資源簡介

5.3　實踐與探索
第1課時　等積變形問題
1.借助立體及平面圖形學會分析復雜問題中的數量關系和等量關系.（難點）
2.能利用一元一次方程解決簡單的圖形問題.（重點）
一、新課導入
[情境導入]
如圖，從一個水杯向另一個水杯倒水：
思考：在這個過程中什么沒有發生變化？
二、新知探究
（一）平面圖形的形狀變化
[課件展示]問題1 用一根長60cm的鐵絲圍成一個長方形.
(1)如果長方形的寬是長的，求這個長方形的長和寬.
思考：在這個過程中什么沒有發生變化？
長方形的周長(或長與寬的和)不變.
分析：等量關系：（長+寬）×2=周長.
解:設此時長方形的長為xcm，則它的寬為xcm.
根據題意，得(x+x)×2=60.
解得x=18.所以x=12.
此時長方形的長為18cm、寬為12cm.
(2)如果長方形的寬比長少4cm，求這個長方形的面積.
解：設此時長方形的長為x cm，則它的寬為（x-4）cm.
根據題意，得(x+x-4)×2=60.
解得x=17.所以17-4=13(cm).
∴此時長方形的長為17cm、寬為13cm，面積為17×13=221(cm2).
(3)比較小題(1)(2)所得的兩個長方形面積的大小，你還能圍出面積更大的長方形嗎？
解：(1)中長方形的面積為18×12=216(cm2)，
∵221＞216，
∴（2）中長方形的面積比(1)中長方形的面積大.
同理，我們可計算當寬比長少2cm時，S=224cm2；
當寬比長少1cm時，S=224.75cm2；
當寬與長相等時，S=225cm2；
∴還可以圍出面積更大的長方形.
由此可以得到：長方形的長與寬相差越小，長方形的面積越大；當長與寬相等(相差為0)時，長方形的面積最大.
討論：每小題中如何設未知數？在小題（2）中，能不能直接設長方形的面積為x cm2？若不能，該怎么辦？
在每小題中均可設長方形的長或寬為未知數.小題（2）中，因為已知長與寬的關系，而不是面積的關系，所以不能直接設出長方形的面積.只能間接地設出長方形的長或寬，待求出長方形的長或寬后，再進一步計算.
[典型例題]例1 用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2(π－2)m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明誰的面積大．
分析：比較兩個圖形的面積大小，關鍵是通過題中的等量關系列方程求得圓的半徑和正方形的邊長，本題的等量關系為：正方形的周長＝圓的周長．
解：設圓的半徑為r m，則正方形的邊長為[r＋2(π－2)]m.
根據題意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
∴鐵絲的長為2πr＝8π(m)．
∴圓的面積是π×42＝16π(m2)，
正方形的面積為[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圓的面積大．
答：鐵絲的長為8π m，圓的面積較大．
[歸納總結](1)兩個圖形的形狀、面積不同，但周長相同；
兩個圖形的形狀、面積不同，但是根據題意可以找出它們的周長之間的關系，把這個關系作為等量關系．
解決問題的關鍵是通過分析變化過程，挖掘其等量關系，從而可列出方程．
（二）立體圖形的形狀變化
[課件展示]問題2 某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4 m的圓柱形儲水箱．現對該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4 m減少為3.2 m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4 m變為多少米？
1.如果設水箱的高變為x m，填寫下表：
2.根據表格中的分析，找出等量關系；
舊水箱的容積=新水箱的容積.
3.列出方程并求解.
π×22×4=π×1.62x.
解得x=6.25.
因此，水箱的高度變成了6.25m.
[典型例題]例2 一種牙膏出口處直徑為5 mm，小明每次刷牙都擠出1 cm長的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次，該品牌牙膏推出新包裝，只是將出口處直徑改為6 mm，小明還是按習慣每次擠出1 cm的牙膏，這樣，這一支牙膏能用多少次？
解：設這一支牙膏能用x次，根據題意，得
解這個方程，得x＝25.
經檢驗，符合題意.
