資源簡介

目 錄
第一部分 知識結構導圖
第二部分 專題知識梳理
第三部分 真題復習精練 （選擇題、填空題、解答題）
工程問題是小升初數學應用題中的重點，是分數應用題的引申與補充。工程問題可分為兩大類：一類是已知具體工作量，另一類是未給出具體工作量；本講重點研究沒有具體給出工作量的工程問題。
定義：工程問題是指用分數來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題
1.工作總量:完成某一項工程所需的所有工作的數量和，常用“1”來表示.
2.工作時間：完成工作總量所需的時間。
3.工作效率：單位時間內完成的工作量，它是衡量一個人工作快慢的量。
1．一般公式：
工作總量＝工作效率×工作時間 工作效率＝工作總量÷工作時間
工作時間＝工作總量÷工作效率 甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和
特別注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作時間不能。
2．巧解工程問題：一般不知道工作總量的時候，我們常常用假設法求解。我們把工作總量假設為單位“1”，這個巧解方法的公式有：
（1）一般給出工作時間，工作效率＝。
（2）一般給出工作效率，就可以知道工作時間為a。
類型：雙人工程問題 多人工程問題 周期工程問題 水管問題 計算工程費用問題
方法：基本關系法，整體轉化法、對比分析法、方程法、比例法。
一、選擇題
1．（2022·浙江杭州·小升初真題）修一條900米長的路，甲工程隊單獨修需要10天，乙工程隊單獨修需要15天，如果兩隊合修，幾天完成總工作量的？下面算式正確的是（ ）。
A．900×÷（10＋15） B．1÷（＋）
C．900×÷（＋） D．÷（＋）
2．（2022·河南周口·小升初真題）光明燈具廠原計劃每天生產360盞路燈，18天完成，實際每天比計劃多生產72盞，實際多少天能完成生產任務？下面列式正確的是（ ）。
A． B． C．
3．（2022·浙江寧波·小升初真題）加工400個零件，師傅單獨加工要8小時完成，徒弟單獨加工要10小時。如果列式為“1÷（＋），要解決的問題是（ ）。
A．師徒合作加工400個零件需要幾小時？
B．師徒合作1小時完成這批零件的幾分之幾？
C．師徒合作1小時加工多少個零件？
D．師徒合作1小時后，還剩這批零件的幾分之幾？
4．（2022·山東菏澤·小升初真題）一項工程，甲隊單獨做要10天完成，乙隊單獨做要8天完成，甲隊的工作效率比乙隊慢（ ）。
A． B． C． D．
5．（2022·河南鄭州·小升初真題）一個工程隊要修一條長4.8千米的公路，前4天修了0.48千米，按這樣算，還要多少天才能修完這條公路？列式不正確的為（ ）。
A．4.8÷（0.48÷4） B．4.8÷（0.48÷4）－4
C．4×（4.8÷0.48）－4
6．（2023·四川成都·小升初真題）一件工作原計劃6天完工，實際5天就完工，工作效率提高了（ ）。
A． B． C． D．
7．（2023·四川·小升初真題）生產一批零件，革新技術后，時間少用20%，而產量卻增長60%，革新前的工作效率是革新后的（ ）。
A．33.3% B．50% C．80% D．100%
8．（2023·廣西柳州·小升初真題）為方便本村的農產品運輸，計劃修一條500米長的公路。甲隊單獨修要10天，乙隊單獨修要15天，如果兩隊合修，幾天可以修完？以下列式正確的是（ ）。
A．1÷（10＋15） B．500÷（10＋15）
C．1÷ D．500÷
9．（2022·四川綿陽·小升初真題）甲、乙兩隊挖一條水渠，甲隊單獨挖要8天完成，乙隊單獨挖要12天完成，現在兩隊同時挖了幾天后，乙隊調走，余下的甲隊在3天內挖完。乙隊挖了（ ）天。
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023·福建莆田·小升初真題）實驗小學計劃修建塑膠跑道，20人30天可完成，但因要開運動會，需提前10天完成，那么按照這樣的效率需要增加（ ）人。
A．5 B．10 C．20 D．30
二、填空題
11．（2023·河北邯鄲·小升初真題）一項工程，甲、乙合作3小時完成，甲單獨做5小時完成，乙單獨做( )小時完成。
12．（2023·四川·小升初真題）一項工作由甲、乙合作10天完成，乙、丙合作12天完成，丙、甲兩人合作15天完成，那么由丙一個人來做，完成這項工作需要( )天。
13．（2023·山東濟南·小升初真題）一批水果，如果甲車單獨運，6次能運完，如果乙車單獨運，3次就能運完。如果兩輛車一起運，( )次能運完這批水果。
14．（2023·四川·小升初真題）若9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天內完成，則需要增加的人數為( )人。
