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第八章 實數
8.2 立方根（第一課時）
1.理解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根。
2.了解立方與開立方互為逆運算，會用開立方求一個數的立方根。
3.理解立方根的性質，分清一個數的平方根與立方根的聯系與區別。
1.一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的_______或________. 故正數a的平方根可以用 _____表示.
2.求一個數a的平方根的運算，叫做_______。根據這種互逆關系，可以求一個數的_________。
3.正數有____個平方根，它們互為______；0 的平方根是 ___；負數______平方根.
平方根
二次方根
開平方
平方根
兩
相反數
0
沒有
在上一節，我們通過研究平方的逆運算學方根， 本節來研究立方的逆運算．
平方
平方根
逆運算
立方
？
逆運算
思考：如果一個數的立方等于8，那么這個數是多少？
因為23=8，所以這個數可以是2。
除2以外，任何一個數的立方都不等于8。
因此，如果一個數的立方等于8，那么這個數是2。
一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3＝a，那么這個數x叫做a的立方根或三次方根.
即：x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
2 是 8 的立方根；
23＝8
(－2)3＝－8
03＝0
－2是－8 的立方根；
0 是 0 的立方根．
正如開平方與平方互為逆運算一樣，開立方與立方也互為逆運算．根據這種互逆關系，可以求一個數的立方根。
求一個數的立方根的運算，叫做開立方．
23＝( ？ )
立方運算
( ？ )3＝8
開立方運算
互逆
互逆
到了高中，我們將學習一般的開方運算．
探究：根據立方根的意義填空。
因為13 ＝1，所以1的立方根是（ ）；
因為（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）；
因為（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）；
因為（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）；
因為（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）．
你能發現正數的立方根有什么特點嗎？負數呢？０的立方根是多少？
0.4
0.4
0
0
-2
-2
1
立方根的性質
正數的立方根是正數；
負數的立方根是負數；
0的立方根是0.
一個數a的立方根，記作：讀作：“三次根號a”，其中，a是被開方數，3是根指數。
例：表示8的立方根，
表示-8的立方根，
被開方數
根指數
根指數3，不能省略！
根指數
？
2
根指數2，可以省略！
平方根 立方根
性 質 正數
0
負數
表示方法
被開方數的范圍
兩個，互為相反數
一個，為正數
0
0
沒有平方根
一個，為負數
可以為任何數
a≥0
想一想：你能說一說數的立方根與數的平方根有什么不同嗎？
例1：判斷下面的說法是否正確，若不正確，請改正。
(1)125的立方根是±5；
(2)±3是27的立方根；
(3)(-1)3的立方根是-1；
(4) 的立方根是-2 .
錯誤，125的立方根是5；
錯誤，3是27的立方根；
錯誤，的立方根是
正確
例2：求下列各數的立方根。
(1) (2)3； (2) 343； (3) 64； (4).
解：(1) (2)3 的立方根是2，即；
(2)因為73 =343，所以343的立方根是7，即；
(3)因為 (4)3 =64，所以64的立方根是4，即；
(4)因為()3= ，所以的立方根是，即.
【知識技能類練習】必做題：
1．有理數64的立方根是( )
A．4 B．8 C．±4 D．±8
A
【知識技能類練習】必做題：
2．如果一個數的立方等于它本身，那么這個數是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1、或0
D
【知識技能類練習】必做題：
3．求下列各數的立方根.
(1);　 (2)81×9.
解：(1)因為()3=,
所以的立方根是即=.
(2)因為81×9=93,
所以81×9的立方根是9，即=9.
