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二次函數的圖像與性質典型考點 專題練
2025年中考數學一輪復習備考
一、單選題
1．（2023·福建三明·中考）平面直角坐標系中，拋物線與直線上有三個不同的點，，，如果，那么和的關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建莆田·中考）坐標平面上有兩個二次函數的圖像，其頂點、皆在軸上，且有一水平線與兩圖像相交于、、、四點，各點位置如圖所示，若，，，則的長度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2024·福建南平·中考）已知垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點，則的值（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建福州·中考）已知點、，是二次函數圖象上的兩個點，若當時，隨的增大而減小，則 m的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·福建泉州·中考）已知二次函數，將該二次函數在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數圖象如圖所示，當直線與新圖象有個交點時，的值為(　　)

A． B． C．或 D．或
6．（2024·福建·中考真題）已知二次函數的圖象經過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個實數，使得 B．無論實數取什么值，都有
C．可以找到一個實數，使得 D．無論實數取什么值，都有
7．（2024·福建漳州·中考）已知拋物線（m為常數，）與x軸交于點A，B（點A在點B左邊），與y軸交于點C，連接，拋物線的對稱軸與交于點Q，與x軸交于點E，連接，（O為原點），下列結論中錯誤的是（　　）
A． B．拋物線的對稱軸是直線
C．若，則 D．若與相似，則m的值為
8．（2023 ·云南昭通·中考）如圖是二次函數圖象的一部分，函數圖象經過點，是對稱軸，有下列結論：
①；
②；
③；
④．
其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（2022·福建廈門·中考）已知點，，均在拋物線上，其中．若，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川自貢·中考真題）經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
11．（2024·河北邯鄲·中考）已知，二次函數是常數，且的圖象經過，三個點中的兩個點，平移該函數的圖象，使其頂點始終在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點的縱坐標（ ）
A．有最大值為1 B．有最大值為
C．有最小值為1 D．有最小值為
12．（2024·山西·中考）已知拋物線上某些點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：
… 0 …
… p 1 p m …
有以下幾個結論：
①拋物線與軸的交點坐標是；
②拋物線的對稱軸為直線；
③關于x的方程的根為和；
④當時，的取值范圍是．
其中正確的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024·湖北·中考）已知點為拋物線（為常數，）上的兩點，當，時（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
14．（2023 ·湖北黃石·中考）若二次函數的圖象，過不同的六點、、、、、，則、、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
15．（2023·福建泉州·中考）已知拋物線與軸交于A，兩點（點A位于點的左側），是拋物線上的一個動點，若，則所有滿足條件的點的橫坐標之和是________．
16．（2023·福建寧德·中考）已知拋物線的頂點為A，交y軸于點B；拋物線的頂點為C，交y軸于點D．若，且以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為矩形，則 ．
17．（2024·福建廈門·中考）已知拋物線的頂點為點，與軸分別交于點，（點在點左側），拋物線與拋物線關于軸對稱，頂點為點，若四邊形為正方形，則的值為 ．
18．（2024四平·中考）已知上有和兩點．若點A，B都在直線的上方，且，則m的取值范圍是 ．