15．（2023·陜西西安·小升初真題）單獨完成一項工作，甲要4天，乙要5天，甲的工作效率比乙高( )%。
16．（2024·廣西柳州·小升初真題）工人叔叔將一根圓木鋸成3段需要6分鐘，照這樣計算，要將這根圓木鋸成20段，需要( )分鐘。
17．（2024·四川綿陽·小升初真題）某車間工人的工作時間不變，如果工人人數減少，為了保持產量不變，工人的工作效率應該提高( )。
18．（2024·四川宜賓·小升初真題）某廠生產人數減去，而產量卻增長20%。現在的生產效率是原來的( )%。
19．（2023·四川成都·小升初真題）一件工作先由甲、乙合作4小時，完成了它的25%，再由乙單獨做8小時，這時剩下的工作甲單獨做還需要20小時才能全部完成，則甲單獨完成這件工作需要( )小時。
20．（2023·四川成都·小升初真題）甲工程隊每工作6天休息1天，乙工程隊每工作5天休息2天。一項工程，甲隊單獨做需要10天，乙隊單獨做需要15天。如果兩隊合作，( )天可以完工。
三、解答題
21．（2023·河北秦皇島·小升初真題）水泥廠生產一批水泥，原計劃每天生產水泥12.6噸，30天完成。實際每天生產水泥18.9噸，實際用了多少天？
22．（2024·四川宜賓·小升初真題）媽媽給一批上衣縫紐扣，如果每天縫15件，就比規定的工期晚2天完成；如果每天縫18件，就可比規定的工期提前3天完成。這批上衣共多少件？
23．（2024·四川巴中·小升初真題）工程隊搶修一條長200米的公路，預計3天修完，第一天修了56米，第二天修的長度和第三天的比是4∶5，第二天修了多少米？
24．（2023·遼寧·小升初模擬）修一條隧道，甲工程隊單獨修，需要60天完成，乙工程隊單獨修，需要75天完成。
（1）甲、乙兩工程隊合修4天，完成了這項工程的幾分之幾？
（2）甲、乙兩工程隊合修，要完成這項工程的，需要多少天？
25．（2024·浙江湖州·小升初真題）某家具廠要在開學前趕制780套桌凳，已經生產了12天，每天生產50套。其余的要求3天完成，平均每天生產桌凳多少套？
26．（2023·陜西西安·小升初真題）一項工程，甲單獨做完要30天，乙單獨做完要36天，兩人合作，甲每做2天后休息1天，乙每做4天后休息1天，兩人合作完成這項工作共花去多少天？
27．（2024·四川綿陽·小升初真題）一項工程甲乙兩隊合做10天完成。乙丙兩隊合做8天完成。現在甲乙丙三隊合做1天后，余下的工程乙還要16.5天完成，乙單獨做這項工程要幾天完成？
28．（2023·全國·小升初模擬）甲、乙、丙三人合作一項工程，若甲、乙合作需要15天完成，若乙、丙合作需要12天完成，若甲、丙合作需要8天完成，若按照甲、乙、丙的順序輪流各工作1天，之后重復，完成這項工程需要多少天？
29．（2024·四川成都·小升初真題）甲、乙、丙三人承包一項任務，發給他們的工資是180元，三人完成這項任務的情況是：甲、乙兩人合作6天完成了這項任務的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任務的；以后3人合作5天完成了這項任務。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各應得多少元？
30．（2024·四川綿陽·小升初真題）A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導致連接這兩市的公路受阻，甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上7點，分別從A、B兩地同時出發趕往滑坡地點疏通公路。甲隊于9點趕到并立即開工半小時后，乙隊也趕到，并立即投入搶修工作，此時甲隊已完成了全部任務的
（1）如果滑坡受損公路長1千米，甲隊行進的速度是乙隊的倍多5千米，求甲、乙兩隊的行進的速度各是多少？
（2）如果下午3點兩隊就完成公路疏通任務，勝利會師，那么若由乙隊單獨疏通這段公路時，需要多少時間才能完成任務？
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第一部分 知識結構導圖
第二部分 專題知識梳理
第三部分 真題復習精練 （選擇題、填空題、解答題）
工程問題是小升初數學應用題中的重點，是分數應用題的引申與補充。工程問題可分為兩大類：一類是已知具體工作量，另一類是未給出具體工作量；本講重點研究沒有具體給出工作量的工程問題。
定義：工程問題是指用分數來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題
1.工作總量:完成某一項工程所需的所有工作的數量和，常用“1”來表示.
