資源簡介

人教A版高一下冊數學必修第二冊6.2.1排列教學設計
課題 6.2.1 排列
課型 新授課 課時 1課時
學習目標 1.通過實例理解排列的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列 2.能應用排列知識解決簡單的實際問題. 3.通過學習排列的概念，進一步提升數學抽象及邏輯推理素養
學習重點 通過實例理解排列的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.
學習難點 能應用排列知識解決簡單的實際問題.
學情分析 這一節課之前，學生已經掌握了分類加法計數原理與分步乘法計數原理，為排列的學習提供了必要的數學基礎。然而，排列的概念和計算方法相對抽象，要求學生具備較強的抽象思維能力和邏輯推理能力。 學生對排列的學習需求主要體現在理解排列的定義和性質，為后面掌握排列數的計算公式打基礎，并能運用排列知識解決簡單的實際問題。本節的學習，為后面學習組合，以及排列與組合的練習和區別，做知識儲備。 為了激發學生的學習興趣，教師可以通過引入生活中的排列問題，如座位排列、運動會項目安排等，讓學生認識到排列知識在實際生活中的重要性。同時，教師需要注重公式推導過程的教學，讓學生理解排列數公式的來源，并通過大量練習鞏固公式應用。 在教學設計中，教師還可以設計一些生活化的實際問題，讓學生在解決具體問題的過程中，逐步構建排列模型，培養其數學建模能力。通過反復練習和鞏固，學生能夠更好地掌握排列的知識，提高數學應用意識和問題解決能力。
核心知識 1.排列的概念 2.排列的簡單應用
教學內容及教師活動設計 （含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
環節一 創設情境，引入課題 在上節例8的解答中我們看到，用分步乘法計數原理解決問題時，因做了一些重復性工作而顯得煩瑣． 分了三大類：①沒有字母，②有1個字母，③有2個字母．其中：②中分了五個子類， ③中分了十個子類． 教師：能否對這類計數問題給出一種簡捷的方法呢？ 環節二 觀察分析，感知概念 問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有幾種不同的選法 要求：先用兩個計數原理求得結果 學生：學生利用所學的兩個計數原理，嘗試著解決該問題. 預設：要完成的一件事是“選出2名同學參加活動，1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動”，可以分兩個步驟： 第1步，確定參加上午活動的同學，從3人中任選1人，有3種選法； 第2步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從剩下的2人中去選，有2種選法． 根據分步乘法計數原理：3×2=6 種 追問：用樹狀圖表示所有不同選法 學生：自主畫樹狀圖，得出結論. 預設： 思考：如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，那么問題可敘述為：從3個不同的元素a，b，c中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法 學生：根據以上問題的解答過程得出結論，并做好分享答案的準備. 預設：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，cb，ca．不同的排列方法種數為 3×2=6 追問：以上問題1中的“順序”是什么？ 學生：思考得出答案：問題1的順序為參加活動的順序，即參加上午的活動在前, 參加下午的活動在后. 問題2：問題2從1，2，3，4這4個數字中，每次取出3個排成一個三位數，共可得到多少個不同的三位數 要求：先用兩個計數原理求得結果 學生：學生利用所學的兩個計數原理，嘗試著解決該問題. 預設：完成的事情：從4個數字中，取出3個，順序排成一列，得到一個三位數．即：從4個數字中，每次取出3個，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，就得到一個三位數，因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數．可以分三個步驟來解決這個問題： 第1步，確定百位上的數字，從1，2，3，4這4個數字中任取1個，有4種方法； 第2步，確定十位上的數字，當百位上的數字確定后，十位上的數字只能從余下的3個數字中去取，有3種方法； 第3步，確定個位上的數字，當百位、十位上的數字確定后，個位的數字只能從余下的2個數字中去取，有2種方法． 根據分步乘法計數原理，從1，2，3，4這4個不同的數字中，每次取出3個數字，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，不同的排法種數為4×3×2=24 追問：用樹狀圖表示所有不同選法 學生：自主畫樹狀圖，得出結論. 預設： 要求：用列舉法，列舉出所有的三位數. 師生：自主完成列舉，教師巡視，并拍照準備上傳展示學生結果. 預設：由此可寫出所有的三位數： 123，124，132，134，142，143， 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342， 412，413，421，423，431，432． 思考：如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，那么問題可敘述為：從4個不同的元素a，b，c，d中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法 學生：根據以上問題的解答過程得出結論，并做好分享答案的準備. 預設：所有不同的排列是 不同的排列方法種數為4×3×2=24 追問：以上問題2中的“順序”是什么？ 學生：思考得出答案：問題2的順序為百位在前，十位居中，個位在后. 環節三 抽象概括，形成概念 思考：上述問題1，2的共同特點是什么 你能將它們推廣到一般情形嗎 師生：教師提出上述問題，讓學生思考、交流、 討論. 指名學生展示討論交流的結果，教師進一步規范學生 的表述，從而歸納出排列的定義； 預設：問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數． 排列定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列(arrangement)． 辨析：定義中包含兩個基本內容：①取出元素，②按照一定的順序排列 思考：根據排列的定義，兩個排列相同的充要條件是什么？ 學生：思考和討論，并嘗試得出答案. 預設：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同． 要求：根據問題1和問題2，將自己的以上結論進行舉例說明 學生：將以上問題具體化，并分享. 預設：在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列；“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列． 環節四 辨析理解 深化概念 例1　判斷下列問題是否為排列問題： (1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)； (2)選2個小組分別去植樹和種菜； (3)選2個小組去種菜； (4)選10人組成一個學習小組； (5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員； (6)某班40名學生在假期相互打電話． 