【知識技能類練習】選做題：
4．求下列各式中的的值：
(1) (2)
解：（1）因為
所以
∴
（2）移項，得
系數化為1，得
因為
所以
【綜合拓展類練習】
5．請根據如圖所示的對話內容解答下列問題．
(1)求大正方體木塊的棱長
(2)求截得的每個小正
方體木塊的棱長．
解：（1）因為103=1000，
所以大正方體木塊的棱長
（2）設截得的每個小正方體木塊的棱長，根據題意得：
解得：，
答：截得的每個小正方體木塊的棱長．
立方根
立方根的性質
立方根的概念
立方根的表示方法
【知識技能類作業】必做題：
B
1． 的值是( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
【知識技能類作業】必做題：
2．對于說法錯誤的是（ 　）
A．表示的立方根 B．結果等于
C．與的結果相等 D．沒有意義
D
【知識技能類作業】必做題：
B
3．若一個數的立方根是-6,則該數為( )
A.- B.-216 C.± D.±216
【知識技能類作業】選做題：
4．求下列各式中的x的值．
（1）； （2）．
解：（1），
，
；
（2），
，
，
．
【綜合拓展類作業】
5．如圖是一張面積為的正方形紙片．
(1)正方形紙片的邊長為______；（直接寫出答案）
(2)若用此正方形紙片制作一個體積為的無蓋正方體，請在這張正方形紙片上畫出無蓋正方體的平面展開圖的示意圖，并求出該正方體所用紙片的面積．
20cm
解：（2）正方體的邊長為：，
平面展開圖如圖所示（陰影部分為剪去的部分），
所用紙片面積為。中小學教育資源及組卷應用平臺
同步探究學案
課題 8.2 立方根（第一課時） 單元 第八章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 1.理解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根。 2.了解立方與開立方互為逆運算，會用開立方求一個數的立方根。 3.理解立方根的性質，分清一個數的平方根與立方根的聯系與區別。
重點 理解立方根的定義并且會用根號表示一個數的立方根。
難點 理解立方根的性質，分清一個數的平方根與立方根的聯系與區別。
探究過程
導入新課 【引入思考】 1.一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的_______或________. 故正數a的平方根可以用 _____表示. 2.求一個數a的平方根的運算，叫做_______。根據這種互逆關系，可以求一個數的_________。 3.正數有____個平方根，它們互為______；0 的平方根是 ___；負數______平方根.
新知探究 本節課來研究： 本節我們借助立方的逆運算，研究立方根。 思考：如果一個數的立方等于8，那么這個數是多少？ 答：因為（ ）3=8，所以這個數可以是______。 除2以外，任何一個數的______都不等于8。 因此，如果一個數的立方等于8，那么這個數是______。 歸納1：一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3＝____，那么這個數_____叫做a的立方根或________. 即：x3＝a，那么x叫做_____的______或三次方根。 例如：23＝8，2 是_____的立方根； (－2)3＝－8，_____是－8 的立方根； 03＝0，______是 0 的立方根． 歸納2：求一個數的立方根的運算，叫做_______．正如開平方與平方互為逆運算一樣，開立方與立方也互為_______．根據這種互逆關系，可以求一個數的_______。 注：到了高中，我們將學習一般的開方運算． 探究：根據立方根的意義填空。 因為13 ＝1，所以1的立方根是（ ）； 因為（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）； 因為（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）； 因為（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）； 因為（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）． 你能發現正數的立方根有什么特點嗎？負數呢？０的立方根是多少？ 歸納：立方根的性質 正數的立方根是____數；負數的立方根是____數；0的立方根是____. 一個數a的立方根，記作：讀作：“三次根號a”，其中，a是_______，3是_____。根指數3，不能省略！ 例如：表示8的立方根， 表示_____的立方根， 強調：的根指數是____，根指數2，可以省略！ 填表： 平方根立方根性 質正數0負數表示方法被開方數的范圍
例1：判斷下面的說法是否正確，若不正確，請改正。 (1)125的立方根是±5； (2)±3是27的立方根； (3)(-1)3的立方根是-1； (4) 的立方根是-2 . 例2：求下列各數的立方根。 (1) (2)3； (2) 343； (3) 64； (4).