19．（2023·江蘇無錫·中考真題）二次函數的圖像與x軸交于點、，與軸交于點，過點的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為 ．
20．（2023·湖北武漢·中考）已知函數（為常數）的圖象經過點．下列結論：①；②當時，；③若，則函數圖象與軸有兩個公共點；④若，則當時，隨的增大而增大，其中正確的結論是 （填寫序號）．
參考答案
1．C
根據題意可知，，，為直線與拋物線和直線的交點．
設，在拋物線上，在直線上．
根據題意，得
．
移項，得
．
可得
．
根據題意，得
．
可得
．
則
．
可得
．
故選：C．
2．B
本題考查了二次函數的圖像與性質，線段長度的相關計算，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由，，的長度以及根據二次函數的對稱性可以知道，和，和，和橫坐標的差，從而推出和的橫坐標之差，得到的長度．
由、、、四點在同一水平線，可以知道四點縱坐標相同
，，，
，
又
．
故選：B．
3．C
本題主要考查了二次函數的圖象與性質，求出拋物線關于直線對稱，即可作答．
∵，
∴拋物線關于對稱，
∵垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點，
∴，
故選：C．
4．D
解：∵點、，是二次函數圖象上的兩個點，
∴對稱軸為直線，開口向上，
∵當時，隨的增大而減小，
∴該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側，
∴
解得：，
只有2符合題意，
故選：D．
5．D
，令，則或，則點，二次函數在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方，對應的函數表達式為：，聯立，消去整理得：，令，求得，結合圖象即可求解．
如圖所示，直線在圖示位置時，直線與新圖象有個交點，
，令，則或，則點，
將點的坐標代入并解得：，
二次函數在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方，對應的函數表達式為：，
聯立，消去整理得：，
，
解得：，
當或時，直線與這個新圖象有三個交點，
故選：D．
6．C
解：二次函數解析式為，
二次函數開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，
當時，，
當時，，
，
當時，，
，
故A、B錯誤，不符合題意；
當時，，
由二次函數對稱性可知，，
當時，，由二次函數對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；
故選：C．
7．C
對于拋物線，令，得到，，得到點A，B的坐標，從而判斷選項A；根據拋物線的對稱性及點A，B的坐標，可得拋物線的對稱軸，從而判斷選項B；對于拋物線，令，得到點C坐標，采用待定系數法求出直線的解析式，進而求得點Q的坐標，根據兩點間的距離公式求出，的長，由求出m的值，判斷選項C；由與相似得到或，分別求解得到m的值，判斷選項D．
對于拋物線，令，則，
解得：，，
∵，且點A在點B左邊，
∴，，
∴，，
∴．A選項正確．
∵拋物線與x軸交于點，，
∴對稱軸為．B選項正確．
把代入中，得，
∴，
設直線的解析式為，
∵直線過點，，
∴，解得，
∴線的解析式為，
∴把代入，得，
∴
∵，
∴，
當時，，
解得：．故C選項錯誤；
∵拋物線的對稱軸與x軸交于點E，
∴，
∵，，
∴，，，．
∵與相似，
∴或，
當時，，
解得：或（不合題意，舍去）；
當時，，該方程無解．
故若與相似，則m的值為．D選項正確．
故選：C
8．D
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，即，所以①正確；
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點坐標為，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
∴當時，，
即，所以②正確；
由圖形可知，當時，，
即，所以③正確；
∵，拋物線與x軸的一個交點坐標為
∴，
當時，，所以④正確；
所以正確的結論有個，
故選：D．
9．B
先證得點M(m，y3 )是該拋物線的頂點，根據點，，均在拋物線上，可知該拋物線開口向下對稱軸是直線x =m，從而可以求得m的取值范圍，本題得以解決
拋物線的對稱軸為：，
又，
，
在對稱軸上，
當時，是最小值，這與相矛盾，
此情況不存在，
當時，
，
對稱軸在，點之間且靠近點，則．
即．
故選B．
10．B
解：∵拋物線的對稱軸為直線
∵拋物線經過兩點
∴，
即，
∴，
∵拋物線與軸有交點，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
11．B
解：∵在直線上，