學生分析、思考.教師在學生思考的同時，可以給出提示 例2 某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽 師生：教師提出問題：這一問題是不是排列問題？你能根據 排列的定義分析這一問題嗎？ 學生分析、思考.教師在學生思考的同時，可以給出提示： 分析預設：每組任意2支隊之間進行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列． 學生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備. 解析預設：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊．按分步乘法計數原理，每組進行的比賽場數為． 總結：排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關，而且與元素的排列順序有關. 在判斷一個問題是否是排列問題時，可以考慮對所取出的元素任意交換其中兩個，若結果變化，則是排列問題,否則不是排列問題. 跟蹤練習：從甲、乙、丙、丁四名同學中選出兩名分別參加數學和物理學習小組，那么共有多少種不同的選法 師生：學生自主完成練習，教師巡視學生做題情況，并選擇典型解答，分享答案； 預設：分析：可以看作是從4名同學中選出2名同學，按“數學、物理”的順序排成的一個排列．可以先從4名同學中選出1名同學參加數學學習小組，然后從剩下的3名同學中選1名同學參加物理學習小組．按分步乘法計數原理，每組進行的比賽場數為． 例3（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法 （2）學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法 師生：教師引導學生分析：3名同學每人從5盤不同的菜中 取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個位 置(給3名同學)的一個排列；而3名同學每人從食堂窗 口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個 排列. 預設：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學丙．按分步乘法計數原理，不同的取法種數為 ． （2）可以先讓同學甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法．按分步乘法計數原理，不同的選法種數為 ． 總結：解決此類相似問題時，首先要分清楚是不是排列問題，其次使用分步乘法計數原理求排列總數時，要做到步驟完整，步與步之間相互獨立，然后把完成每一步的方法數相乘即可得到總數. ． 跟蹤練習： （1）有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ （2）有7種不同的書（每種不少于3本），要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多 少種不同的送法？ 預設：（1）從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，可以先從7本不同的書中選1本給第1位同學，再從剩下6本中選1本給第2位同學，最后從剩下5本中選1本給第3位同學，根據分步乘法計數原理，共有7×6×5＝210(種)不同的送法. （2）從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，每一次有7種選法，根據分步乘法計數原理，共有不同的送法7×7×7＝343(種). 總結：排列解決“排數”問題 (1) 先根據排列的定義，判斷所解決的問題是否為排列問題 (2) 將排列問題，進行分步進行 (3) 結合分步計數原理即可得解 練習（第16頁） 1．寫出： （1）用0～4這5個自然數組成的沒有重復數字的全部兩位數； （2）從a，b，c，d中取出2個字母的所有排列． 【解析】（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43． （2）ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc． 2．一位老師要給4個班輪流做講座，每個班講1場，有多少種輪流次序 【解析】將4個班進行全排列，即．所以有24種輪流次序． 3．學校乒乓球團體比賽采用5場3勝制（5場單打），每支球隊派3名運動員參賽，前3場比賽每名運動員各出場1次，其中第1，2位出場的運動員在后2場比賽中還各出場1次． （1）從5名運動員中選3名參加比賽，前3場比賽有幾種出場情況 （2）甲、乙、丙3名運動員參加比賽，寫出所有可能的出場情況． 【解析】（1）可看作是從5名運動員中選3名進行排列，則前三場單打比賽的順序有種； （2）可分為三類： 第一類，3場決勝負，有種：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲． 第二類，4場決勝負，有種，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙甲丙乙，乙甲丙甲，乙丙甲丙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲乙，丙乙甲丙． 第三類，5場決勝負，有種，甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲丙乙，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲乙丙，丙乙甲丙乙． 因此，全部順序共有種. 環節五 歸納總結 反思提升 問題：請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題： 1. 本節課學習的概念有哪些？ 2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？ 通過問題1,采用問題串的形式，引導學生 深入思考，為抽象出排列的概念作準備. 在這一問題中元素的個數增加到了 4個， 取其中3個，增加了問題的復雜度，但本問題的解決過程 和問題1是一樣的.讓學生再次經歷用計數原理解決這一 問題的過程，為形成排列的概念做好了準備. 通過對上面的兩個問題進行數學抽象，在學生充分思考、交流、討論的基礎上得出排列的定義，讓學生經歷這一過程，提升學生的數學抽象核心素養. 引導學生用排列的概念去思考分析這一問 題，加深對排列概念的理解與認識，提升學生用所學知識 分析問題、解決問題的能力. 引導學生用排列的概念去思考分析這一問 題，加深對排列概念的理解與認識，提升學生用所學知識 分析問題、解決問題的能力.
板書設計 6.2.1 排列 1、排列的定義 例2 例3
作業設計 作業1：完成教材：第16頁 練習1；第17頁 練習2,3；. 作業2：配套輔導資料對應的《排列》.
教學反思 本節課在導入環節，我通過情境引入，激發學生的求知欲.在教學實施過程中，我采用了多種教學法，關注學生的反饋，及時調整教學策略，確保學生掌握知識點.在例題講解環節，我引導學生學會分析，尋找解決問題的突破口.本次教學達到了預期的教學目標，學生在課堂上的參與度較高，課堂效果較好，我將不斷調整，努力提升自己的教學水平.

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