2.工作時間：完成工作總量所需的時間。
3.工作效率：單位時間內完成的工作量，它是衡量一個人工作快慢的量。
1．一般公式：
工作總量＝工作效率×工作時間 工作效率＝工作總量÷工作時間
工作時間＝工作總量÷工作效率 甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和
特別注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作時間不能。
2．巧解工程問題：一般不知道工作總量的時候，我們常常用假設法求解。我們把工作總量假設為單位“1”，這個巧解方法的公式有：
（1）一般給出工作時間，工作效率＝。
（2）一般給出工作效率，就可以知道工作時間為a。
類型：雙人工程問題 多人工程問題 周期工程問題 水管問題 計算工程費用問題
方法：基本關系法，整體轉化法、對比分析法、方程法、比例法。
一、選擇題
1．（2022·浙江杭州·小升初真題）修一條900米長的路，甲工程隊單獨修需要10天，乙工程隊單獨修需要15天，如果兩隊合修，幾天完成總工作量的？下面算式正確的是（ ）。
A．900×÷（10＋15） B．1÷（＋）
C．900×÷（＋） D．÷（＋）
【答案】D
【分析】把這條路的長度看作單位“1”，根據工作總量÷工作時間＝工作效率，分別求出甲工程隊和乙工程隊的工作效率是和，兩隊合修，根據工作總量÷工作效率之和＝工作時間即可解答。
【詳解】÷（＋）
＝÷
＝3（天）
故答案為：D
【點睛】本題考查工程問題，明確工作總量、工作時間和工作效率的關系是解題的關鍵。
2．（2022·河南周口·小升初真題）光明燈具廠原計劃每天生產360盞路燈，18天完成，實際每天比計劃多生產72盞，實際多少天能完成生產任務？下面列式正確的是（ ）。
A． B． C．
【答案】C
【分析】根據工作效率×工作時間＝工作總量，求出這批路燈的盞數，然后根據工作總量÷工作效率＝工作時間，據此求出實際完成的天數。
【詳解】
＝6480÷432
＝15（天）
故答案為：C
【點睛】本題考查工作總量、工作時間和工作效率，明確它們之間的關系是解題的關鍵。
3．（2022·浙江寧波·小升初真題）加工400個零件，師傅單獨加工要8小時完成，徒弟單獨加工要10小時。如果列式為“1÷（＋），要解決的問題是（ ）。
A．師徒合作加工400個零件需要幾小時？
B．師徒合作1小時完成這批零件的幾分之幾？
C．師徒合作1小時加工多少個零件？
D．師徒合作1小時后，還剩這批零件的幾分之幾？
【答案】A
【分析】把這批零件的總數看作單位“1”，則師傅的工作效率是，徒弟的工作效率是，根據算式1÷（＋），可以解決師徒合作加工400個零件需要幾小時。
【詳解】加工400個零件，師傅單獨加工要8小時完成，徒弟單獨加工要10小時。如果列式為“1÷（＋），要解決的問題是師徒合作加工400個零件需要幾小時。
故答案為：A
【點睛】本題考查工程問題的解題方法，解題關鍵是要把工作總量看作單位“1”，利用工作時間＝工作總量÷甲乙的工作效率和，求出完成的時間。
4．（2022·山東菏澤·小升初真題）一項工程，甲隊單獨做要10天完成，乙隊單獨做要8天完成，甲隊的工作效率比乙隊慢（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把這項工程的工作總量看作單位“1”，則甲隊的工作效率是，乙隊的工作效率是，用甲乙兩隊的工作效率差除以乙隊的工作效率，可以計算出甲隊的工作效率比乙隊慢幾分之幾。
【詳解】（）÷
＝
＝
甲隊的工作效率比乙隊慢。
故答案為：B
【點睛】本題考查工程問題的解題方法，解題關鍵是要把工作總量看作單位“1”，利用甲乙兩隊的工作效率差除以乙隊的工作效率，列式計算。
5．（2022·河南鄭州·小升初真題）一個工程隊要修一條長4.8千米的公路，前4天修了0.48千米，按這樣算，還要多少天才能修完這條公路？列式不正確的為（ ）。
A．4.8÷（0.48÷4） B．4.8÷（0.48÷4）－4
C．4×（4.8÷0.48）－4
【答案】A
【分析】先求出工作效率，然后運用關系式：工作量÷工作效率＝工作時間，求得修完這條路總共用的時間，再減去4天，解決問題。
【詳解】4.8÷（0.48÷4）－4
＝4.8÷0.12－4
＝40－4
＝36（天）
還要36天才能修完這條公路。
故答案為：A
