資源簡介

人教A版高一下冊數(shù)學必修第二冊7.1.2復數(shù)的幾何意義教學設計
課題 7.1.2復數(shù)的幾何意義
課型 概念課 課時 1
學習目標 1.理解復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義； 2.掌握用向量的模表示復數(shù)模的方法，理解共軛復數(shù)的概念； 3.通過運用復數(shù)的幾何意義求模及軌跡形狀問題，提升直觀想象素養(yǎng)； 4.通過構造平面向量將復數(shù)問題轉化為圖形問題解決，提升數(shù)學建模素養(yǎng)．
學習重點 復數(shù)的幾何意義
學習難點 復數(shù)的向量表示
學情分析 本節(jié)課是在學生學習了復數(shù)的概念之后,對復數(shù)概念的進一步理解和深化. 復數(shù)z=a+bi (a, b∈R)本質是一對有序實數(shù)對(a, b)，因此利用復平面表示復數(shù)，可以直接得復數(shù)的兩種幾何意義.但在理解認識上，學生不易接受二維”的復數(shù)與點和向量的一對應關系。
核心知識 復平面 復數(shù)的向量表示 復數(shù)的模
教學內容及教師活動設計 （含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
一、情境引入 我們知道，在引入了新數(shù)“i”之后，我們對數(shù)的認知也擴充到了復數(shù)，復數(shù)都可以表示為z=a+bi（a，b∈R）的形式，其中，當b=0時，z為實數(shù)，也就是說，實數(shù)是復數(shù)中的一部分．我們又知道，實數(shù)從形的角度來說，它與數(shù)軸上的點一一對應，那么一個自然的問題就是：復數(shù)從幾何角度又有什么意義呢？ 二、新知探究 問題1：根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)z=a+bi都可以由一個有序數(shù)對（a，b）唯一確定；反之也對．由此你能想到復數(shù)的幾何表示方法嗎？ 回答：因為任何一個復數(shù)z=a+bi都可以由一個有序數(shù)對（a，b）唯一確定，并且任給一個復數(shù)也可以唯一確定一個有序實數(shù)對，所以復數(shù)z=a+bi與有序實數(shù)對（a，b）是一一對應的．而有序實數(shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點是一一對應的，所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系．如圖，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi可用點Z（a，b）表示． 設計意圖：通過類比，找出復數(shù)與有序實數(shù)對、坐標點的一一對應關系，從而找到復數(shù)的幾何意義． 　這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸． 例如，復數(shù)2+3i可用點（2，3）表示，復數(shù)1-i可用點（1，-1）表示；點（-2,1）表示復數(shù)-2+i，點（-3,-2）表示復數(shù)-3-2i． 追問：你能說一說兩條坐標軸上的點都代表什么數(shù)嗎？ 答案：實軸上點的坐標都（a，0）的形式，所表示的復數(shù)虛部為0，都是實數(shù)，即實軸上的點都表示實數(shù)．虛軸上的點，除原點外，其他坐標都是（0，b）（b≠0）這樣的形式，所表示的復數(shù)實部為0，虛部不為0，為純虛數(shù)，所以虛軸上的點除原點外都表示純虛數(shù)． 例如，復平面內的原點（0，0）表示實數(shù)0，實軸上的點（2，0）表示實數(shù)2，虛軸上的點（0，-1）表示純虛數(shù)-i，點（-2，3）表示復數(shù)-2+3i等． 按照這種表示方法，每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應．由此可知，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內的點建立了一一對應關系．這就是復數(shù)的一種幾何意義． 設計意圖：理解復數(shù)集合意義中的一一對應關系，認識復平面． 問題2：在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數(shù)對來表示，而有序實數(shù)對與復數(shù)是一一對應的，你能用平面向量來表示復數(shù)嗎？ 答案：如圖，設復平面內的點Z表示復數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z也可以由向量唯一確定．因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內以原點為起點的向量建立了如下一一對應關系（實數(shù)0與零向量對應），即： 這是復數(shù)的另一種幾何意義． 為了方便，我們常把復數(shù)z=a+bi說成點Z或說成向量，并且規(guī)定，相等的向量表示同一復數(shù)． 問題3：實數(shù)的絕對值和向量的模的幾何意義分別是什么？通過類比，你能說出復數(shù)的模的幾何意義嗎？ 答案：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，就叫做這個數(shù)a的絕對值．而向量的大小稱為向量的長度，也稱為向量的模． 類比可以得到，復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的模：（a，b∈R）， 從幾何上來看復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的模表示點（a，b）到原點的距離． 設計意圖：通過在復平面中尋找兩個復數(shù)對應的點和向量，理解復數(shù)的幾何意義，體會數(shù)形結合的思想． 三、典例應用 例1 設復數(shù)=4+3i，=4-3i． (1)在復平面內畫出復數(shù)，對應的點和向量； (2)求復數(shù)，的模，并比較它們的模的大小． 解：(1)如圖，復數(shù)，對應的點分別為，對應的向量分別為，， (2)， ． 所以． 問題4：點，有怎樣的關系？ 答案：點，的實部相等，虛部互為相反數(shù)． 一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)，虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．復數(shù)z=a+bi，那么=a-bi． 追問：若，是共軛復數(shù)，那么在復平面內它們所對應的點有怎樣的關系？ 答案：若，是共軛復數(shù)，在復平面內它們所對應的點關于實軸對稱． 例2 設，在復平面內對應的點為Z，那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？ (1)|z|=1；(2)1<|z|<2． 解：(1)由|z|=1得，向量的模等于1，所以滿足條件|z|=1的點Z的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓． (2)不等式1<|z|<2可化為不等式， 不等式|z|<2的解集是圓||z|=2的內部所有的點組成的集合，不等式的解集是圓外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件1<|z|<2的點Z的集合，容易看出，所求的集合是以原點O為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界． 設計意圖：加深對復數(shù)幾何意義的理解． 四、梳理小結
板書設計 1.復平面 2.復數(shù)的幾何意義 3.復數(shù)的模 4.例題板書
作業(yè)設計 （精準作業(yè)）7.1.2復數(shù)的幾何意義
教學反思 拓展的例題不足； 2、學生主體性體現(xiàn)不到位.
　

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