資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
學 科 數學 年 級 七年級 設計者
教材版本 人教版 冊、章 下冊、第8章
課標要求 【內容要求】（1）了解無理數和實數，知道實數由有理數和無理數組成，了解實數與數軸上的點一一對應。（2）能用數軸上的點表示實數，能比較實數的大小。（3）能借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數和絕對值。（4）了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根。（5）了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內完全平方數的平方根，會用立方運算求千以內完全立方數（及對應的負整數）的立方根，會用計算器計算平方根和立方根。（6）能用有理數估計一個無理數的大致范圍。（7）了解近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，會按問題的要求進行簡單的近似計算。【學業要求】了解無理數和實數，知道實數由有理數和無理數組成，感悟數的擴充；初步認識實數與數軸上的點具有一一對應關系，能用數軸上的點表示一些具體的實數，能比較實數的大小；能借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數、絕對值；知道平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示平方根、算術平方根、立方根；知道乘方與開方互為逆運算，會用乘方運算求百以內完全平方數的平方根和千以內完全立方數的立方根（及對應的負整數），會用計算器計算平方根和立方根；能用有理數估計一個無理數的大致范圍；初步認識近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，會按問題的要求進行簡單的近似計算，會對結果取近似值。
內容分析 本章主要內容：（1）平方根；（2）立方根；（3）實數及其簡單運算。本章內容屬于“數與代數”領域。有關數的內容，學生在七年級上冊已經系統地學過有理數，對有理數的概念和運算等有了較深的認識。本章是在有理數的基礎上學習實數的初步知識，本章很多內容是有理數相關內容的延續和推廣，因此，編寫時注意了加強知識間的相互聯系，突出類比的作用，使學生更好的體會數的擴充過程中表現出來的概念、運算等的一致性和發展變化。本章前兩節“平方根”“立方根”在內容和展開方式上是基本平行的，因此，編寫“立方根”時充分利用了類比的方法，通過類比“平方根”展開“立方根”的內容。這樣的編寫方法，有助于加強知識間的相互聯系，通過類比已學的知識學習新知識，使學生的學習形成正遷移。
學情分析 七年級學生在思維上正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。他們對有理數的概念和運算有了較深的認識，但對無理數這一抽象概念的理解可能存在一定的困難。因此，在教學過程中，需要通過具體的例子和形象的教學手段，逐步建立起學生對實數的抽象概念。學生的學習習慣上，已經具備了一定的獨立思考和自主探究能力，但在合作交流方面可能還需要進一步的引導。此外，學生的運算水平有所提高，但在推理能力和數感方面仍有待加強。
單元目標 教學目標1.了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會有根號表示數的算術平方根、平方根、立方根；2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根，會用計算器求平方根和立方根；3.了解開方和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，能求實數的相反數與絕對值；4.能用有理數估計一個無理數的大致范圍.(二)教學重點、難點教學重點:算術平方根、平方根的概念、求法及實數的概念。教學難點:平方根與實數的概念。
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架

（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數8.1平方根3課時8.2立方根2課時8.3實數及其簡單運用2課時
