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2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)中的面積問題
二次函數(shù)中的面積問題是中考的熱點，面積問題如果是規(guī)則圖形可以用常見的面積公式解決問題的就直接用面積公式，如果不能直接用面積公式在坐標(biāo)系中處理面積問題，通常有以下三種思路：第一是割補法：分割求和、補形作差，其中用的最多的是鉛垂線法；第二是同底等高利用平行線轉(zhuǎn)化求面積；第三如果遇到的是面積比可以考慮用相似的性質(zhì)得到線段比去解決相關(guān)問題。
【引例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，求△ABC的面積．
【鉛垂法】
【方法梳理】
（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；
（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標(biāo)同點C；
（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標(biāo)，得點D縱坐標(biāo)；
（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；
（5）．
二、轉(zhuǎn)化法——借助平行線轉(zhuǎn)化：
若S△ABP=S△ABQ， 若S△ABP=S△ABQ，
當(dāng)P，Q在AB同側(cè)時，PQ∥AB． 當(dāng)P,Q在AB異側(cè)時，AB平分PQ
三、面積比類型
例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2﹣6x+5經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．若點M為x軸下方拋物線上一動點，當(dāng)點M運動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時點M的坐標(biāo)；
例2.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，拋物線在線段BC上方部分取一點P，連接PB、PC．
（1）過點P作PH⊥x軸交BC邊于點H，求PH的最大值；
（2）求△PBC面積的最大值（可以用鉛垂線法和平行線法）；
變式1.如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．點D為拋物線的頂點，直線BC的解析式為y＝﹣x+3，求△BCD的面積；
變式2.如圖，拋物線y＝﹣x2+4x﹣3；與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，直線BC方程為y＝x﹣3．點P為拋物線上一點，若S△PBC＝S△ABC，求P的坐標(biāo)；
變式3.已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3經(jīng)過（﹣1，0），（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx與拋物線交于A，B兩點．是否存在實數(shù)k使得△ABC的面積為？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
變式4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．若點D為第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
例3.如圖，拋物線y＝﹣x2+4x﹣3與x軸交于點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，連接AC，BC．P為拋物線上一點，若S△PBC＝S△ABC，求出點P的坐標(biāo)；
【引例2】如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標(biāo)為m．當(dāng)CP與x軸不平行時，求的最大值；（化斜為直）
例4.如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A和點B，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD，OD交BC于點F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標(biāo)．
變式1.拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x交于原點O和點B，與x軸交于另一點A，頂點為D．M是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．
變式2.已知：如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+4；點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時，求點Q的坐標(biāo)；
變式3.已知二次函數(shù)解析式為y＝3x2﹣3，直線l的解析式為y＝，點P為拋物線上第四象限上的一動點，過P作y軸的平行線交AD于M，作PN⊥AD于N，當(dāng)△PMN面積有最大值時，求點P的坐標(biāo)；
例4.如圖拋物線y＝﹣x2+2x+3經(jīng)過點A（﹣1，0），點C（0，3），點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標(biāo)．
變式1.已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3．與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，﹣3），頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．若直線y＝mx﹣m﹣4將四邊形ACDB的面積分為1：2兩部分，則m的值為多少
作業(yè)：1.已知二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的圖象交x軸于A，B兩點．若其圖象上有且只有P1，P2，P3三點滿足＝＝＝m，則m的值是（　　）A．1 B． C．2 D．4
2.已知拋物線y＝x2﹣x+3；經(jīng)過A（3，0）、B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積是△BDA面積的2倍？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
3.如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標(biāo)分別為B（3，0），C（0，3），點M是拋物線的頂點，點P為線段MB上一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，若OD＝m．設(shè)△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值嗎？若有，求出其最值，若沒有，請說明理由；

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