【點睛】本題運用工作效率，工作時間以及工作總量之間數量關系解決問題。
6．（2023·四川成都·小升初真題）一件工作原計劃6天完工，實際5天就完工，工作效率提高了（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把這項工作總量看作單位“1”，分別表示出原計劃和實際的工作效率，兩者的差除以計劃的工作效率即可。
【詳解】（）÷
＝÷
＝
工作效率提高了。
故選擇：D。
【點睛】此題考查了分數四則混合運算，求工作效率提高了幾分之幾，是比計劃工作效率提高了幾分之幾，所以要除以計劃工作效率。
7．（2023·四川·小升初真題）生產一批零件，革新技術后，時間少用20%，而產量卻增長60%，革新前的工作效率是革新后的（ ）。
A．33.3% B．50% C．80% D．100%
【答案】B
【分析】設原來這批零件10個小時生產了100個，則工作效率是每個小時生產10個零件。時間少用20%，就是現在比原來少用20%，以原來為單位“1”，現在就是原來的（1－20%），就是現在是時間是8個小時。同樣產量卻增長60%就是以原來的產量為單位“1”，現在就是原來的（1＋60%），現在的產量是160個，則現在的工作效率＝現在的產量÷現在的時間為每小時生產20個。革新前的工作效率是革新后的百分之幾＝革新前的工作效率÷革新后的工作效率。
【詳解】100÷10＝10（個）
10×（1－20%）
＝10×80%
＝8（小時）
100×（1＋60%）
＝100×160%
＝160（個）
160÷8＝20（個）
10÷20＝50%
故答案為：B
8．（2023·廣西柳州·小升初真題）為方便本村的農產品運輸，計劃修一條500米長的公路。甲隊單獨修要10天，乙隊單獨修要15天，如果兩隊合修，幾天可以修完？以下列式正確的是（ ）。
A．1÷（10＋15） B．500÷（10＋15）
C．1÷ D．500÷
【答案】C
【分析】根據題意，把“500米長的公路”看作單位“1”，則甲隊的工作效率是，乙隊的工作效率是，根據“合作的工作時間＝工作總量÷（甲隊的工作效率＋乙隊的工作效率）”列式解答即可。
【詳解】1÷（＋）
＝1÷
＝1×6
＝6（天）
如果兩隊合修，6天可以修完。
故答案為：C
9．（2022·四川綿陽·小升初真題）甲、乙兩隊挖一條水渠，甲隊單獨挖要8天完成，乙隊單獨挖要12天完成，現在兩隊同時挖了幾天后，乙隊調走，余下的甲隊在3天內挖完。乙隊挖了（ ）天。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】把這條水渠的長度看作單位“1”，先根據工作總量＝工作效率×工作時間，求出甲隊3天挖水渠的長度，再求出兩隊合挖水渠的長度，最后根據工作時間＝工作總量÷工作效率即可解答。
【詳解】
（天）
即，乙隊挖了3天。
故答案為：A
【點睛】本題主要考查學生依據工作時間、工作效率以及工作總量之間數量關系解決問題的能力，工作時間工作量工作效率。
10．（2023·福建莆田·小升初真題）實驗小學計劃修建塑膠跑道，20人30天可完成，但因要開運動會，需提前10天完成，那么按照這樣的效率需要增加（ ）人。
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】B
【分析】先根據減法的意義求出要開運動會需要多少天完成，再根據乘法的意義先求出這項工作如果1人去做應該用多少天完成，再根據除法的意義求出要開運動會這項工程需要多少人去完成，最后根據減法的意義求出問題答案。
【詳解】20×30÷（30－10）－20
＝20×30÷20－20
＝600÷20－20
＝30－20
＝10（人）
按照這樣的效率需要增加10人。
故答案為：B
【點睛】本題主要考查簡單的工程問題，解答本題的關鍵是根據整數乘法、除法和減法的意義解答。
二、填空題
11．（2023·河北邯鄲·小升初真題）一項工程，甲、乙合作3小時完成，甲單獨做5小時完成，乙單獨做( )小時完成。
【答案】//7.5
【分析】將工作總量看作單位“1”，時間分之一可以看作效率，兩隊效率和－甲的效率＝乙的效率，工作總量÷乙的效率＝乙的時間，據此列式計算。
【詳解】1÷（－）
＝1÷
＝（小時）
乙單獨做小時完成。
12．（2023·四川·小升初真題）一項工作由甲、乙合作10天完成，乙、丙合作12天完成，丙、甲兩人合作15天完成，那么由丙一個人來做，完成這項工作需要( )天。