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務8.1.1平方根1.了解平方根的概念，并理解平方與開平方的關系；2.知道平方根的性質，會用符號表示平方根，會求非負數的平方根.1.了解平方根的概念2.理解平方與開平方的關系3.知道平方根的性質，會用符號表示平方根4.會求非負數的平方根.任務一：以實際問題為背景，引出新課任務二：平方根的定義和計算任務三：平方根的特征與表示8.1.2算數平方根1.了解算術平方根的概念，會表示正數的算術平方根；2.了解算術平方根的非負性；3.掌握算術平方根的估算，初步體會無限不循環小數.1.了解算術平方根的概念，會表示正數的算術平方根2.了解算術平方根的非負性；3.掌握算術平方根的估算，初步體會無限不循環小數.任務一：通過實例，引出新課任務二：算數平方根的定義及性質任務三：算數平方根的估算8.1.3用計算器求一個正數的算數平方根1.會用計算器求算術平方根.2.能用計算器探求數學規律.3.能利用算術平方根解決實際問題.1.會用計算器求算術平方根2.能用計算器探求數學規律3.能利用算術平方根解決實際問題任務一：由算盤到計算器，感受科技的進步任務二：用計算器求算數平方根任務三：算數平方根的實際應用8.2.1立方根1.了解立方根的概念.2.知道立方根的性質，知道平方根與立方根的聯系與區別.3.會用根號表示一個數的立方根，能用開立方運算求某些數的立方根.1.了解立方根的概念2.知道立方根的性質，知道平方根與立方根的聯系與區別3.會用根號表示一個數的立方根，能用開立方運算求某些數的立方根任務一：復習平方根的知識任務二：立方根任務三：立方根的性質任務四：立方根的表示8.2.2立方根的估算與用計算器求立方根1.了解互為相反數的兩個數的立方根的關系.2.學會用計算器計算各數的立方根或立方根的近似值.1.了解互為相反數的兩個數的立方根的關系2.會用計算器計算各數的立方根或立方根的近似值任務一：復習立方根的內容任務二：相反數的立方根任務三：用計算器求立方根8.3.1實數的概念及分類1.了解無理數和實數，能將實數按要求進行分類;2.了解實數與數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示實數，能比較實數的大小.1.了解無理數的概念及相關內容2.了解實數的概念，能將實數按要求進行分類3.了解實數與數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示實數，4.能比較實數的大小.任務一：回憶有理數的概念及分類，為學習實數做鋪墊任務二：無理數的概念任務三：實數的概念及分類任務四：實數與數軸上點的關系8.3.2實數的性質及運算1．能求實數的相反數與絕對值.2．能進行實數的簡單運算，了解有理數的運算法則在實數范圍內仍然適用.3．能用計算器進行近似計算，會對結果取近似值.1．能求實數的相反數與絕對值2．能進行實數的簡單運算，了解有理數的運算法則在實數范圍內仍然適用3．能用計算器進行近似計算，會對結果取近似值任務一：回顧有理數的相關概念和運算，進入實數的學習任務二：實數的相反數與絕對值任務三：實數的運算
《第8章 》實數 大單元教學設計
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（人教版）七年級
下
8.3.2實數的性質及運算
實數
第8章
“八”
教學目標
01
新知導入
02
新知講解
03
課堂練習
04
課堂總結
05
作業布置
06
目錄
07
內容總覽
教學目標
1．能求實數的相反數與絕對值.
2．能進行實數的簡單運算，了解有理數的運算法則在實數范圍內仍然適用.
3．能用計算器進行近似計算，會對結果取近似值.
新知導入
(1) 2的相反數是_______；-2的相反數是_______；
(2) |3|=_______；|-3|=_______。
-2
2
3
3
思考：無理數也有相反數和絕對值嗎？怎么表示呢？
新知講解
任務一：實數的相反數與絕對值
思考:
(1)相反數是_____，-π的相反數是_____，0的相反數是_____；
(2)||=_____，|-π|=_____，|0|=_____.
π
0
π
0
有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適用于實數。
新知講解
一般地，對于實數，同樣有
數a的相反數是-a.
一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.
即設a表示任意一個實數，則
|a|=
　一個實數的絕對值就是它在數軸上的對應點與原點的距離．
新知講解
實數的常用性質：
相反數：若a與b互為相反數，則a+b=0.
倒數：若a與b互為倒數，則ab=1.
絕對值：任何實數的絕對值都是非負數，即|a|≥0.
互為相反數的兩個數的絕對值相等，即|a|=|-a|.
平方根：非負數都有平方根.
立方根：任意實數都有立方根.
新知講解
例1 (1)分別寫出 -，π - 3.14 的相反數；
(2)指出-，分別是什么數的相反數；
解:(1)因為-(-)=， -(π-3.14)=3.14-π，
所以-，π-3.14的相反數分別為，3.14-π.
(2)因為-()=-，-(-1)=1-，
所以-，1-分別是， -1的相反數.
新知講解
例1 (3)求的絕對值；
(4)已知一個數的絕對值是，求這個數.
解:(3)因為==4，
所以||=|4|=4.
(4)因為||= ，||= ，
所以絕對值為的數是或.
