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24.1.2垂直于弦的直徑專題練習人教版2024—2025學年九年級上冊
【情景引入】按下面的步驟做一做：
第一步，在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合；
第二步，得到一條折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中點M是兩條折痕的交點，即垂足；
第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，如圖1．
圖1 圖2
在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧 為什么？
【總結歸納】
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
【例題講解】
作弦心距+用勾股定理
思考：如圖，為的直徑，弦于點，已知，，則的半徑為　　 ．
例1.如圖，是的直徑，，點是的中點，過點的直線與交于、兩點．若，求弦的長．
例2.如圖，所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圓的半徑．
例3.如圖，已知，請你利用尺規(guī)作圖的方法作出的中點，說出你的作法．
例4．如圖，某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點C離水面的高度2．4米．現(xiàn)在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，問：這艘船是否能夠通過這座拱橋？說明理由．
例5．銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖所示，污水水面寬度為60 cm，水面至管道頂部距離為10 cm，問修理人員應準備內(nèi)徑多大的管道
弧中點→連半徑，得垂徑
思考： 如圖，是的弦，是的中點，你能得到那些結論
例1.如圖，⊙P中，點B為優(yōu)弧AF的中點，點C在劣弧AF上，CE⊥PC交AF于E，求證：EC=ED
例2.如圖，為直徑，為弧的中點，于，若，，求的半徑．
例3.如圖，，，，是半徑為1的上按逆時針方向排列的四個動點，，當時，求的取值范圍；
【鞏固練習】
1.在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是________cm.
2.在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為________cm.
3.已知：在⊙中，弦，點到的距離等于的一半，求：的度數(shù)和圓的半徑.
4.如圖，已知在⊙中，弦，且，垂足為，于，于.
（1）求證：四邊形是正方形.
（2）若，，求圓心到弦和的距離.
5.如圖，已知⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的長.
6.已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長．
7.在直徑為50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB與CD之間的距離.
8.如圖所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求CD的長。
9.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E，求AB和AD的長。
【當堂檢測】
一、填空題
1.過⊙O內(nèi)一點P的最長弦為10cm，最短的弦為6cm，則OP的長為 .
2.在⊙中，弦長為，圓心到弦的距離為，則⊙半徑長為
3．半徑是的圓中，圓心到長的弦的距離是
4. 圓的兩互相平行的弦長分別和，又兩弦之間距離為，則圓的半徑長是
5. 在半徑為的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，弦長分別為、，則這兩條弦之間的距離為________
6．如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑，橋拱的距度m，則拱高m.
7．一水平放置的圓柱型水管的橫截面如圖所示，如果水管橫截面的半徑是13cm，水面寬，則水管中水深是_______cm.

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