資源簡介

人教版小學數學五年級下冊素養達標教學設計
4.7 最大公因數
教學內容 人教版小學數學五年級下冊教材P60.例1.2
教材分析 最大公因數這部分內容是在學生掌握了因數概念的基礎上進行教學的，主要是為學習約分做準備。例題是求兩個數的因數分別是多少，再從兩個數的因數中找出公有的因數，從公有的因數中求最大的公因數，讓學生懂得找公因數的基本方法。在此基礎上，引入公因數和最大公因數的概念。為了加深理解，教材安排例2，可以進一步引導學生觀察，分析討論，讓學生說明找兩個數的公因數的方法。
學情分析 本冊第二單元，學生已經理解了因數和倍數的意義，能用乘法算式、集合等方式列舉出一個數的因數。因此用列舉法找最大公因數沒有困難。而利用因數關系、互質數關系找還有一定的難度。因為學生不易發現這兩個數具有這些關系。
核心素養 培養學生數學的集合思想和類比能力。
學習目標 1.理解兩個數的公因數和最大公因數的意義，能熟練地求兩個數的最大公因數。 2.結合具體例題，培養學生觀察、分析、抽象歸納等能力。 3.激發學生的學習積極性，發展積極的學科情感。
教學重點 理解求兩個數的公因數和最大公因數的方法。
教學難點 探索兩個數和它們的最大公因數的兩類關系的規律（倍數、互質）。
教學方法 實踐活動、自主觀察、獨立思考、合作交流及啟發引導等。
教學準備 多媒體課件
教學過程
教學環節 師生雙邊活動 設計意圖
一、 知識鏈接 以“引入1”為例。 師：同學們，我們一起來回顧一下倍數的知識，這道題誰是誰的倍數呢？ 生：84是7的倍數。 師：很好，那幾是幾的因數呢？ 生：7是84的因數。 師：大家一起來說一說，什么是因數？什么是倍數？ 生：在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。 師：所以同學們知道倍數和因數的關系是怎樣的嗎？ 生：相互依存。 師：非常好，同學們，你們知道什么是公因數嗎？它應該怎么求呢？今天我們就一起來學習最大公因數的概念和求兩個數的最大公因數。（板書課題） 通過復習倍數、因數等知識，由學生已有的知識經驗入手，調動學生的積極性，利用已經學過的知識，遷移到新的知識，從而激發其學習興趣，為后續學習“求最大公因數”做好準備。
二、 探究新知 一、公因數和最大公因數的意義 師：那么我們一起來找找8的因數有哪些呢？ 生：1，2，4，8。 師：很好，12的因數呢？ 生：1，2，3，4，6，12。 教師出示例1.8和12公有的因數是哪幾個？公有的最大因數是多少？ 師：剛剛我們找出了8和12的因數，那誰能告訴我8和12公有的因數是哪些？ 生：1，2，4。 師：剛才我們把8和12的因數列舉出來找公因數的方法呢，就是列舉法。那是否還有其他表示公因數的方法呢？ 師講解：我們還可以把對應的因數寫在集合中，這個時候兩個集合會有重疊的部分，就像圖中所示。那么中間重疊的部分就是8和12的公因數。大家知道重疊的部分要填什么嗎？（出示課件） 生：1，2，4。 師：非常好，所以接下來兩邊不重疊的地方又是多少呢？ 學生自由回答。老師出示答案。 師：這種畫圖找重疊的方法叫作集合法。所以同學們知道8和12的公有的因數有哪些嗎？ 生：1，2，4. 師講解：我們把幾個數公有的因數叫作這幾個數的公因數。所以1，2，4就是8和12的公因數。 師：很好，那8和12的最大公因數是多少呢？什么是最大公因數呢？我們在數學上把公因數中最大的一個叫作這幾個數的最大公因數。所以你們知道8和12的最大公因數是幾嗎？ 生：4。 二、求兩個數的最大公因數的方法 師：我們學完了最大公因數的概念，接下來分組討論一下，想辦法求18和27的最大公因數。（出示例2） 巡堂觀察學生討論情況，最后小組派代表回答討論結果。 師：很好，根據同學們的結果，我們分成了兩大方法，一種是列舉法，先找出18和27各自的因數。18的因數有哪些呢？ 生：1，2，3，6，9，18。 師：很好，一定要找齊全喔，我們接下來找27的因數。 生：1，3，9，27。 師：非常好，所以18和27的公因數是哪些呢？ 生：1，3，9。 師：那最大公因數呢？ 生：9。 師：很好，這種一個個列舉下來，最后找出最大公因數的方法，我們稱之為列舉法。那除了這種方法，我們還可以用篩選法。根據因數的特性，我們先找出兩個數中較小的數的因數，也就是18的因數。18的因數有哪些？同學們再回答一下。 生：1，2，3，6，9，18。 師：很好，我們這時候再看18的因數中哪些是 27 的因數，并找出最大的那個。哪些是27的因數呢？ 生：1，3，9，是27的因數。 師：很好，那么在1，3，9中我們找最大的數字，就是18和27的最大公因數。除此以外，還有沒有其他方法呢？ 師：我們還可以通過分解質因數的方法來求，18分解質因數等于多少乘多少呢？ 生：3×3×2。 師：很好，那么27分解質因數等于多少乘多少呢？ 