新知講解
實數之間不僅可以進行加、減、乘、除 （除數不為０）、乘方運算，而且正數及０可以進行開平方運算， 任意一個實數可以進行開立方運算．在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用．
任務二：實數的運算
隨著數的范圍進一步擴充，負數也將可以進行開方運算。
新知講解
例2 計算：
(1)(+ )-； (2)+.
解:(1)(+ )-
= +()(加法結合律)
= +0
= ；
(2)+
= ((分配律)
=5.
在實數運算中，當遇到無理數并且需要求出計算結果的近似值時，一般先用近似有限小數(例如，比計算結果要求的精確度多取一位)去代替無理數，再進行計算，最后對計算結果四舍五入.
新知講解
新知講解
例3 計算(結果保留小數點后兩位):
(1) - ； (2)π·.
解:(1) - ≈2.236-2.646=-0.41；
(2)π·≈ 3.142×1.442≈4.53.
在近似計算時，計算過程中有時也使用“去尾法”，即用近似有限小數去代替無理數時，直接舍去要保留數位的下一位數字，最后對計算結果四舍五入。
新知講解
在進行實數運算的過程中，要做到：
一“看”——看算式的結構特點，能否運用運算律或公式；
二“用”——運用運算律或公式；
三“查”——檢查過程和結果是否正確.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.－|－|的值為( )
A． B．－ C．± D．2
B
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
2．實數a，b，c，d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則這四個數中，絕對值最大的是 .
a
3.求下列各數的相反數和絕對值：
(1)－；　 (2)；　 (3)－2； 　(4).
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
解：(1)－的相反數是 ，絕對值是 ，
(2)的相反數是－，絕對值是 .
(3) －2的相反數是2－，絕對值是2－.
(4) 的相反數是－，絕對值是 .
4.已知數軸上表示 ，π的點分別為A，B，A是BC的中點，則點C表示的數是（　　）
A. －π B. π－ C. 2 －π D. π－2
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
C
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
5. 已知a是小于3＋ 的整數，且｜2－a｜＝a－2，則a的所有可能值是 .
2，3，4，5　
6.先閱讀然后解答提出的問題：
設a，b是有理數，且滿足a＋b＝3－2，求ba的值．
解：由題意得(a－3)＋(b＋2)＝0，因為a，b都是有理數，所以a－3，b＋2也是有理數，由于是無理數，所以a－3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝－2，所以ba＝(－2)3＝－8.
問題：設x，y都是有理數，且滿足x2－2y＋y＝30＋3，求x＋y的值．
【綜合拓展類作業】
課堂練習
【綜合拓展類作業】
課堂練習
解：∵x2－2y＋y＝30＋3，
∴(x2－2y－30)＋(y－3)＝0，
∴x2－2y－30＝0，y－3＝0，
解得x＝±6，y＝3，
當x＝6，y＝3時，x＋y＝6＋3＝9，
當x＝－6，y＝3時，x＋y＝(－6)＋3＝－3，
即x＋y的值是9或－3.
課堂總結
1.實數的相反數與絕對值：
一般地，對于實數，同樣有
數a的相反數是-a.
一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.
2.實數的運算:
在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用．
板書設計
1.實數的相反數與絕對值：
2.實數的運算:
課題：8.3.2實數的性質及運算
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
1.－ 的相反數是( )
A．－ B．－ C．± D.
D
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
2．下列各式運算結果為有理數的是( )
A．2－3 B．＋
C．()3 D．0×
D　
作業布置
3.求下列各式的值：
（1） － ÷ ＋ ；
（2） ＋ ＋ ；
【知識技能類作業】必做題：
解：（1）原式=
（2）原式=－3
4.若 取1.442，則計算 －3－98 的結果是( )
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
B
5. 定義一種運算：對于任意實數a，b，都有a※b＝（a－1）2＋b2，那么（1＋ ）※ ＝ .
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
5
6.實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，其中，c為8的立方根，求 ＋｜b－a｜＋ －｜2b｜的值.
【綜合拓展類作業】
作業布置
解：∵ c為8的立方根，
∴ c＝2.由圖，易得a＜0，b－a＜0，b－c＜0，2b＜0，
∴ 原式＝｜a｜＋｜b－a｜＋｜b－c｜－｜2b｜＝－a＋a－b＋c－b＋2b＝c＝2
Thanks!
