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23.1圖形的旋轉(zhuǎn)知識梳理及培優(yōu)訓(xùn)練人教版2024—2025學(xué)年九年級上冊
【知識梳理】作旋轉(zhuǎn)后的圖形的一般步驟
（1）明確三個條件：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度；
（2）確定關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)；
（3）順次連結(jié)。
★點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)：
舉例：畫出點(diǎn)P繞點(diǎn)O順（或逆）時針旋轉(zhuǎn)30°（或45°、 60° ）后的對應(yīng)點(diǎn).
★線段的旋轉(zhuǎn)：
舉例：畫出線段AB繞點(diǎn)A（或點(diǎn)B、點(diǎn)O）順（或逆）時針旋轉(zhuǎn)30° （或45°、 60° ）后的圖形.
★三角形的旋轉(zhuǎn)：
舉例：畫出△ABC繞點(diǎn)C逆（或順）時針旋轉(zhuǎn)90°（或180 ° ）后的圖形.
★其它圖形的旋轉(zhuǎn)：
【例題講解】
★以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題
例1： 如圖，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC為邊向三角形外作等邊△ABC，把△ABM繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.
求：①∠ AMB的度數(shù)；②求AM的長.
例2.如圖，已知△ABC為等邊三角形，M為三角形外任意一點(diǎn)，證明：AM≤BM+CM.
例3.已知：如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5,求∠ABP的度數(shù).
★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉(zhuǎn)問題
例1：已知，△ABC中, AD⊥BC于D, 且AD=BD,O是AD上一點(diǎn)，OD=CD,連結(jié)BO并延長交AC于E.求證：AC=OB
例2：如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，∠EDF=45°，求△DEF的周長.
例3：如圖，D為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上一點(diǎn)，求證：
★以一般等腰三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題
例1:(1)如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，求證：BQ=CP.
(2)將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，(1)中的條件不變， “BQ=CP”還 成立嗎？
例2：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，
∠ADB＝ ∠ADC，求證： ∠DBC＝ ∠DCB.
【歸納小結(jié)】
（一）正三角形類型
在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個ΔP'CP中，此時ΔP'AP也為正三角形。
練習(xí)1.如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度數(shù)是________.
（二）正方形類型
在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞B點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的ΔCPP'中，此時ΔBPP' 為等腰直角三角形。
練習(xí)2.如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個頂點(diǎn)A、B、C的距離 分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。
（三）等腰直角三角形類型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔAPC繞C點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個ΔP' CP為等腰直角三角形。

練習(xí)3．如圖，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC的度數(shù)。
【能力提升】
如圖等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，試說明：OA+OB>OC．

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