資源簡介

(共35張PPT)
（浙教版）七年級
下
2.5三元一次方程組及其解法
二元一次方程組
第2章
“二”
教學目標
01
新知導入
02
新知講解
03
課堂練習
04
課堂總結
05
作業布置
06
目錄
07
內容總覽
教學目標
1.三元一次方程組的解法及“消元”思想;
2.根據方程組的特點，選擇合適的未知數和方法消元．
新知導入
代入消元法
加減消元法
解一元一次方程
二元一次方
程組的解法
“多元”
“一元”
消元
消元思想
化歸轉化思想
新知講解
一副撲克牌共54張。老師將一副撲克牌分給甲、乙、丙三名學生。甲拿到的牌數是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半給乙,則乙的牌數就比甲多2張。老師分給甲、乙、丙各多少張牌
任務一：三元一次方程及三元一次方程組的概念
新知講解
我們來討論這個問題。
(1)這個問題中要求的未知數有幾個 你能列出關于這些未知數的幾個方程 請試一試。
(2)根據(1)中列出的方程,你能求出問題的解嗎 請試一試。
（1）三個。
設甲、乙、丙各x、y、z張牌
x+y+z=54
x=2y
y+=x+2
新知講解
觀察列出的三個方程，你發現了什么？
x+y+z=54
x=2y
y+=x+2
二元一次方程
未知數的項的次數都是 1
未知數的項的次數都是 1
含兩個未知數
含三個未知數
三元一次方程
都是整式
都是整式
新知講解
這個問題的解必須同時滿足上面的三個條件，因此，把這三個方程合在一起，寫成
新知講解
三元一次方程、三元一次方程組：
和二元一次方程類似,含有三個未知數,且含有未知數的項的次數都是一次的方程叫作三元一次方程。由三個一次方程組成,并且含有三個未知數的方程組叫作三元一次方程組。
條件：(1)是整式方程；
(2)含有三個未知數；
(3)是一次方程.
新知講解
三元一次方程組的解：
同時滿足三元一次方程組中各個方程的解叫作這個三元一次方程組的解。
任務二：三元一次方程組的解
新知講解
怎樣解三元一次方程組呢？
和解二元一次方程組一樣,解三元一次方程組的基本思想也是消元。
例1 解三元一次方程組
新知講解
解：將③分別代入①，②，消去x，得
解這個二元一次方程組，得
將 代入③，得x= -2.
所以原方程組的解是
新知講解
例2 解方程組
解：①+③，得 5x+5y= 25. ④
①×2 -②，得 5x - y= 19. ⑤
④-⑤，得6y=6，所以y=1.
把y=1代入⑤，得 x=4.
再將x=4 ， y=1代入①，得 z= -1
所以原方程組的解是
新知講解
由例1、例2可見,
解三元一次方程組的消元方法也是代入法或加減法，通過消元將解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組,進而轉化為解一元一次方程。
三元一次方程組
二元一次方程組
一元一次方程
消元
消元
新知講解
解三元一次方程組的一般步驟：
(1)消元：利用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；
(2)求解：解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；
(3)回代：將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程中，得到一個一元一次方程；
(4)求解：解這個一元一次方程，求出未知數的值；
(5)寫解：將求得的三個未知數的值用符號“{”聯立在一起.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.下列各方程組中，三元一次方程組有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
B
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
2．若(m+1)x+y|m|+z=4 是關于x，y，z 的三元一次方程，則m 的值為_______.
1
3.已知 |x - 6y| + 2(4y - 1)2 + |3x - 6z| = 0，則 x + y + z = .
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
4.解三元一次方程組
解：②﹣①得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①得：x﹣2+z＝4，即x+z＝6④，
把y＝﹣2代入③得：4x﹣4+z＝17，即4x+z＝21⑤，
由④和⑤組成一個二次一次方程組,解得
所以原方程組的解是
5.已知 是三元一次方程組的解，則 的值為( )
A.125 B.119 C.113 D.71
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
C
6.數學活動：
小川、小渝兩位同學在學習方程組的過程中發現，三元一次方程組
雖然解不出，， 的具體數值，但可以解出
的值.
【綜合拓展類作業】
課堂練習
【綜合拓展類作業】
課堂練習
（1）小川的方法：，整理得 _______；
，整理得 ______；
.
小渝的方法： ，得__________________；
.
【綜合拓展類作業】
課堂練習
（2）已知求 的值.
解：
，得，整理得 ，
，得，整理得 ，
則 .
課堂總結
1.三元一次方程、三元一次方程組：
和二元一次方程類似,含有三個未知數,且含有未知數的項的次數都是一次的方程叫作三元一次方程。由三個一次方程組成,并且含有三個未知數的方程組叫作三元一次方程組。
2.三元一次方程組的解:
同時滿足三元一次方程組中各個方程的解叫作這個三元一次方程組的解。
課堂總結
3.解三元一次方程組的一般步驟：
(1)消元：利用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；
(2)求解：解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；
(3)回代：將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程中，得到一個一元一次方程；
(4)求解：解這個一元一次方程，求出未知數的值；
(5)寫解：將求得的三個未知數的值用符號“{”聯立在一起.