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．有理數64的立方根是( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8 2．如果一個數的立方等于它本身，那么這個數是（ ） A．1 B． C．1或 D．1、或0 3．求下列各數的立方根. (1);　 (2)81×9. 選做題： 4．求下列各式中的的值： (1) (2) 【綜合拓展類練習】 5．請根據如圖所示的對話內容解答下列問題． (1)求大正方體木塊的棱長 (2)求截得的每個小正 方體木塊的棱長．
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1． 的值是( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 2．對于說法錯誤的是（ 　） A．表示的立方根 B．結果等于 C．與的結果相等 D．沒有意義 3．若一個數的立方根是-6,則該數為( ) A.- B.-216 C.± D.±216 選做題： 4．求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 【綜合拓展類作業】 5．如圖是一張面積為的正方形紙片． (1)正方形紙片的邊長為______；（直接寫出答案） (2)若用此正方形紙片制作一個體積為的無蓋正方體，請在這張正方形紙片上畫出無蓋正方體的平面展開圖的示意圖，并求出該正方體所用紙片的面積．
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分課時教學設計
第四課時《8.2 立方根（第一課時）》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課主要學習立方根的概念和性質，是在學習了立方運算、平方根和算術平方根的基礎上進行的，之前立方、平方根和算術平方根的學習為這節課奠定了方法基礎和知識基礎，立方根的學習也為學習實數提供了知識積累。
學習者分析 在學方根概念的基礎上學習立方根的概念，學生比較容易接受，因此教學重點放在立方根具有唯一性(實數范圍內)的討論上，在學生對數的立方根概念及個數的唯一性有了一定理解的基礎上，再提出數的立方根與數的平方根有什么區別，學生就容易解決問題.在學方根的基礎上，學生經歷用類比的方法學習立方根的有關知識，領會類比思想.通過對立方根性質的探究，在探究中培養學生的逆向思維能力和分類討論的意識。
教學目標 1.理解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根。 2.了解立方與開立方互為逆運算，會用開立方求一個數的立方根。 3.理解立方根的性質，分清一個數的平方根與立方根的聯系與區別。 4.滲透類比的思維方式，培養學生的類比推理能力。
教學重點 理解立方根的定義并且會用根號表示一個數的立方根。
教學難點 理解立方根的性質，分清一個數的平方根與立方根的聯系與區別。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 1.理解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根。 2.了解立方與開立方互為逆運算，會用開立方求一個數的立方根。 3.理解立方根的性質，分清一個數的平方根與立方根的聯系與區別。學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 問題： 1.一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的_______或________. 故正數a的平方根可以用 _____表示. 答案：平方根，二次方根， 2.求一個數a的平方根的運算，叫做_______。根據這種互逆關系，可以求一個數的_________。 答案：開平方，平方根 3.正數有____個平方根，它們互為______；0 的平方根是 ___；負數______平方根. 答案：兩，相反數，0，沒有 引言：在上一節，我們通過研究平方的逆運算學方根， 本節來研究立方的逆運算．學生活動2： 學生積極主動回答老師出示的問題活動意圖說明： 通過回顧平方根的相關知識，加深對平方根的理解，為類比得出立方根的概念做好鋪墊。環節三：新知講解教師活動3： 思考：如果一個數的立方等于8，那么這個數是多少？ 預設：因為23=8，所以這個數可以是2。 除2以外，任何一個數的立方都不等于8。 因此，如果一個數的立方等于8，那么這個數是2。 歸納：一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3＝a，那么這個數x叫做a的立方根或三次方根. 即：x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根。 例：23＝8，2 是 8 的立方根； (－2)3＝－8，－2是－8 的立方根； 03＝0，0 是 0 的立方根． 類比：求一個數的立方根的運算，叫做開立方． 說明：到了高中，我們將學習一般的開方運算． 指出：正如開平方與平方互為逆運算一樣，開立方與立方也互為逆運算．根據這種互逆關系，可以求一個數的立方根。 