答：這一支牙膏能用25次．
思考：你認為列一元一次方程解應用題的主要步驟有哪些？
1.審——通過審題找出等量關系.
2.設——設出合理的未知數(直接或間接)，注意單位名稱.
3.列——依據找到的等量關系，列出方程.
4.解——求出方程的解(對間接設的未知數牢記繼續求解).
5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題.
6.答——注意單位名稱.
三、課堂小結
1.應用一元一次方程解決形積問題:
（1）平面圖形的形狀變化;
（2）立體圖形的形狀變化.
2.應用一元一次方程解決實際問題的步驟：審、設、列、解、檢、答.
四、課堂訓練
1.一個長方形的周長是40 cm，若將長減少8 cm，寬增加2 cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為( B )
A. 6 cm　　　　　　B. 7 cm　　　
C. 8 cm　　　　　　D. 9 cm
2.一個梯形的面積是60 cm2、高為5 cm，它的上底比下底短2 cm，求這個梯形上底和下底的長度.設下底長為x cm，則下面所列方程正確的是( C )
3.根據圖中給出的信息，可得正確的方程是(　A　)
A.π×42x=π×32×(x+5)
B.π×42x=π×32×(x-5)
C.π×82x=π×62×(x+5)
D.π×82x=π×62×(x-5)
4.要鍛造一個直徑為8厘米、高為4厘米的圓柱形毛坯，則至少應截取直徑為4厘米的圓鋼__16___厘米.
5.鋼錠的截面是正方形，其邊長是20厘米，要鍛造成一個長、寬、高分別為40厘米、30厘米、10厘米的長方體，則應截取這種鋼錠多長？
解：設應截取這種鋼錠x厘米.
根據題意，得20×20x=40×30×10.
解這個方程，得x=30.
答：應截取這種鋼錠30厘米.
五、布置作業
教學過程中，通過對問題的探討，使學生在動手、獨立思考的過程中，進一步體會方程模型的作用，鼓勵學生大膽質疑，激發學生的好奇心和主動學習的欲望.
第2課時　和、差、倍、分問題及商品銷售問題
1.掌握用一元一次方程解決和、差、倍、分問題.（重點）
2.掌握商品銷售問題中的相關概念及數量關系.（重點）
3.掌握解決商品銷售問題的一般思路.（難點）
一、新課導入
[復習導入]
列一元一次方程解應用題的主要步驟有哪些？
1.審——通過審題找出等量關系.
2.設——設出合理的未知數(直接或間接)，注意單位名稱.
3.列——依據找到的等量關系，列出方程.
4.解——求出方程的解(對間接設的未知數牢記繼續求解).
5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題.
6.答——注意單位名稱.
二、新知探究
（一）和、差、倍、分問題
[典型例題]例1 希臘數學家丟番圖的墓碑上記載著：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；
又度過了一生的七分之一，他結了婚；
再過五年，他有了孩子，感到很幸福；
可是孩子只活到了他父親全部年齡的一半；
兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了．”
（1）求：丟番圖的壽命；
（2）求：丟番圖開始當爸爸時的年齡．
分析：（1）設丟番圖的壽命是x歲，則孩子的壽命是x歲，根據希臘數學家丟番圖墓碑上的記載，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）利用丟番圖開始當爸爸時的年齡=×丟番圖的壽命+×丟番圖的壽命+×丟番圖的壽命+5，即可求出結論．
解：（1）設丟番圖的壽命是x歲，則孩子的壽命是x歲，
根據題意，得x+x+x+5+x+4=x.
解得x=84．
答：丟番圖的壽命是84歲．
根據題意，得
×84+×84+×84+5=14+7+12+5=38（歲）．
答：丟番圖開始當爸爸時的年齡是38歲．
[典型例題]例2 有一群鴿子和一些鴿籠，如果每個鴿籠住6只鴿子，則剩余3只鴿子無鴿籠可住，如果再飛來5只鴿子，連同原來的鴿子，每個鴿籠剛好住8只鴿子，原有多少只鴿子和多少個鴿籠？
分析：設原有x個鴿籠，則鴿子有（6x+3）個，根據如果再飛來5只鴿子，連同原來的鴿子，每個鴿籠剛好住8只鴿子列出方程，求出方程的解即可得到結果．
解：設原有x個鴿籠，則鴿子有（6x+3）個.