∴點A或點B是拋物線的頂點，
∵點B、C的橫坐標相同，
∴拋物線不會同時經過B、C兩點，
∴該拋物線經過點A、C，
把，代入得：
，
解得：，
∴二次函數解析式為，
∵其頂點始終在直線上，
∴拋物線向左、向下平移的距離相同，
設平移后的拋物線為，
令，則，
∵，
∴平移后所得拋物線與軸交點的縱坐標有最大值為，
故選：B．
12．C
解：由表格可知該拋物線的對稱軸為，故②正確；
根據對稱軸可得當時，與時的值相同，均為，所以拋物線與軸的交點坐標是，故①正確；
∵與軸的交點坐標是，
∴，
由表格可知該拋物線過，
∴，解得，
∴拋物線方程為：，
令，解得或，
∴的根為和，故③正確；
∵，中，
∴該拋物線開口向下，
∴當時，的取值范圍是或，故④錯誤；
綜上①②③是正確的，
∴正確的個數有3個，
故選：C．
13．D
解：由（a為常數，）知，其開口向上，對稱軸為，
當時，，且，,則，
A．當時，，則點A、B均為對稱軸的右側，故，
故A錯誤，不符合題意；
B．若，則點A、B在對稱軸異側或左側，
當A、B在對稱軸異側時，則，解得：；
當A、B在對稱軸左側時，則，解得：，
綜上，，故B錯誤，不符合題意；
C．當時，則，此時，
∴，
故C錯誤，不符合題意；
D．當時，，，
則點A、B在對稱軸異側或右側，
當A、B在對稱軸異側時，則，解得：；
當A、B在對稱軸右側時，則，
綜上，，則正確；故D正確，符合題意；
故選：D．
14．C
解：根據題意，把點、、代入，則，
消去c，得，整理得
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴關于對稱軸的對稱的點坐標為
∵
∴由函數的圖象與性質可知，當時，y隨著x的增大而減小
∴
故選C．
15．6
解：設，，
∵拋物線與軸交于A，兩點（點A位于點的左側），
∴，，
∴，
設，則．
∵，
∴，
解得，
當時，，解得或；
當時，，解得或．
∴符合題意的點的坐標為或或或，共有4個不同的點，
∴所有滿足條件的點橫坐標之和為6．
故答案為：6.
16．
解：由題意可得，
當時，，當時，，
∴，，
當時，，當時，，
∴，，，
∴該四邊形是、作對角線，
∵四邊形為矩形，，
∴，即：，
化簡得：，
解得，（不符合題意，舍去），
故答案為：．
17．/0.5
本題考查拋物線與軸的交點，二次函數圖象與幾何變換，正方形的性質，關鍵是解方程求出，，，坐標．
根據拋物線：求出頂點的坐標，再令，解方程求出，坐標，得出，再根據拋物線與拋物線關于軸對稱，求出頂點的坐標，然后根據正方形得到列出關于的方程，解方程求出的值．
解：拋物線的頂點為點，
，
拋物線與軸分別交于點，（點在點左側），
，拋物線開口向上，
當時，，
整理得：，
解得，
點在點左側，
，，
，
拋物線與拋物線關于軸對稱，頂點為，
，
，
∵四邊形是正方形，
∴，
則，
，
經檢驗，是方程的解，也符合題意，
故答案為：．
18．
根據題意列出不等式組求解即可．
解：把點代入得：，
把點代入得：，
∵點A，B都在直線的上方，且，
∴，整理得：，
令，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：或0，
畫出的函數圖象如圖所示，
由圖可知：當時，，
當或時，，
綜上：m的取值范圍．
19．或或
解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，
設直線解析式為，
∴
解得：
∴直線解析式為，當時，，則直線與y軸交于，
∵，
∴，
∴點必在內部．
1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線
設直線的解析式為
∴
解得：
則直線的解析式為
①如圖1，直線過中點，，
中點坐標為，代入直線求得，不成立；

②如圖2，直線過中點，直線解析式為，中點坐標為，待入直線求得；
③如圖3，直線過中點，中點坐標為，
直線與軸平行，必不成立；
2）、當分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．
④如圖4，直線，
∴
∴，
∴，
解得；

⑤如圖5，直線，，則
∴，又，
∴，
∵，
∴不成立；
⑥如圖6，直線，同理可得，
∴，，，
∴，解得；
綜上所述，或或．
20．①②③④
∵拋物線與x軸的交點為，
∴，000
∴，故①正確，
由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正確，
令，則，
，
∵
∴，
∴若，則函數圖象與軸有兩個公共點，即選項③正確，
設，是方程的兩個實數根，則，
當時，則，
∵點拋物線與x軸的一個交點，
∴令，則，
∵，
∴，
∵
∴拋物線開口向下，
∴若，則當時，隨的增大而增大，即選項④正確．
故答案為：①②③④．
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