資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.1.1 平方根與算術平方根
——新授課
一、教材分析
本節主要學習平方根與算術平方根的概念，涉及非負數開平方的運算規則及其應用。算術平方根是平方根的特殊形式（僅取非負根），兩者共同構成后續學習二次根式、方程及函數的基礎。且本節內容位于“實數”章節的起始部分，是銜接有理數與無理數的重要紐帶，為后續學習根式運算、勾股定理等提供理論支撐。
二、學情分析
1.知識儲備：已掌握平方運算，但對逆向運算（開平方）的理解較薄弱，易混淆“平方根”與“算術平方根”的概念。對非負數范圍的認知不足，可能誤認為負數存在平方根。
2.能力水平：具備初步的代數運算能力，但符號處理易出錯。且抽象思維能力較弱，需借助具體實例理解抽象概念。
3.學習心理：對公式記憶和符號運算存在畏難情緒，需通過生活化情境激發興趣，且需要教師通過分層練習和直觀化教學逐步建立信心。
三、教學目標
1.理解平方根與算術平方根的概念，明確兩者的區別與聯系。
2.掌握算術平方根的符號表示（）及非負性（a≥0，≥0）。
3.能正確求出一個非負數的算術平方根及平方根，并解決簡單實際問題。
4.經歷從具體實例（如正方形面積）到抽象概念的歸納過程，培養觀察與概括能力。
5.感受數學符號的簡潔性與邏輯美，激發探索興趣。
四、重點難點
重點:平方根與算術平方根的定義及其符號化表達。
難點:平方根的雙值性與算術平方根的單值性。
五、教學方法
講授法、練習法、問答法
六、教學過程
一、問題導入
【問題】小明將一個長為2、寬為1的長方形紙片，按圖所示方法剪拼成了一個正方形.觀察圖中過程，由此你能發現這個正方形的面積是多少嗎？它的邊長呢？
正方形的面積是2，邊長的平方是2.
問題：你知道邊長怎么表示嗎？
這個問題的實質就是要找一個數，使它的平方等于給定的數.
二、探究新知
【抽象】如果有一個數r，使得r2=a，那么r叫作a的一個平方根，也叫作二次方根.
若r2=a，則r是a的一個平方根.
例如，由于22=4，因此2是4的一個平方根.
又因為(-2)2=4，所以-2也是4的一個平方根.
【探究】4的平方根除了2和-2以外，還有其他的數嗎？
∵邊長大于2的正方形的面積一定大于4，
∴比2大的數都不是4的平方根.
∵邊長小于2的正方形的面積一定小于4，
∴比2小的正數都不是4的平方根.
又∵(-b)2=b2
∴大于-2或小于-2的負數都不是4的平方根.
又∵0顯然不是4的平方根.
∴4的平方根有且只有兩個：2與-2.
【定義】如果r是正數a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：r與-r.
正數a的正平方根叫作a的算術平方根，記作，讀作“根號a”；
正數a的負平方根記作，讀作“負根號a”.
這樣，正數a的兩個平方根可以用“±”來表示，讀作“正、負根號a”.
注意：1.一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數 . 一個正數只有一個算術平方根.
2.算術平方根具有雙重非負性：
①根號內的數a是非負數，即a≥0.
②算術平方根是非負數，即 ≥0.
【思考】0的平方根是多少？負數有平方根嗎？
∵02= 0,
又∵非零數的平方不等于0，
∴0的平方根就是0本身.
∵同號兩數相乘得正數，且02= 0，
∴不存在一個數的平方是負數，
∴負數沒有平方根.
0的平方根也叫作0的算術平方根，記作0，即02=0.
【牛刀小試】判斷下列語句是否正確：
1.3是9的平方根；
2.9的平方根是3；
3.4是-16的平方根；
4.0的平方根是0；
5.算術平方根等于本身的數只有0.
注意：1.0的平方根就是0本身。
2.負數沒有平方根。
3.算術平方根等于本身的數只有0和1。
【定義】求一個非負數的平方根的運算，叫作開平方. 這個非負數叫作被開方數.
開平方與平方互為逆運算.
二、例題探究
例1 分別求下列各數的平方根：(1)36; (2) ； (3)1.21.
解：(1)由于(±6)2=36，因此36的平方根是6與-6，即
.
(2)由于(±)2=，因此的平方根是與，即
.
(3)由于(±1.1)2=1.21，因此1.21的平方根是1.1與-1.1，即
.
例2分別求下列各數的算術平方根：
（1）100； （2）1.96； （3）.
解： (1)由于102=100，因此=10;
(2)由于1.42=1.96，因此=1.4;
(3)由于2= ，因此= ;
正數越大，它的算術平方根也越大。
【議一議】下列各數有平方根嗎？如有，分別是多少？
(1) ； (2) (-5)2.
解：(1)∵=81，（±9）2=81，
∴的平方根是9與-9，即
(2)∵(-5)2=25，（±5）2=25，
∴(-5)2的平方根是5與-5，即
三、課堂練習
1. 25的平方根是 (　 )
A.25　　　 B.-5　　　 C.5　　　 D.±5
2. (-2)2的平方根是 (　 )
A.2　　　 B.-2　　　 C.±2　　　 D.
3.化簡的結果是 （　　）
A. 9 B. -3 C. ±3 D. 3
4.下列說法正確的有 （　　）
①-2是-4的一個平方根；②a2的平方根是a；③2是4的一個平方根；④4的平方根是-2.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
5.若13是m的一個平方根， 則m的另一個平方根是 （　　）
A. 13 B. -13 C. ±13 D. 69
6.求下列各數的平方根:
(1)121. 　　　 (2)0.01. 　　　 (3)2.　　　 (4)(-13)2.
7.一個正數b的兩個不同的平方根分別是2a-1與-a+2,求a和b的值.
四、課堂小結
這節課你收獲了什么，在運用過程中需注意什么？
五、作業布置
課堂作業：P31 T1-3
家庭作業：《學法》P24 A組（基礎一般），A、B、C組（基礎較好）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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