【答案】40
【分析】將這項工作看成單位“1”，則甲、乙合作一天完成1÷10＝；乙、丙合作一天完成1÷12＝；丙、甲合作一天完成1÷15＝；由此可得：三人合作2天可以完成＋＋＝，三人合作一天完成÷2＝；結合甲、乙合作一天完成1÷10＝，得出丙一天完成－＝，所以由丙一個人來做需要1÷＝40天；據此解答。
【詳解】（1÷10＋1÷12＋1÷15）÷2
＝÷2
＝
－（1÷10）
＝－
＝
1÷＝40（天）
【點睛】本題主要考查簡單的工程問題，求出丙的工作效率是解答本題的關鍵。
13．（2023·山東濟南·小升初真題）一批水果，如果甲車單獨運，6次能運完，如果乙車單獨運，3次就能運完。如果兩輛車一起運，( )次能運完這批水果。
【答案】2
【分析】由題意，甲車單獨運6次能運完、乙車單獨運3次能運完，根據“工作總量÷工作時間＝工作效率”，可分別求得甲車乙車的功效，再把運送這批水果的任務看作單位“1”，根據“工作時間＝工作總量÷工作效率”來求得甲車乙車合運幾次能運完這批水果。
【詳解】1÷（＋）
＝1÷
＝（次）
【點睛】解答本題，除了要充分理解和運用工作總量、工效和工時三者之間的關系。
14．（2023·四川·小升初真題）若9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天內完成，則需要增加的人數為( )人。
【答案】12
【分析】把這項工作的總任務看作單位“1”，已知9人14天完成了一件工作的，根據除法的意義，用÷9÷14即可求出每人每天完成這項工作的幾分之幾，也就是；剩下工作的（1－），根據除法的意義，用（1－）÷4÷即可求出剩下的工作需要多少人，再減去原來的9人，即可得增加的人數。
【詳解】÷9÷14
＝××
＝
（1－）÷4÷
＝÷4÷
＝××210
＝21（人）
21－9＝12（人）
需要增加的人數為12人。
【點睛】本題主要考查了分數除法的應用，求出每人每天的工作效率是解答本題的關鍵。
15．（2023·陜西西安·小升初真題）單獨完成一項工作，甲要4天，乙要5天，甲的工作效率比乙高( )%。
【答案】25
【分析】把這件工作看作單位“1”，根據“工作效率＝工作量÷工作時間”，分別求出甲、乙的工作效率，再用甲的工作效率與乙的工作效率的差，除以乙的工作效率即可解答。
【詳解】1÷4＝
1÷5＝
（－）÷
＝（－）÷
＝×5
＝0.25
＝25%
單獨完成一項工作，甲要4天，乙要5天，甲的工作效率比乙高25%。
16．（2024·廣西柳州·小升初真題）工人叔叔將一根圓木鋸成3段需要6分鐘，照這樣計算，要將這根圓木鋸成20段，需要( )分鐘。
【答案】57
【詳解】6÷（3﹣1）
＝6÷2
＝3（分鐘）
（20﹣1）×3
＝19×3
＝57（分鐘）
答：鋸成20段需要57分鐘。
【點睛】此題的關鍵是理解鋸成的段數與次數之間的關系：鋸的次數＝鋸的段數﹣1。
17．（2024·四川綿陽·小升初真題）某車間工人的工作時間不變，如果工人人數減少，為了保持產量不變，工人的工作效率應該提高( )。
【答案】
【分析】設工人有100人，產量是100，則此時的效率是：100÷100＝1，由于人數減少，那么此時的人數相當于原來的1－，單位“1”已知，用乘法，即100×（1－）求出現在的人數80人，要使產量還是100，則用100÷80求出此時的效率，即100÷80＝，工人的工作效率應該提高多少，用提高的量除以原來的量即可求解。
【詳解】設工人有100人，產量是100。
100÷100＝1
100×（1－）
＝100×
＝80（人）
100÷80＝
（－1）÷1
＝÷1
＝
所以工人的工作效率應該提高。
18．（2024·四川宜賓·小升初真題）某廠生產人數減去，而產量卻增長20%。現在的生產效率是原來的( )%。
【答案】150
【分析】設原來的生產人數為a，則現在生產人數為（）a；原來的產量為1，則現在的產量為（1＋20%）；根據工作效率＝工作總量÷工作時間，分別表示出現在的生產效率和原來的生產效率，用現在的生產效率除以原來的生產效率即可。
【詳解】現在的生產效率：
原來的生產效率：
因此現在的生產效率是原來的150%。
19．（2023·四川成都·小升初真題）一件工作先由甲、乙合作4小時，完成了它的25%，再由乙單獨做8小時，這時剩下的工作甲單獨做還需要20小時才能全部完成，則甲單獨完成這件工作需要( )小時。