2
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分課時教學設計
《8.3.2實數的性質及運算》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課的內容為實數的性質及運算。本節課是在前面學習了有理數的混合運算和實數的概念和分類的基礎上安排的,之前有理數的混合運算為這節課奠定了方法基礎和知識基礎.教材通過類比有理數的運算設置喚醒學生探究交流的激情，讓學生在類比、探索、交流的過程中感悟實數的運算法則，同時讓學生在學習知識技能的同時，注意數學思想方法和良好學習習慣的養成，使學生體驗數學的“實踐第一”和數學來源于實踐，又服務于實踐的思想.
學習者分析 在本課學習之前，學生們已經掌握了有理數的運算順序和運算法則，但把知識遷移到對無理數的運算仍有難度，尤其對于合并同類二次根式是后面的知識，所以在此處講解時應注意引導學生通過分配律的逆應用來理解，這類無理數的計算.
教學目標 1．能求實數的相反數與絕對值. 2．能進行實數的簡單運算，了解有理數的運算法則在實數范圍內仍然適用. 3．能用計算器進行近似計算，會對結果取近似值.
教學重點 實數的運算.
教學難點 了解有理數的運算法則和運算性質在實數范圍內仍適用，能利用化簡對實數進行簡單的四則運算.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1： (1) 2的相反數是__-2___；-2的相反數是__2___； (2) |3|=_3__；|-3|=_3__。 思考：無理數也有相反數和絕對值嗎？怎么表示呢？學生活動1： 學生進行思考，積極舉手回答.活動意圖說明： 通過回顧有理數的相關概念和運算引導學生進入實數的學習.環節二：實數的相反數與絕對值教師活動2： 思考: (1)相反數是__-___，-π的相反數是__π_，0的相反數是__0___； (2)||=___，|-π|=__π__，|0|=__0___. 有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適用于實數。 一般地，對于實數，同樣有 數a的相反數是-a. 一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0. 即設a表示任意一個實數，則 一個實數的絕對值就是它在數軸上的對應點與原點的距離． 實數的常用性質： 相反數：若a與b互為相反數，則a+b=0. 倒數：若a與b互為倒數，則ab=1. 絕對值：任何實數的絕對值都是非負數，即|a|≥0. 互為相反數的兩個數的絕對值相等，即|a|=|-a|. 平方根：非負數都有平方根. 立方根：任意實數都有立方根. 例1 (1)分別寫出 -，π - 3.14 的相反數； 指出-，分別是什么數的相反數； (3)求的絕對值； (4)已知一個數的絕對值是，求這個數. 解:(1)因為-(-)=， -(π-3.14)=3.14-π， 所以-，π-3.14的相反數分別為，3.14-π. (2)因為-()=-，-(-1)=1-， 所以-，1-分別是， -1的相反數. (3)因為==4， 所以||=|4|=4. (4)因為||= ，||= ， 所以絕對值為的數是或.學生活動2： 學生小組合作完成。 學生與教師一起進行總結。 學生獨立完成例題，并展示答案。 活動意圖說明： 類比有理數的絕對值，相反數引入，利于激發學生的學習興趣和好奇心.學生通過計算，觀察，類比，總結，歸納實數的性質和運算法則，有利于學生充分理解和牢固掌握實數的性質和運算法則.通過小組討論，培養合作精神，讓學生在探索問題的過程中，體驗解決問題的方法和樂趣，增強學習興趣.環節三：實數的運算教師活動3： 實數之間不僅可以進行加、減、乘、除 （除數不為０）、乘方運算，而且正數及０可以進行開平方運算， 任意一個實數可以進行開立方運算．在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用． 隨著數的范圍進一步擴充，負數也將可以進行開方運算。 例2 計算： (1)(+ )-； (2)+. 解:(1)(+ )- = +()(加法結合律) = +0 = ； (2)+ = ((分配律) =5. 在實數運算中，當遇到無理數并且需要求出計算結果的近似值時，一般先用近似有限小數(例如，比計算結果要求的精確度多取一位)去代替無理數，再進行計算，最后對計算結果四舍五入. 例3 計算(結果保留小數點后兩位): (1) - ； (2)π·. 解:(1) - ≈2.236-2.646=-0.41； (2)π·≈ 3.142×1.442≈4.53. 在近似計算時，計算過程中有時也使用“去尾法”，即用近似有限小數去代替無理數時，直接舍去要保留數位的下一位數字，最后對計算結果四舍五入。 在進行實數運算的過程中，要做到： 一“看”——看算式的結構特點，能否運用運算律或公式； 二“用”——運用運算律或公式； 三“查”——檢查過程和結果是否正確.學生活動3： 學生知道在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用． . 學生獨立完成例題，并展示答案。 學生完成例題，理解并掌握“去尾法”。 活動意圖說明： 學生能根據有理數的運算對實數進行運算，構建關于實數運算的知識體系，既有利于學生知識學習也利于方法的遷移，讓學生從做題中感受實數的運算，從而更深刻地體會到有理數的運算法則及運算性質仍然成立.