根據題意,得8x=6x+3+5.
解得x=4.
可得6x+3=24+3=27（個）．
答：原有27個鴿子，4個鴿籠．
[歸納總結]和、差、倍、分問題：
①基本量及關系：增長量=原有量×增長率，現有量=原有量+增長量，現有量=原有量-降低量；
②尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增長率等．
（二）銷售利潤問題
[課件展示]填空：
1. 進價為100 元的商品提價 40% 后，標價為___140__元，若按標價的八折銷售，則售價為__112___元，此商品的利潤為___12___元，利潤率是__12％___；
2. 某商品原價是 a 元，現在每件打九折銷售，則此時的售價是 0.9a　　元；
3. 一件商品打 x 折出售，就是用原價乘以 　　.
思考1：上面商品銷售中的盈虧問題里有哪些量
成本價(進價);標價;利潤;盈利;虧損;利潤率.
思考2：上面這些量有何關系
[歸納總結]銷售中的盈虧：　
1.售價、進價、利潤的關系式：商品利潤= 商品售價-商品進價.
2.進價、利潤、利潤率的關系：利潤率=×100%.
3.標價、折扣數、商品售價關系：商品售價＝標價×.
4.商品售價、進價、利潤率的關系：商品售價=商品進價×(1+利潤率).
[典型例題]例3 一件服裝先將進價提高25%標價，后進行促銷活動，又按標價的8折出售, 此時售價為60元. 請問商家是盈是虧，還是不盈不虧？
分析：設這件衣服的進價是x元.則有以下等量關系：
（1）標價=進價×（1+利潤率）；
（2）促銷時的售價=標價×，根據等量關系列出方程求解.
解：設這件衣服的進價是x元，
則標價是(1＋25%)x元，促銷時的售價是(1＋25%)x×0.8 元.
依題意，得(1＋25%)x×0.8＝60. 解得x＝60.
因為售價60=成本60，
答：這家商店不盈不虧.
[典型例題]例4 某商場購進一批服裝，一件服裝的標價為400元.
（1）若按標價的六折銷售，則實際售價是多少？
（2）在（1）的條件下銷售這種服裝仍可獲利20%，問這種服裝每件的進價為多少元？
分析：（1）根據售價=標價×，列式計算；
（2）設這種服裝每件的進價為a元，根據等量關系：售價=標價×=進價×（1+利潤率）列方程.
解：（1）實際售價是400×=240（元）.
答：實際售價是240元.
（2）設這種服裝每件的進價為a元.
根據題意，得（1+20%）a=400×0.6.
解得a=200.
經檢驗，符合題意.
答：這種服裝每件的進價為200元.
[針對訓練]
1.某商品在原價的基礎上提高 25% 標價，若想調回原價，應降價的百分率為 20% .
2.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調藥品的價格，某種藥品在2021年漲價30%后，2023年降價70%至a元，則這種藥品在2021年漲價前價格為 元.
三、課堂小結
1.和、差、倍、分問題：
①基本量及關系：增長量=原有量×增長率，
現有量=原有量+增長量，現有量=原有量-降低量；
②尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增長率等．
2.商品銷售問題：
商品利潤= 商品售價-商品進價；
利潤率=×100%；
商品售價＝標價×；
商品售價=商品進價×(1+利潤率).
四、課堂訓練
1.通常情況下，體積相等的冰和水，冰的質量比水的質量少，現有一塊9千克的冰，如果一桶水的體積和這塊冰的體積相等，這桶水重（　A　）
A．10千克 B．9千克
C．109千克 D．9.9千克
2.某種商品按進價提高40%后標價，又以八折優惠賣出，結果每件商品仍獲利15元.此種商品的進價為___125___元.
