時，與拋物線一定有兩個不同的交點，
∴方程有實數根，
故B選項錯誤．
故選：B．
11．C
本題考查的是二次函數的圖象與性質，先求解拋物線為，可得，，再進一步結合拋物線的開口方向，對稱軸方程，與y軸交點C的縱坐標在之間，再逐一分析判斷即可.
解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點，，，
設拋物線的解析式為，
∴，，
∴，由圖象知，
∴，
∴，故選項A正確；
當時，，
∴點C的坐標為，
∵點C的縱坐標在之間，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故選項B正確；
∵，
∴拋物線的對稱軸是直線，
∴拋物線的頂點為，
∵，，
∴，，
∴，
∴頂點坐標為，故選項C不正確；
∵，
∴，
∴對于函數，當時的函數值大于當時的函數值，
∵，拋物線的對稱軸是直線，
∴拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大，
∴，
∴，
∴，故選項D正確，
故選：C．
12．B
本題主要考查了二次函數圖象與系數之間的關系，二次函數圖象的性質等等，根據拋物線開口方向可判斷a的取值范圍，由對稱軸的位置及a的符號可判斷b的符合，由拋物線與y軸交點位置可判斷c的符號，從而可判斷①錯誤；由圖象過 及對稱軸可判斷②正確；由拋物線開口向上，離對稱軸水平距離越大，y越大，可判斷③正確；根據函數開口向上，在對稱軸處有最小值，即可判斷④正確；由M，N到對稱軸的距離為，當拋物線的頂點到x軸的距離不小于時，在x軸下方的拋物線上存在點P，使得，即，得可判斷⑤正確．
解：∵函數開口向上，與y軸交于負半軸，
∴，，
∵頂點坐標為，即對稱軸為直線，
，
，
，故①錯誤；
由圖可知，當時，，
，即，故②正確；
拋物線開口向上，
∴離對稱軸距離越大，y越大，
又∵，，，
∴；故③正確；
∵函數開口向上，
∴在對稱軸處函數有最小值，
∴，即故④正確；
由題意可知：M，N到對稱軸的距離為，
當拋物線的頂點到x軸的距離剛好等于時，此時頂點與M、N兩個點恰好構成等腰直角三角形，
∴當拋物線的頂點到x軸的距離大于等于時在x軸下方的拋物線上存在點P，使得，
∴，
把代入解析式得，
∴，
，
，
解得：，故⑤正確；
故選：B．
13．C
本題主要考查了二次函數圖象與其系數的關系，二次函數的性質，二次函數與一元二次方程之間的關系，根據拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與y軸的交點可依次確定a、b、c的符號，進而可判斷①；根據當時，，即即可判斷②；根據當，，整理即可判斷③；根據拋物線經過，可得，再由對稱軸的位置可得，利用不等式變形即可判斷④．
解：①∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線對稱軸在軸的右側，
∴，
∴，
∵拋物線與軸的交點在軸上方，
∴，
∴，故①正確；
②由圖可知：當時，，即，
∴，故②錯誤；
③∵由題意可得：，，
∴，即，
又∵，當時，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，故③正確；
④∵拋物線經過，
∴將代入得：，
∴，
∵，當時，，
∴
∴，
∵，故④正確，
∴正確的有①③④，
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