資源簡介

17.1勾股定理
一、學生起點分析
八年級學生已經具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力．在小學，他們已學習了一些幾何圖形面積的計算方法（包括割補法），但運用面積法和割補思想解決問題的意識和能力還遠遠不夠．部分學生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認識什么是“勾股定理”．此外，學生普遍學習積極性較高，探究意識較強，課堂活動參與較主動，但合作交流能力和探究能力有待加強．
教學任務分析
（一）本節內容分析
本節課是義務教育課程人教版八年級(下)第十七章《勾股定理》第一節第1課時. 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關系，將形與數密切聯系起來，在數學的發展和現實世界中有著廣泛的作用．本節是直角三角形相關知識的延續，同時也是學生認識無理數的基礎，充分體現了數學知識承前啟后的緊密相關性、連續性．此外，歷史上勾股定理的發現反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵著豐富的科學與人文價值．
（二）教學目標
1.掌握勾股定理的內容；理解勾股定理的證明方法；能夠使用勾股定理進行簡單的幾何計算.
2.通過親身參與數學活動，獲得成功的體驗；在小組探究中學會合作與分享.
3.通過對勾股定理的歷史介紹及交流，讓學生體會它的文化價值，提高學習數學的興趣和信心.
(三)教學重點難點
重點：直觀得出勾股定理，并用自己語言進行描述.
難點：充分體現探索過程，學生主動探索交流.
總體設計思路
為完成上述目標，本節課在設計思路上采用“問題情景——問題解決——歸納總結——鞏固練習——應用拓展——回顧思考”的六段式教學模式展開教學.
本節課通過閱讀章前圖所配文字及介紹勾股定理的歷史引入新課，讓學生認識所要解決的問題。在利用方格紙探索勾股定理的過程中讓學生進行思考、討論、交流，經過學生的觀察、歸納、猜想，發現問題并鼓勵學生運用自己的語言進行表達.通過練習加深學生對勾股定理認識的同時，提出勾股定理與現實生活的聯系，讓學生感受數學的應用價值。最后師生共同回顧總結，找出本節課的困惑，加以指導.
教學策略分析
（1）教學設計理念
本節課以沙畫的形式從還原2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會事件切入，直奔主題，激發學生的民族自豪感. 以問題為載體給學生提供思考、研討、探索的時間和空間，引導學生積極參與課堂活動，并強調同桌之間的合作和交流，強化應用意識，培養學生多方面的能力.讓學生通過動腦，動手，動口自主探索，感受到“無處不在的數學”與數學之美，以提高學習的興趣，進一步體會數學的地位與作用.
（2）教學組織形式
教學環節的設計與展開，都以問題的討論和解決為中心，使教學過程成為學生在教師的指導下的一種研討、探索的學習活動過程，讓學生在討論和交流中逐步發現、辨析、證明、應用勾股定理.
（3）教學方法
1、本節課采用“感知歸納法”，利用多媒體課件呈現豐富的問題情景，采用自主探究、合作交流的學習方式。教師適時引導、點撥，協助歸納總結。
2、對于運用勾股定理解決實際問題，要使學生整體把握和分析哪是直角邊，哪是斜邊，并引導學生總結運用勾股定理解決實際問題的過程，善于發掘學生的新見解，并及時給予肯定，捕捉學生思維中的亮點，鼓勵和促進學生進行創造性思維.
教學媒體應用
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是直角三角形的一個重要性質．本教學設計利用計算機(幾何畫板軟件動態顯示)的優越條件，提供足夠充分的典型材料——形狀大小、位置發生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關系式，并通過拼圖，發現直角三角形的這個特有性質，體現了啟發學生獨立分析問題、發現問題、總結規律的教學方法．
教學過程
本節課設計了五個教學環節：第一環節：創設情境，引入新課；第二環節：探索發現勾股定理；第三環節：勾股定理的證明；第四環節：勾股定理的簡單應用；第五環節：課堂小結；第六環節：布置作業．
第一環節：創設情境，引入新課
內容：相傳2500年前，畢達哥拉斯去老朋友家做客時，發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系，我們也來觀察一下地面的圖案，你能從中發現什么數量關系？
意圖：緊扣課題，自然引入，激發起學生的求知欲.
第二環節：探索發現勾股定理
1．探究活動一
內容：投影顯示如下地板磚示意圖，引導學生從面積角度觀察圖形：
問：你能發現上圖中三個正方形的面積之間有何關系嗎？等腰直角三角形三邊有怎樣的等量關系？
學生通過觀察，歸納發現：
結論1 以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積．
意圖：從觀察實際生活中常見的地板磚入手，讓學生感受到數學就在我們身邊．通過對特殊情形的探究得到結論1，為探究活動二作鋪墊.