【答案】48
【分析】這項工作看成單位“1”，甲、乙合作4小時，完成了它的25%，求出甲和乙合作的速度和。乙單獨做8小時，這時剩下的工作甲單獨做還需要20小時才能全部完可以看成甲和乙先合作做了8小時，然后剩下了工作由甲單獨12天。剩下的工作＝工作總量－完成它的25%－甲乙合作的8小時的工作量。甲12天完成了，甲的速度為。甲單獨工作的時間＝工作總量÷工作時間。
【詳解】甲和乙的速度和：25%÷4＝
甲和乙合作8天工作量：×8＝
剩下的工作量：1－25%－＝
甲的速度：÷12＝
甲單獨完成工作的時間：1÷＝48（小時）
則甲單獨完成這件工作需要48小時。
【點睛】題目雖然沒有說工作總量是多少，可以將工作總量看成單位“1”。
20．（2023·四川成都·小升初真題）甲工程隊每工作6天休息1天，乙工程隊每工作5天休息2天。一項工程，甲隊單獨做需要10天，乙隊單獨做需要15天。如果兩隊合作，( )天可以完工。
【答案】
【分析】甲隊單獨做需要10天，依據甲的作息規律就是工作6天休息1天再工作3天，即實際甲的工作時間是6＋3＝9天。同理乙隊單獨做需要15天，即實際乙的工作時間是5＋5＋1＝11天。根據合作時間＝工作總量÷合作效率，計算合作需要幾天完工。
【詳解】10÷（6＋1）＝1（周）……3（天）
6＋3＝9（天）
15÷（5＋2）＝2（周）……1（天）
5×2＋1
＝10＋1
＝11（天）
（天）
故兩隊合作，天可以完工。
【點睛】本題考查工程問題的數量關系：合作時間＝工作總量÷合作效率。
三、解答題
21．（2023·河北秦皇島·小升初真題）水泥廠生產一批水泥，原計劃每天生產水泥12.6噸，30天完成。實際每天生產水泥18.9噸，實際用了多少天？
【答案】20天
【分析】根據數量關系式：生產效率×時間＝生產總量，生產總量÷生產效率＝時間，代入數值即可。
【詳解】12.6×30÷18.9
＝378÷18.9
＝20（天）
答：實際用了20天。
【點睛】此題考查的是工程問題，解題時注意時間、生產效率及生產總量之間的關系。
22．（2024·四川宜賓·小升初真題）媽媽給一批上衣縫紐扣，如果每天縫15件，就比規定的工期晚2天完成；如果每天縫18件，就可比規定的工期提前3天完成。這批上衣共多少件？
【答案】450件
【分析】這批上衣的數量是固定的，把這批上衣的數量看作單位“1”，如果每天縫15件，需要的時間是；每天縫18件，需要的時間是，則每天縫15件和18件所需時間的差是（），而實際的時間差為（2＋3＝5）天；用實際差的天數除以（），所得結果即為這批上衣的件數。
【詳解】
（件）
答：這批上衣共450件。
23．（2024·四川巴中·小升初真題）工程隊搶修一條長200米的公路，預計3天修完，第一天修了56米，第二天修的長度和第三天的比是4∶5，第二天修了多少米？
【答案】64米
【分析】用公路的全長減去第一天修的米數，求出剩下的米數，也就是第二天、第三天修的米數和，再根據按比例分配的方法，用第二天、第三天修的米數和除以第二天、第三天的份數和，求出1份是多少，再乘第二天修的份數即可解答。
【詳解】200－56＝144（米）
144÷（4＋5）×4
＝144÷9×4
＝16×4
＝64（米）
答：第二天修了64米。
24．（2023·遼寧·小升初模擬）修一條隧道，甲工程隊單獨修，需要60天完成，乙工程隊單獨修，需要75天完成。
（1）甲、乙兩工程隊合修4天，完成了這項工程的幾分之幾？
（2）甲、乙兩工程隊合修，要完成這項工程的，需要多少天？
【答案】（1）
（2）30天
【分析】（1）根據甲工程隊單獨修，需要60天完成，乙工程隊單獨修，需要75天完成，可以得到甲和乙的工作效率，然后根據甲、乙兩工程隊合修4天，用甲和乙的工作效率之和乘4即可得到甲、乙兩工程隊合修4天，完成了這項工程的幾分之幾；
（2）根據甲工程隊單獨修，需要60天完成，乙工程隊單獨修，需要75天完成，可以得到甲和乙的工作效率，然后根據甲、乙兩工程隊合修，要完成這項工程的，可以用除以甲和乙的工作效率之和，即可得到甲、乙兩工程隊合修，要完成這項工程的，需要多少天。
【詳解】（1）
答：甲、乙兩工程隊合修4天，完成了這項工程的。
（2）
（天）
答：甲、乙兩工程隊合修，要完成這項工程的，需要30天。
【點睛】本題是一道簡單的工程問題，明確題意，知道工作總量工作效率工作時間是解答本題的關鍵。