板書設計
1.三元一次方程、三元一次方程組：
2.三元一次方程組的解:
3.解三元一次方程組的一般步驟：
課題：2.5三元一次方程組及其解法
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
1．解方程組 最簡便的消元方法是( )
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常數項
B
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
2.三元一次方程組 的解為（ ）
A. B. C. D.
D
3．若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，則x+y+z的值等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
B
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
4.在一次解題比賽中，小張、小李、小王三人共解出了100道題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題，則難題比容易題多　 　道．
20
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
5．如圖，前兩個天平已保持平衡，現要求在第三個天平的右邊只放 ，要使之保持平衡，則應放 ( )
A.5個 B.6個 C.7個 D.8個
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
B
6.某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個
衣袖、1個衣身和1個衣領組成.如果每人每天能夠縫制衣袖10個，或衣身15個，或衣領12個，那么安排多少名工人縫制衣袖，多少名工人縫制衣身，多少名工人縫制衣領，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套？
【綜合拓展類作業】
作業布置
【綜合拓展類作業】
作業布置
解：設安排名工人縫制衣袖，名工人縫制衣身， 名工人縫制衣領，
依題意，得解得
答：安排120名工人縫制衣袖，40名工人縫制衣身，50名工人縫制衣領，
才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套.
Thanks!
2
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學 科 數學 年 級 七年級 設計者
教材版本 浙教版 冊、章 下冊、第2章
課標要求 【內容要求】1.能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程;理解方程解的意義。2.掌握消元法，能解二元一次方程組。3.*能解簡單的三元一次方程組。4.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性。【學業要求】能根據具體問題中的數量關系列出方程，理解方程的意義;認識方程解的意義，經歷估計方程解的過程;能根據二元一次方程組的特征，選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組;*能解簡單的三元一次方程組;能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。建立模型觀念。
內容分析 本章主要內容：（1）二元一次方程；（2）二元一次方程組和它的解；（3）解二元一次方程組；（4）二元一次方程組的應用；（5）三元一次方程組及其解法。本章主要內容是二元一次方程組及其相關概念，利用二元一次方程組分析、解決實際問題，消元思想和代入法、加減法解二元一次方程組，以及三元一次方程組的解法。本章在列方程組的討論中，重視數學與實際的關系，突出其中蘊含的建模思想，體會代數方法的優越性，在解方程組的討論中，重視過程與結果的關系，突出消元、化歸思想。本單元的學習對后期學習不等式組及二次函數內容的學習起到鋪墊的作用,二元一次方程組是最簡單的多元方程組,通過對它的學習可以了解一般的多元一次方程組的概念和解法的基本思路,體會類比轉化思想.利用二元一次方程組解決實際問題,體現模型思想,既是學習二元一次方程組的出發點,又是學習二元一次方程組的落腳點.
學情分析 學生在前面已學習了代數式、方程、一元一次方程,初步積累了一定的數與代數的數學活動經驗,具備有關一元一次方程的知識和經驗,知道一元一次方程是刻畫現實世界的有效數學模型,已積累了一些建構方程模型分析和解決問題的經驗.運用類比的數學思想,從研究方程的思路入手看待二元一次方程組和三元一次方程組可降低學生學習的難度.學生已有一定的能力通過自主探究和合作交流,從實際問題建立方程模型,從方程模型中抽象、概括出二元一次方程的概念模型.根據學生的最近發展區創設特定情境,使學生一直處于根據實際問題列方程是刻畫現實情景中數量關系的一個重要的數學模型的氛圍之中,會使學生更加主動地去探索二元一次方程(組)的特征、解法及運用二元一次方程組解決實際問題,培養學生良好的數學探究意識與應用意識.掌握用消元法解二元一次方程組,強調“消元”的思想和方法.消元法是一種重要的思想和方法,能夠簡化問題,也是解決問題的一種策略,是貫穿二元一次方程組的一條主線.通過“消元”將二元一次方程組轉化為一元一次方程,實現求解的目的,體現化繁為簡、以簡馭繁的基本策略,對發展學生的運算能力、分析問題和解決問題的能力都具有重要意義.