板書設計 課題：8.3.2實數的性質及運算 1.實數的相反數與絕對值： 2.實數的運算:
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.－|－|的值為( B ) A． B．－ C．± D．2 2．實數a，b，c，d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則這四個數中，絕對值最大的是 a . 3.求下列各數的相反數和絕對值： (1)－；　 (2)；　 (3)－2； 　(4). 解：(1)－的相反數是 ，絕對值是 ， (2)的相反數是－，絕對值是 . (3) －2的相反數是2－，絕對值是2－. (4) 的相反數是－，絕對值是 . 選做題： 4.已知數軸上表示 ，π的點分別為A，B，A是BC的中點，則點C表示的數是（　C　） A. －π B. π－ C. 2 －π D. π－2 5.已知a是小于3＋的整數，且｜2－a｜＝a－2，則a的所有可能值是 2，3，4，5 . 【綜合拓展類作業】 6.先閱讀然后解答提出的問題： 設a，b是有理數，且滿足a＋b＝3－2，求ba的值． 解：由題意得(a－3)＋(b＋2)＝0，因為a，b都是有理數，所以a－3，b＋2也是有理數，由于是無理數，所以a－3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝－2，所以ba＝(－2)3＝－8. 問題：設x，y都是有理數，且滿足x2－2y＋y＝30＋3，求x＋y的值． 解：∵x2－2y＋y＝30＋3， ∴(x2－2y－30)＋(y－3)＝0， ∴x2－2y－30＝0，y－3＝0， 解得x＝±6，y＝3， 當x＝6，y＝3時，x＋y＝6＋3＝9， 當x＝－6，y＝3時，x＋y＝(－6)＋3＝－3， 即x＋y的值是9或－3.
課堂總結 1.實數的相反數與絕對值： 一般地，對于實數，同樣有 數a的相反數是-a. 一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0. 2.實數的運算: 在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.－ 的相反數是( D ) A．－ B．－ C．± D. 2.下列各式運算結果為有理數的是( D ) A．2－3 B．＋ C．()3 D．0× 3.求下列各式的值： （1） － ÷ ＋ ； （2） ＋ ＋ ； 解：（1）原式= （2）原式=－3 選做題： 4.若 取1.442，則計算 －3－98 的結果是( B ) A．－100 B．－144.2 C．144.2 D．－0.014 42 5．定義一種運算：對于任意實數a，b，都有a※b＝（a－1）2＋b2，那么（1＋ ） ※ ＝ 5 . 【綜合拓展類作業】 6.實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，其中，c為8的立方根，求 ＋｜b－a｜＋ －｜2b｜的值. 解：∵ c為8的立方根， ∴ c＝2.由圖，易得a＜0，b－a＜0，b－c＜0，2b＜0， ∴ 原式＝｜a｜＋｜b－a｜＋｜b－c｜－｜2b｜＝－a＋a－b＋c－b＋2b＝c＝2
教學反思 本節課以練習為主，講解為輔，先提出問題，在學習的過程中邊學邊練，借助復習舊知類比學習新知，最后再解決問題，幫助學生形成知識的遷移，使學生體會“數由有理數擴充到實數的過程中體現出來的一致性”，為學好實數的運算打下基礎.教學中，讓學生通過具體的運算感知運算法則和運算律，培養學生嚴謹務實、一絲不茍的學習態度.在涉及用計算器求近似值時，一定要注意題目中的精確度.
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