3.某商場把進價為1980元的商品按標價的八折出售，仍獲利20%, 則該商品的標價為 2970 元.
4.某班分兩組志愿者去社區服務，第一組20人,第二組25人.現第一組發現人手不夠,需第二組支援,問從第二組調多少人去第一組才能使第一組的人數是第二組的2倍 設抽調x人,則可列方程( D )
A.20=2(25-x)
C.2(20+x)=25-x
B.20+x=2×25
D.20+x=2(25-x)
5.一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧
解：①設盈利25%的衣服進價是 x 元，
依題意，得 （1＋0.25）x＝60.
解得x＝48.
②設虧損25%的衣服進價是 y元，
依題意，得（1-0.25）y＝60.
解得y＝80.
兩件衣服的總成本：48＋80＝128(元).
因為120－128＝－8(元)，
所以賣這兩件衣服共虧損了8元.
答：賣這兩件衣服共虧損了8元.
五、布置作業
本節課從生活中的實際問題入手，讓學生在具體情境中感受到數學在生活實際中的應用，從而激發他們學習數學的興趣．根據題目中的數量關系列一元一次方程解決與和、差、倍、分、打折銷售有關的實際問題．審清題意，找出等量關系是解決問題的關鍵．
第3課時　工程問題及行程問題
1.學會利用線段圖分析行程問題，尋找等量關系，建立數學模型.（難點）
2.能利用行程中的速度、路程、時間之間的關系列方程解應用題.（重點）
3.能利用工程中的數量關系列方程解應用題.（重點）
一、新課導入
[復習導入]
1.行程問題中的基本數量關系是什么
路程＝速度×時間; 速度= ; 時間= .
2．（1）一件工作，如果甲單獨做2小時完成，那么甲單獨做1小時，完成全部工作量的多少
（2）一件工作，如果甲單獨做3小時完成，那么甲單獨做1小時，完成全部工作量的多少
（3）工作量、工作效率、工作時間之間有怎樣的關系
（1）；（2）；（3）工作量＝工作效率×工作時間、工作效率=、工作時間=.
二、新知探究
（一）工程問題
[課件展示]問題1 某工廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人.已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天.
（1）兩人合作需幾天完成？
（2）如果師傅先工作了2天，然后與徒弟合作，問還需幾天完成？
（3）現由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得報酬900元.如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？
試解答這一系列問題，并和同學們一起交流各自的做法.
提示：工作量之和等于總工作量1.
解：（1）設兩人合作完成需要x天.列表分析：
可列方程x+x=1.
解得x=2.4.
答：兩人合作完成需要2.4天.
（2）設還需y天完成.列表分析：
可列方程(y+2)+y=1.
解得y=1.2.
答：還需1.2天完成.
（3）設完成這項工作總共用了z天.列表分析：
可列方程(z 1)+z=1.
解得z=3.
徒弟完成工作量的×3=，
師傅完成工作量的×(3 1)=.
答：徒弟與師傅平分報酬，每人分得900×=450（元）.
[歸納總結]解決工程問題的思路：
1.三個基本量：
工程問題中的三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.
它們之間的關系是：工作量=工作效率×工作時間.
若把工作量看作1，則工作效率=.
2.相等關系：
(1)按工作時間：各時間段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者：若一項工作有甲、乙兩人參與，則甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
[針對訓練]1.一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天.如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？
分析：把工作量看作單位“1”，則甲的工作效率為,乙的工作效率為,根據工作效率×工作時間=工作量，列方程求解.
解：設要x天可以鋪好這條管線.
由題意,得.
解方程，得x=8.
答：要8天可以鋪好這條管線.
（二）行程問題
相遇問題
[課件展示]問題2 小明家與樂樂家相距20km，小明從家里出發騎自行車去樂樂家，兩人商定樂樂到時候從家里出發騎自行車去接小明.已知小明騎車的速度為13km/h，樂樂騎車的速度是12km/h.