2．探究活動二
內容：由結論1我們自然產生聯想：一般的直角三角形是否也具有該性質呢？
（1）觀察下面兩幅圖：
（2）填表：
A的面積（單位面積） B的面積（單位面積） C的面積（單位面積）
左圖
右圖
（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流．（學生可能會做出多種方法，教師應給予充分肯定．）
　　　　 圖1　　　　　　　　　 圖2　　　　　　　　　　
學生的方法可能有：
方法一：如圖1，將正方形C分割為四個全等的直角三角形和一個小正方形， ．
方法二：如圖2，在正方形C外補四個全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，．
（4）分析填表的數據，你發現了什么？
學生通過分析數據，歸納出：
結論2 以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積．
意圖：探究活動二意在讓學生通過觀察、計算、探討、歸納進一步發現一般直角三角形的性質．由于正方形C的面積計算是一個難點，為此設計了一個交流環節.
3．議一議
內容：（1）你能用直角三角形的邊長，，來表示上圖中正方形的面積嗎？
（2）你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？
命題1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，
分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．
意圖：議一議意在讓學生在結論2的基礎上，進一步發現直角三角形三邊關系，得到勾股定理.
第三環節：勾股定理的證明
內容：歷史上所有的文明古國對勾股定理都有研究.下面我們看看歷史上我國的數學家對勾股定理的研究，并通過小組合作完成課本拼圖法證明勾股定理.
師生活動：教師展示下圖，并介紹：這個圖案是3世紀三國時期的趙爽在
注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為趙爽弦圖.趙爽根據此圖指出：四個全等的直角三角形可以如圖圍成一個大正方形，中間的部分是一個小正方形,讓我們跟著我國漢代數學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.
要點歸納：勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.
公式變形：
意圖：通過拼圖活動，調動學生思維的積極性，為學生提供從事數學活動的機會，發展學生的形象思維；使學生對定理的理解更加深刻，體會數學中的數形結合思想.
第四環節：勾股定理的簡單應用
內容：
1、設Rt△ABC中，邊BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c.已知a=6,b=8.
（1）若∠C=90°，則c=_____.
（2）若∠B=90°，則c=_____.
2、若直角三角形中，有兩條邊長是3和4，則第三條邊長為_______.
意圖：考查學生能否清晰地辨別勾股定理的表述方式.
3、圖中已知數據表示面積，求表示面積的x=____，y=____。
4、如圖，圖中所有三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的邊長分別 2，4，3，5，求最大正方形E的面積為_____.
意圖：學生應掌握三個正方形的面積關系并進一步體會以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系.
第五環節：課堂小結
內容：
教師提問：
1．這一節課我們一起學習了哪些知識和思想方法？
2．對這些內容你有什么體會？與同伴進行交流．
在學生自由發言的基礎上，師生共同總結：
1．知識：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，
分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．
2．方法：（1） 觀察—探索—猜想—驗證—歸納—應用；（2）“割、補、拼、接”法.
3．思想：（1） 特殊—一般—特殊；（2） 數形結合思想．
意圖：鼓勵學生積極大膽發言，可增進師生、生生之間的交流、互動．
七、學業評價設計
1. 求圖中字母表示的正方形的面積.
2. 直角三角形的兩條直角邊長分別為 5，12，則斜邊長為 .
3. 直角三角形的兩條直角邊長分別為6，8，則斜邊上的高為 .
4. 在等腰三角形ABC中，AB = AC = 17，BC = 16. 求等腰三角形ABC的面積？
5．觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長是否滿足？
意圖：課后作業設計包括了三個層面：作業1-2是為了鞏固基礎知識而設計；作業3-4是為了檢測學生應用勾股定理進行計算的能力；作業3是為了拓廣知識，進行課后探究而設計，通過此題可讓學生進一步認識勾股定理的前提條件．
八、教學反思
本節課順利完成既定教學目標，學生課后檢測成績好.
主要亮點：
1.通過教師自制教具，在課堂上給學生進行演示實驗，并對實驗現象提出猜想，即使學生容易接受，又符合科學探究的方法．
2.利用圖形的拼接對勾股定理進行證明，重視數形結合的思想方法滲透，重視數學三種語言之間的互譯，讓學生明白其中的互相關系．
3.以小組合作學習的方式探究定理證明與運用，充分調動每個學生的學習積極性，使他們學會與人合作，與人交流，并能與人分享．
4.對問題的設置與變式得當且有目的性，講授嚴謹清晰，不乏幽默感，板書工整合理．
不知之處：
1.新課標下“數學教學活動是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程”的教學，本節課在小組驗證勾股定理時，組內交往互動不足。
2.受課堂時間的限制，留給學生思考和研究的時間不足，還有小部分學生是在其他學生和教師的帶領下被動跟隨，如果能再多給學生一些思考的時間，教學效果會更好.
3.在對學生評價方面的引導用語還不夠豐富，有提升空間．
證明：∵S大正方形＝________，
S小正方形＝________,
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴________=________+__________.

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