25．（2024·浙江湖州·小升初真題）某家具廠要在開學前趕制780套桌凳，已經生產了12天，每天生產50套。其余的要求3天完成，平均每天生產桌凳多少套？
【答案】60套
【分析】根據“每天生產數量×生產天數＝生產總數量”，求出已經生產的數量，桌凳總數量減去先算出12天后還剩多少套，再除以3即可。
【詳解】（780－12×50）÷3
＝（780－600）÷3
＝180÷3
＝60（套）
答：平均每天生產桌凳60套。
26．（2023·陜西西安·小升初真題）一項工程，甲單獨做完要30天，乙單獨做完要36天，兩人合作，甲每做2天后休息1天，乙每做4天后休息1天，兩人合作完成這項工作共花去多少天？
【答案】22天
【分析】將工作總量看作單位“1”，時間分之一可以看作效率，甲的工作效率是，一個周期3天完成×2＝；乙的工作效率是，一個周期5天完成。甲乙合作15天可完成工作量是，剩余工作量，再合作7天（相當于的一半，7天大致相當于15天的一半）時，甲完成，乙完成，，剛好完成工作量，所以總合作天數15＋7＝22（天）。
【詳解】甲3天完成工作量：×2＝
乙5天完成工作量：
甲乙合作15天完成工作量：
＝
剩余工作量：
再合作7天甲完成工作量：
＝5
再合作7天乙完成工作量：
＝
，剛好完成工作量。
總天數：15＋7＝22（天）
答：兩人合作完成這項工作共花去22天。
【點睛】關鍵是理解工作效率、工作時間和工作總量之間的關系。
27．（2024·四川綿陽·小升初真題）一項工程甲乙兩隊合做10天完成。乙丙兩隊合做8天完成。現在甲乙丙三隊合做1天后，余下的工程乙還要16.5天完成，乙單獨做這項工程要幾天完成？
【答案】20天
【分析】把這項工程看作單位“1”，甲乙兩隊合做10天完成，根據工作效率＝工作總量÷工作時間，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；設乙單獨做這項工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙兩隊的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三隊1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根據工作總量＝工作效率×工作時間；用余下的工程乙需要的天數×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三隊1天的工作量＝工作總量，列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。
【詳解】解：設乙單獨做這項工程要x天完成。
（－＋＋－）×1＋16.5×＝1
（＋－）＋＝1
－＋＝1
＋＝1
＝1－
＝
31x＝15.5×40
31x＝620
x＝620÷31
x＝20
答：乙單獨做這項工程要20天完成。
【點睛】明確工作總量、工作效率、工作時間三者的關系，是解答本題的關鍵。
28．（2023·全國·小升初模擬）甲、乙、丙三人合作一項工程，若甲、乙合作需要15天完成，若乙、丙合作需要12天完成，若甲、丙合作需要8天完成，若按照甲、乙、丙的順序輪流各工作1天，之后重復，完成這項工程需要多少天？
【答案】天
【分析】把這項工程的工作總量看作單位“1”，根據“工作效率＝工作總量÷工作時間”，可知甲與乙的合作工效為、乙與丙的合作工效為、甲與丙的合作工效為，然后相加，即是甲、乙、丙三人合作工效的2倍，再除以2，求出甲、乙、丙三人的合作工效為（＋＋）÷2＝；
再根據“三人的合作工時＝工作總量÷三人的合作工效”，求出三人合作完成這項工程需要的天數為1÷＝天；把“按照甲、乙、丙的順序輪流各工作1天”看作一組，即甲、乙、丙合作7天后，還剩下的工作量為1－×7＝；
用甲、乙、丙三人的合作工效減去乙與丙的合作工效，即是甲的工作效率為－＝，與剩下的工作量相比，得出剩下的工作量可以由甲獨自完成，根據“工作量÷工作效率＝工作時間”，求出甲完成剩下工作量需要的時間為÷＝（天）；
最后把看作一組的三人合作了7天，恢復成原樣：即每人工作了7天，三人工作了（7×3）天，再加上甲獨自完成剩下的工作量用的天數，就是三人合作完成這項工程一共需要的天數。
【詳解】甲、乙合作工效：1÷15＝
乙、丙合作工效：1÷12＝
甲、丙合作工效：1÷8＝
