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23.2中心對稱講義和同步練習人教版2024—2025學年九年級上冊
【知識梳理】
一、中心對稱：像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
二、中心對稱的性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心平所平分。
（2）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
3、作中心對稱和圖形的一般步驟
（1）確定“代表性的點”；
（2）作出每個代表性的點的對應點；
（3）順次連結。
三、中心對稱圖形
1、中心對稱圖形的定義
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，過對稱中心的直線，可以把圖形分成完全重合的兩部分。
2、中心對稱圖形的識別
常見的幾何圖形，如：線段、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓，26個大寫英文字母（7個），正多邊等要會識別，并指出對稱中心。
3、兩個圖形成中心對稱和中心對稱圖形的區別與聯系
區別：
（1）中心對稱是指兩個圖形的位置關系，而中心對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形。
（2）研究對象的個數不同，中心對稱指兩個圖形，而中心對稱圖形只研究一個對象。
（3）中心對稱圖形的對稱中心是圖形自身或內部的點，而兩個圖形關于某點成中心對稱，對稱中心不定。
聯系：
兩者均是關于點的對稱，它們之間無絕對界限，當把兩個圖形看作整體時，即為中心對稱圖形，若把中心對稱圖形看作兩部分則兩部就可以關于一點成中心對稱。
4、中心對稱圖形和軸對稱圖形的關系
（1）對稱軸條數為正偶數的軸對稱圖形是中心對稱圖形，對稱中心是對稱軸的交點；
（2）對稱軸條數相互垂直的軸對稱圖形是中心對稱圖形。
（3）軸對稱圖形是翻轉180°與自身重合，而中心對稱圖形是旋轉180°與自身重合。
【例題講解】
例1．如圖，四邊形ABCD繞D點旋轉180°，請作出旋轉后的圖案，寫出作法并回答．
（1）這兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是對稱中心是哪一點？如果不是，請說明理由．
（2）如果是中心對稱，那么A、B、C、D關于中心的對稱點是哪些點．
例2.如圖，已知AD是△ABC的中線，畫出以點D為對稱中心，與△ABD成中心對稱的三角形．
例3.△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示．
（1）作△ABC關于點C成中心對稱的△A1B1C1．
（2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）
【能力提升】
倍長中線法
例1：已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍.
例2：已知：如圖，Rt ABC中，∠ACB=90°， D為AB中點，DE、DF分別交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF．求證：AE2+BF2=EF2．
例3:(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB>AC，點D是BC邊中點，過D作射線交AB于E，交CA延長線于F，請猜想∠F等于多少度時，BE=CF，并說明理由.
（2）在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他條件不變，若BE=CF的結論 仍然成立，請寫出△AEF必須滿足的條件，并加以證明.
例4：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC內一點，∠ADB＝ ∠ADC，
求證： ∠DBC＝ ∠DCB.
【挑戰自我】
1.如圖，O是正△ABC內一點，OA =3，OB =4， OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段，
（1）求點與的距離
（2）求的度數
（3）求的面積．
中心對稱同步練習
基礎鞏固
1.下面的每組數中，兩個數字成中心對稱的是 (　　)
　　 A　　　　 B　　 　 C　　　　 D　
2．如圖，△ABC與△A1B1C1關于點O成中心對稱，有下列說法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC與△A1B1C1的面積相等．其中正確的有 (　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖，已知點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，則圖中關于點O對稱的三角形有________對．
4．如圖，已知△ABC與△A′B′C′成中心對稱，作出它們的對稱中心O.
如圖5，在平面直角坐標系中，直角△ABC的三個頂點分別是
A(－3，1)，B(0，3)，C(0，1)．
(1)將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C1；
(2)分別連接AB1，BA1后，求四邊形AB1A1B的面積．
圖5
能力提升
6.若點A的坐標為（6，3），O為坐標原點，將OA繞點O按順時針方向旋轉90°得到OA′，則點A′的坐標是（ ）
A、（3，﹣6） B、（﹣3，6） C、（﹣3，﹣6） D、（3，6）
7.如圖，∠A=70°，O是AB上一點，直線OD與AB所夾的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直線OD繞點O按逆時針方向旋轉（ ）
A、8° B、10° C、12° D、18°
8.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度數為（ ）
A、60° B、75° C、85° D、90°
9.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（ ）
A、 B、 C、1﹣ D、1﹣
第7題 第8題 第9題
10.如圖23 2 11，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點成中心對稱，已知A，D1，D三點的坐標分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求對稱中心的坐標；
(2)寫出頂點B，C，B1，C1的坐標．
11.如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1、BC1分別交于點E、F．
（1）求證：△BCF≌△BA1D．
（2）當∠C=α度時，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由．

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