（1）如果兩人同時出發，那么他們經過多少小時相遇？
（2）如果小明先走30min，那么樂樂騎車要走多少小時才能與小明相遇？
分析：由于小明與樂樂都從家里出發，相向而行，所以（1）如果兩人同時出發，如圖1，相遇時，他們走的路程的和等于兩家之間的距離.即小明走的路程+樂樂走的路程=兩家之間的距離(20km).
（2）如果小明先走30min，如圖2，相遇時，他們走的路程的和等于兩家之間的距離.即小明先走的路程+樂樂出發后小明走的路程+樂樂走的路程=兩家之間的距離(20km).
解：（1）設他們經過xh相遇.
則根據題意，得13x+12x=20.
解得x=0.8.
答：經過0.8h他們兩人相遇.
（2）設樂樂騎車走了th后與小明相遇.
則根據題意，得13(0.5+t)+12t=20.
解得t=0.54.
答：樂樂騎車走0.54h后與小明相遇.
[歸納總結]相遇問題：　
1.路程＝速度×時間.
2.甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離.
注意相向而行的始發時間和地點.
追及問題
[課件展示]問題3 小明早晨要在7：20以前趕到距家1 000米的學校上學．一天，小明以80米/分的速度出發，5分鐘后，小明的爸爸發現他忘了帶歷史作業，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．問：爸爸追上小明用了多長時間？
分析：當爸爸追上小明時，兩人所走的路程相等.
解：設爸爸追上小明用了x分鐘，則此題的數量關系可用線段圖表示如下.
根據題意，得80×5＋80x=180x.
解得x=4.
答：爸爸追上小明用了4分鐘．
[歸納總結]追及問題：　
1.路程＝速度×時間.
2.s快-s慢=s原來距離.
注意同向而行的始發時間和地點.
[針對訓練]
2.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行．已知A、B兩地的距離為480km，且甲車以65km/h的速度行駛．若兩車4h后相遇，則乙車的行駛速度是多少？
解：設乙車的行駛速度是xkm/h.
則根據題意，得4(65+x)=480.
解得x=55.
答：乙車的行駛速度是55km/h.
3.一隊學生步行去郊外春游，每小時走4km，學生甲因故推遲出發30min，為了趕上隊伍，甲以6km/h的速度追趕，問甲用多長時間就可追上隊伍？
解：設甲用xh就可追上隊伍.
則根據題意，得6x=4(x+).
解得x=55.
55min=h.
答：甲用h就可追上隊伍.
三、課堂小結
利用一元一次方程解決實際問題：
1.工程問題：工作量=工作效率×工作時間.
2.行程問題：
（1）路程＝速度×時間.
（2）相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離.
（3）追及問題：s快-s慢=s原來距離.
四、課堂訓練
1.甲每小時走 5 千米，甲出發 1 小時后，乙騎車從同一地點出發追趕甲，乙用了45 分鐘追上甲，設乙騎車的速度為 x 千米/時，則所列方程為(　B　)
2．甲、乙兩人騎摩托車同時從相距170千米的A、B兩地相向而行，2小時后相遇，如果甲每小時比乙多行5千米，則乙每小時行(　B　)
A．30千米 B．40千米
C．50千米 D．45千米
3．甲、乙兩人在400米的環形跑道上練習長跑，他們同時同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，則他們首次相遇時，兩人都跑了(　A　)
A．40秒 B．50秒
C．60秒 D．70秒
4.一項工作，甲獨做需18天，乙獨做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨做x天完成，那么所列方程為_______.
5.生產的一批螺釘、螺母要打包，由一個人做要40h完成.現計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應該先安排多少人工作做4h？
解：設應先安排x人做4h.
則根據題意，得×4x+×8(x+2)=1.
解得x=2.
答：應先安排2人做4h.
五、布置作業
本節課從生活中的實際問題入手，讓學生在具體情境中感受到數學在生活實際中的應用，從而激發他們學習數學的興趣，感受數學與人類生活的密切聯系.為學生提供了探索空間，通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動，充分調動學生學習的積極性．讓學生在實踐中獲得解決問題的方法，得到學習的樂趣．

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