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22.1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)培優(yōu)訓練人教版2024—2025學年九年級上冊
本章知識結構圖
二、典例精析
考點1：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例1】下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（　 　）
A． B． C． D．
【變式】已知函數(shù)是二次函數(shù)，則的取值范圍為_______________.
【例2】拋物線y＝5（x﹣6）2﹣2的頂點坐標是（　 　）
A．（6，2） B．（6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
【變式】用配方法將二次函數(shù)y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
【例3】將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)解析式是___________________________.
【變式】將拋物線y＝x2﹣4x+5進行以下平移，平移后的拋物線頂點恰好落在坐標軸上的是（　 　）
向左平移3個單位長度 B．先向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
C．向右平移3個單位長度 D．先向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
【例4】拋物線y＝x2+x+2，點（2，a），（﹣1，b），（3，c），則a、b、c的大小關系是（　 　）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．無法比較大小
【變式】已知點（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）為二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+m圖象上的三個點，比較y1、y2、y3的大小關系為_______________________.
【例5】二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象可能是（　　）
B． C． D．
【變式1】已知一次函數(shù)y＝bx﹣c與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，它們在同一坐標系內(nèi)的大致圖象可能是（　　）
A． B． C． D．
【變式2】關于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的圖象可能是（　　）
A．B．C．D．
【例6】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A．a(chǎn)bc＜0
B．a(chǎn)﹣b＝0
C．3a﹣c＝0
D．a(chǎn)m2+bm≤a﹣b（m為任意實數(shù)）
【變式1】已知一個二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
則下列關于這個二次函數(shù)的結論正確的是（　　）
A．圖象的開口向上
B．當x＞0時，y的值隨x值的增大而增大
C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限
D．圖象的對稱軸是直線x＝1
【變式2】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象如圖所示，給出下列結論：①c＜0；②﹣＞0；③當﹣1＜x＜3時，y＜0．其中所有正確結論的序號是（　　）
①② B．①③
C．②③ D．①②③
【例7】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），當0≤x≤m時，3﹣a≤y≤3，則m的取值范圍為（　　）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【變式1】（1）函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3，當﹣1≤x≤m時，此函數(shù)的最小值為﹣8，最大值為1，則m的取值范圍是（　　）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
（2）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx（m為常數(shù)），當﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為﹣2，則m的值是（　　）
A． B．或 C．或或 D．或或或
（3）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），當x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值；當x＝1時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（　　）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【變式2】已知拋物線y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線y＝﹣x2+2x的頂點橫坐標大1．
（1）求b的值；
（2）點A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+2x上，點B（x1+t，y1+h）在拋物線y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
【變式3】已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（﹣2，5），對稱軸為直線．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若點B（1，7）向上平移2個單位長度，向左平移m（m＞0）個單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；
（3）當﹣2≤x≤n時，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
考點2：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
【例7】已知二次函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
則二次函數(shù)的解析式為　 　．
【變式】（1）若某二次函數(shù)圖象的形狀、開口方向與拋物線y＝3x2相同，且其頂點坐標為（0，﹣2），則它的表達式為　 　．
（2）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三點，則這條拋物線解析式是　 　．
（3）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）當﹣3＜x＜1時，直接寫出y的取值范圍．
達標作業(yè)
1．若拋物線y＝（a﹣1）x2﹣a2+1＝0經(jīng)過原點，則a的值是（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
2．二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax（a＞0）圖象上有三點A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），則y1、y2、y3的大小關系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
3．下列關于x的函數(shù)一定為二次函數(shù)的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣5x2﹣3 C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3+x+1
4．對于二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象，下列說法正確的是（　　）
A．與x軸有兩個交點 B．當x＞﹣1時y隨x的增大而增大
C．開口向下 D．與y軸交點坐標為（0，3）
5．表給出了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值：那么方程ax2+bx+c＝0的一個根的近似值可能是（　　）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
6．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（n+2）x+m，當x＜﹣2時，y隨x的增大而增大，則n的取值范圍是（　　）
A．n＝﹣6 B．n≤﹣6 C．n≥﹣6 D．n＞﹣6
7．如圖，二次函數(shù)y＝a（x+1）2+4的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，下列說法錯誤的是（　　）
第7題圖 第8題圖 第11題圖
A．a(chǎn)＜0 B．方程a（x+1）2+4＝3有兩個不相等的實根
C．點B的坐標為（1，0） D．當 x＜0時，y隨x的增大而增大
8．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：
①abc＞0； ②2a﹣b＝0； ③9a+3b+c＞0； ④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），
其中正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
9．函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）與y＝ax+b的圖象可能是（　　）
A．B． C．D．
10．當m≤x≤m+2時，函數(shù)y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值為﹣2，則m滿足的條件為（　　）
A．m＝4或﹣2或0≤m≤2 B．m＝﹣4或2或﹣2≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣2或0≤m≤2 D．m＝4或2或﹣2≤m≤0
11．如圖所示四個二次函數(shù)的圖象中，分別對應的是：①；②；③；則大小關系是　 　．
12.已知是y關于x的二次函數(shù)，m＝ 　 　．
13．將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝　 ．
14．二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 　 　．
15．二次函數(shù)y＝3（x+2）2+1的圖象的頂點坐標是 　 　．
16．二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣3）的對稱軸是直線 　 　．
17．拋物線y＝3x2與直線y＝x+m的一個交點是（1，b），另一個交點為 　 　．
18．把二次函數(shù)y＝x2+bx+3由一般式化成頂點式為y＝（x+2）2+k，則k的值為　 　．
19．拋物線y＝4（x﹣3）2+7的對稱軸是　 　．
20．用配方法將二次函數(shù)化成的形式是　 　．
21．已知，點A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）的圖象上，則的大小關系是　 　．
22.已知拋物線y＝x2﹣4mx+2m+1，m為實數(shù)．
（1）如果該拋物線經(jīng)過點（4，3），求此拋物線的頂點坐標．
（2）如果當2m﹣3≤x≤2m+1時，y的最大值為4，求m的值．
23.已知拋物線G的頂點為（﹣3，﹣2），且經(jīng)過（﹣4，﹣1）．求拋物線G的表達式；
24.在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）．
（1）若拋物線經(jīng)過點（﹣1，5），求a的值；
（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設點S（s，y1），T（t，y2）是拋物線上兩個不同點，且s+t＝2，求y1+y2的取值范圍．
25.如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）兩點，與x軸相交于另一點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方拋物線上的一個動點（不與A、B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E，當PE＝2ED時，求P點坐標；
（3）拋物線上是否存在點M使△ABM的面積等于△ABC面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
26.如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點P，使得△APC的面積最大．若存在，請直接寫出點P坐標和△APC的面積最大值；若不存在，請說明理由．

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