甲、乙、丙三人的合作工效：
（＋＋）÷2
＝（＋＋）÷2
＝×
＝
甲、乙、丙三人的合作工時：
1÷＝（天）
三人合作7天后，還剩下工作量：
1－×7
＝1－
＝
甲的工作效率：
－
＝－
＝
因為＝，＜，所以剩下的工作量由甲獨自完成。
÷
＝×
＝（天）
一共需要：
7×3＋
＝21＋
＝（天）
答：需要天。
【點睛】本題屬于交替工作的工程問題，掌握工作效率、工作時間、工作總量之間的關系，關鍵是先求出三人的合作工時，再看剩下的工作量由誰來完成。
29．（2024·四川成都·小升初真題）甲、乙、丙三人承包一項任務，發給他們的工資是180元，三人完成這項任務的情況是：甲、乙兩人合作6天完成了這項任務的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任務的；以后3人合作5天完成了這項任務。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各應得多少元？
【答案】甲應得33元，乙應得91元，丙得56元
【分析】甲、乙兩人合作6天完成這項任務的，則甲和乙的工效是，將這項工作看成單位“1”，剩下這項工作的，乙、丙合作2天完成了余下任務的，則乙、丙合作2天完成了的，則乙丙2天完成了這項工作的，乙和丙的工效是。甲乙丙合作5天完成了這項任務的，則甲乙丙三人的工效是。分別求出甲乙丙三個人的工效，再根據工作總量＝工作時間×工作效率。再根據工作量算出應得的錢。
【詳解】
甲、乙的工效：
丙、乙的工效：
甲、乙、丙的工效：
甲工效：
甲的工作量：
＝
＝
甲的錢：（元）
丙工效：
丙的工作量：
＝
＝
丙的錢：（元）
乙工效：
乙的工作量：
＝
＝
乙的錢：（元）
答：甲應得33元，乙應得91元，丙應得56元。
30．（2024·四川綿陽·小升初真題）A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導致連接這兩市的公路受阻，甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上7點，分別從A、B兩地同時出發趕往滑坡地點疏通公路。甲隊于9點趕到并立即開工半小時后，乙隊也趕到，并立即投入搶修工作，此時甲隊已完成了全部任務的
（1）如果滑坡受損公路長1千米，甲隊行進的速度是乙隊的倍多5千米，求甲、乙兩隊的行進的速度各是多少？
（2）如果下午3點兩隊就完成公路疏通任務，勝利會師，那么若由乙隊單獨疏通這段公路時，需要多少時間才能完成任務？
【答案】（1）甲隊：50千米/小時，乙隊：30千米/小時
（2）11小時
【分析】（1）設乙隊的行進速度是x千米/小時，則甲隊的行進速度是（x＋5）千米/小時。從早上7點到9點，經歷了2小時，甲開工半小時后乙才到，說明乙走了2.5小時，由于受損公路長1千米，用甲、乙走的路程和＝兩市相距的距離再減去受損公路長，據此即可列出方程，再求解即可。
（2）由于從上午9點到下午3點總共經歷了6小時，最開始甲隊工作0.5小時，完成了總量的，根據工作效率＝工作總量÷工作時間，用÷0.5求出甲的效率。設乙的效率為y，由于甲隊工作了6小時，乙隊工作的時間是：6－0.5＝5.5（小時），根據工作效率×工作時間＝工作總量，甲隊工作量＋乙隊工作量＝1，據此列方程即可求出乙隊的效率，再用1除以乙隊的效率即可求出時間。
【詳解】（1）解：設乙隊的行進速度是x千米/小時，則甲隊的行進速度是（x＋5）千米/小時。
9：00－7：00＝2（小時）
2小時＋0.5小時＝2.5小時
2×（x＋5）＋2.5x＝176－1
2×x＋2×5＋2.5x＝175
3x＋10＋2.5x＝175
5.5x＝175－10
5.5x＝165
x＝165÷5.5
x＝30
30×＋5
＝45＋5
＝50（千米/小時）
答：甲隊的行進速度是50千米/小時，乙隊的行進速度是30千米/小時。
（1）÷0.5＝÷＝×2＝
解：設乙的工作效率為y。
×6＋（6－0.5）y＝1
0.5＋5.5y＝1
5.5y＝1－0.5
5.5y＝0.5
y＝0.5÷5.5
y＝
1÷＝11（小時）
答：乙隊單獨疏通這條公路的效率是11小時。
【點睛】本題主要考查工程問題，關鍵是掌握工程問題的公式以及找準等量關系是解題的關鍵。
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