生：3×3×3。 師：這時候我們可以看到，18和27都有兩個3相乘，所以18和27的最大公因數就是3×3=9。而我們通常為了簡便，就會寫成右側的形式。在短除號里面的數字用公有的質因數相除。例如18和27用公有的質因數3去除，剩下的商6和9再繼續用質因數3去除，除到兩個商只有公因數1為止。所以同學們這種方法求出來的最大公因數是幾呢？ 生：3×3=9。 師：很好，右邊的這種方法我們又稱為短除法。請同學們先在草稿紙上試著用短除法計算 12 和 18 的最大公因數，再小組討論一下短除法的特點。 巡堂觀察學生討論情況，最后小組派代表回答討論結果。 出示答案和步驟，并讓學生跟讀一遍。 將兩個數寫在短除號中，用它們的除 1以外的公有的最小質因數作除數去除。 將除數寫在短除號的左邊，將商寫在下面，再找商的除 1 以外的公有的最小質因數作除數繼續去除，直到得到的商的公因數只有 1 為止。 將所有的除數相乘，所得的積就是這幾個數的最大公因數。 三、探究兩個數的公因數和它們的最大公因數的關系 師：同學們觀察一下，兩個數的公因數和它們的最大公因數之間有什么關系？ 生：1、2、4 都是 4 的因數；4 分別是 1、2、4 的倍數。 生：1、3、9 都是 9 的因數；9 分別是 1、3、9 的倍數。 師：很好，所以我們可以知道，兩個數的公因數是它們最大公因數的因數；最大公因數是公因數的倍數。 四、小結 幾個數公有的因數叫作這幾個數的公因數。 公因數中最大的一個叫作這幾個數的最大公因數。 求最大公因數的方法：列舉法、篩選法、分解質因數法、短除法 六、做一做 1.把16和24的因數、公因數分別填入相應的位置，再圈出它們的最大公因數。（教材P61） 2.下面哪些數是12的因數而不是18的因數？哪些數是18的因數而不是12的因數？哪些數是12和18的公因數？（教材P61） 1 2 3 4 6 9 12 18 12的因數：1，2，3，4，6，12； 18的因數：1，2，3，6，9，18； 12和18的公因數：1，2，3，6。 3.找出下面每組數的最大公因數。你發現了什么？（教材P61） 4 和 8 12 和 36 1 和 7 4 12 1 8 和 9 5 和 11 12 和 35 1 1 1 發現：當兩個數成倍數關系時，較小數就是它們的最大公因數。當兩個數的公因數只有 1 時，它們的最大公因數就是 1。 補充集合法讓學生從小培養集合的概念，同時也借助圖形加深學生對最大公因數的理解。除此之外，講解多種方法求兩個數的最大公因數，提高學生發散思維的能力。
三、 課堂演練 1.填空。（教材P63第1題） （1）10和15的公因數有__________________。 （2）14和49的公因數有__________________。 2.找出下面每組數的最大公因數。 3.在括號里寫出各個分數中分子和分母的最大公因數。（教材P63第4題） （ 1 ） （ 4 ） （ 18 ） （ 3 ） （ 7 ） （ 11 ） 4.選一選。 （1）下面最大公因數最小的一組數是（ C ）。 A.16和48 B.100和2 C.89和90 （2）如果m=4n（m、n均為非零自然數），那么m和n最大公因數是（ B ）。 A.m B.n C.4 5.利用短除法形式，求出下面各組數的最大公因數。 （1）24 和 40 （2）30 和 45 6.按要求寫出兩個數，使它們的最大公因數是1。（教材P64第8題） （1）兩個數都是質數：______和______。 （2）兩個數都是合數：______和______。 （3）一個質數、一個合數：______和______。 答案不唯一，示例：（1）13；19；（2）20；21；（3）17；15 7.已知a = 2×3×5，b = 2×5×7，它們的公因數有（ 1，2，5，10 ），最大公因數是（ 10 ）。 主要是鞏固課堂所學的知識，提升解決問題的能力。
四、 總結評價 1.課堂總結 2.素養評價 3.布置作業 （1）完成《分層作業》中對應練習。 （2）預習下一節內容。
板書設計 最大公因數 兩個數公有的因數，叫作它們的公因數。其中，最大的公因數叫作它們的最大公因數。 兩個數的公因數是它們最大公因數的因數，兩個數的最大公因數是它們公因數的倍數。
課后作業 1.完成《分層作業》中對應練習； 2.預習下一節內容。
課后反思 本節課是在學生掌握了因數、倍數、找因數的基礎上進行教學的。對于學生而言這節課并不難，因此在教學中，要給予學生充分自主學習的時間和空間，讓學生在自主學習、小組討論中，經歷從概念到表象，再從表象到新的概念的過程。為了達成這節課的目的，我始終積極地調動學生的情感，啟發他們主動參與，引導他們感知、理解，從而在腦海中形成系統的知識體系。

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