探究：根據立方根的意義填空。 因為13 ＝1，所以1的立方根是（ ）； 答案：1 因為（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）； 答案：0.4，0.4 因為（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）； 答案：-2，-2 因為（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）； 答案：， 因為（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）． 答案：0，0 你能發現正數的立方根有什么特點嗎？負數呢？０的立方根是多少？ 歸納：立方根的性質 正數的立方根是正數； 負數的立方根是負數； 0的立方根是0. 講解：一個數a的立方根，記作：讀作：“三次根號a”，其中，a是被開方數，3是根指數。根指數3，不能省略！ 例：表示8的立方根， 表示-8的立方根， 強調：的根指數是2，根指數2，可以省略！ 想一想：你能說一說數的立方根與數的平方根有什么不同嗎？ 平方根立方根性 質正數0負數表示方法被開方數的范圍
答案：兩個，互為相反數；一個，為正數 0；0 沒有平方根；一個，為負數 ； a≥0；可以為任何數 例1：判斷下面的說法是否正確，若不正確，請改正。 (1)125的立方根是±5； (2)±3是27的立方根； (3)(-1)3的立方根是-1； (4) 的立方根是-2 . 解：（1）錯誤，125的立方根是5； （2）錯誤，3是27的立方根； （3）正確 （4）錯誤，的立方根是 例2：求下列各數的立方根。 (1) (2)3； (2) 343； (3) 64； (4). 解：(1) (2)3 的立方根是2，即； (2)因為73 =343，所以343的立方根是7，即； (3)因為 (4)3 =64，所以64的立方根是4，即； (4)因為()3= ，所以的立方根是，即.學生活動3： 學生回答問題后聽老師講解立方根的概念和開立方運算，然后先獨立思考，再小組合作完成探究，并班內交流，最后認真聽老師的點評和講解 活動意圖說明： 通過具體實例，感受立方根，在此基礎上引導學生得到立方根的概念，開立方運算，利用立方和開立方的互逆關系求立方根來進一步探究立方根的性質并與平方根做對比，提高學生對立方根與平方根的認識環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：8.2 立方根（第一課時） 一、立方根的概念 二、立方根的性質 三、立方根的表示方法 四、平方根與立方根的不同教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．有理數64的立方根是( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8 答案：A 2．如果一個數的立方等于它本身，那么這個數是（ ） A．1 B． C．1或 D．1、或0 答案：D 3．求下列各數的立方根. (1);　 (2)81×9. 解：(1)因為()3=, 所以的立方根是即=. (2)因為81×9=93, 所以81×9的立方根是9，即=9. 選做題： 4．求下列各式中的的值： (1) (2) 解：（1）因為 所以 ∴ （2）移項，得 系數化為1，得 因為 所以 【綜合拓展類練習】 5．請根據如圖所示的對話內容解答下列問題． (1)求大正方體木塊的棱長 (2)求截得的每個小正 方體木塊的棱長． 解：（1）因為103=1000， 所以大正方體木塊的棱長 （2）設截得的每個小正方體木塊的棱長，根據題意得： 解得：， 答：截得的每個小正方體木塊的棱長．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1． 的值是( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案：B 2．對于說法錯誤的是（ 　） A．表示的立方根 B．結果等于 C．與的結果相等 D．沒有意義 答案：D 3．若一個數的立方根是-6,則該數為( ) A.- B.-216 C.± D.±216 答案：B 選做題： 4．求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 【綜合拓展類作業】 5．如圖是一張面積為的正方形紙片． (1)正方形紙片的邊長為______；（直接寫出答案） (2)若用此正方形紙片制作一個體積為的無蓋正方體，請在這張正方形紙片上畫出無蓋正方體的平面展開圖的示意圖，并求出該正方體所用紙片的面積． 解：（1）20cm （2）正方體的邊長為：， 平面展開圖如圖所示（陰影部分為剪去的部分）， 所用紙片面積為。
教學反思 在本節課的教學中，我以學生為主體，采用了啟發式教學法，通過設計一系列層次分明的問題鏈，引導學生自主探索和合作交流。學生在互動學習中，不僅理解了立方根的概念，還學會了用根號表示立方根，并通過立方運算求立方根。同時，學生也掌握了開立方與立方互為逆運算的關系，以及立方根的性質，并能區分立方根與平方根的不同。這一過程不僅鍛煉了學生的邏輯推理能力，還培養了他們的獨立思考能力。
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