單元目標 教學目標1.以分析實際問題中的等量關系并求解其中未知數為背景,認識二元一次方程(組)及其有關概念,發展抽象思維能力、模型觀念.2.根據化歸思想,抓住“消元”這一基本策略,能靈活運用代入法、加減法解二元一次方程組,并會解簡單的三元一次方程組.3.經歷分析和解決問題的過程,體會二元一次方程(組)的教學模型作用,進一步提高運用方程(組)解決實際問題的基本能力,培養應用意識、創新意識.(二)教學重點、難點教學重點:理解二元一次方程(組)的有關概念;掌握二元一次方程組的解法——代入消元法、加減消元法:會用方程組來解決實際問題。教學難點:掌握消元法，能解二元一次方程組:會用方程組來解決實際問題，體會建模思想。
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架

（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數2.1二元一次方程1課時2.2二元一次方程組和它的解1課時2.3解二元一次方程組2課時2.4二元一次方程組的應用2課時2.5三元一次方程組及其解法1課時
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務2.1二元一次方程1.了解二元一次方程的概念；2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；3.會將一個二元一次方程變形成用關于一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式.1.了解二元一次方程的概念；2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；3.會將一個二元一次方程變形成用關于一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式.任務一：設置問題，引出新課任務二：二元一次方程的概念任務三：二元一次方程的解2.2二元一次方程組和它的解1.了解二元一次方程組的概念；2.理解二元一次方程組的解的概念；3.會用列表嘗試的方法求二元一次方程組的解.1.了解二元一次方程組的概念；2.理解二元一次方程組的解的概念；3.會用列表嘗試的方法求二元一次方程組的解.任務一：設置問題，引出新課任務二：二元一次方程組的概念任務三：二元一次方程組的解2.3解二元一次方程組（第1課時）1.理解并掌握代入消元法；2.會用代入消元法解二元一次方程組；3.了解“消元”思想，初步體會“化未知為已知”的化歸思想.1.理解并掌握代入消元法；2.會用代入消元法解二元一次方程組；3.了解“消元”思想，初步體會“化未知為已知”的化歸思想.任務一：設置問題，引出新課任務二：代入消元法2.3解二元一次方程組（第2課時）1.掌握用加減法解二元一次方程組.2.對于運用加減消元法,把“二元”轉化為“一元”,從而正確求解二元一次方程組的理解．1.掌握用加減法解二元一次方程組.2.會運用加減消元法,把“二元”轉化為“一元”,從而正確求解二元一次方程組的理解．任務一：回顧復習，引出新課任務二：加減消元法2.4二元一次方程組的應用（第1課時）1.掌握應用二元一次方程組解決實際問題的基本步驟;2.會列二元一次方程組解決實際問題。1.掌握應用二元一次方程組解決實際問題的基本步驟;2.會列二元一次方程組解決實際問題。任務一：設置問題，引出新課任務二：二元一次方程組的應用2.4二元一次方程組的應用（第2課時）1.進一步培養學生化實際問題題為數學問題的能力和分析問題，解決問題的能力;2.會根據題意列出二元一次方程組，在抽象二元一次方程組的過程中，進一步體會到方程是描述現實生活中某些問題的有效數學模型，體會代數方法的優越性和多樣性。1.進一步培養化實際問題題為數學問題的能力和分析問題，解決問題的能力;2.會根據題意列出二元一次方程組，在抽象二元一次方程組的過程中，進一步體會到方程是描述現實生活中某些問題的有效數學模型，體會代數方法的優越性和多樣性。任務一：設置問題，引出新課任務二：二元一次方程組的應用2.5三元一次方程組及其解法1.三元一次方程組的解法及“消元”思想;2.根據方程組的特點，選擇合適的未知數和方法消元．1.理解三元一次方程（組）的概念2.掌握三元一次方程組的解法及“消元”思想;3.會根據方程組的特點，選擇合適的未知數和方法消元．任務一：回顧復習，引出新課任務二：三元一次方程及三元一次方程組的概念任務三：三元一次方程組的解
《第2章 》二元一次方程組 單元教學設計
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分課時教學設計
《2.5三元一次方程組及其解法》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課的內容是三元一次方程組及其解法.在此之前，學生已經學習了一元一次方程和二元一次方程組的解法及應用，已經具備了用消元法解方程組的基本技能，這節課主要引導學生通過類比學習，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再轉化為一元一次方程去解決問題.
學習者分析 在此之前，學生已學習了一元一次方程和二元一次方程組的解法等有關內容，這些知識儲備為本節課的學習奠定了良好的基礎，使學生具備了掌握本節知識的基本技能；初中生正處于思維發展的關鍵時期，他們的邏輯思維能力和抽象思維能力正在逐步發展，獨立思考有一定的難度，特別是作為選學內容的三元一次方程組解法對他們來說有一定的挑戰性，因此，引導學生主動自信的參與學習是學好這節課的前提，積極調動學生運用已有知識，用二元一次方程的解法，靈活應用代入法、加減法進行消元化歸思想。引導學生大膽嘗試，在探究中，尋找解決問題的方法。
教學目標 1.三元一次方程組的解法及“消元”思想; 2.根據方程組的特點，選擇合適的未知數和方法消元．
教學重點 三元一次方程組的概念及其一般解法.
教學難點 根據方程的特征，選擇怡當的消元對象和消元方法去解三元一次方程組.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1： 學生活動1： 學生回顧二元一次方程組的解法。活動意圖說明： 通過回顧二元一次方程組的解法，引發學生的思考，激發學生的學習興趣，在回憶舊知識的同時，自然切入本節課所要學習的內容.環節二：三元一次方程及三元一次方程組的概念教師活動2： 一副撲克牌共54張。老師將一副撲克牌分給甲、乙、丙三名學生。甲拿到的牌數是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半給乙,則乙的牌數就比甲多2張。老師分給甲、乙、丙各多少張牌 我們來討論這個問題。 (1)這個問題中要求的未知數有幾個 你能列出關于這些未知數的幾個方程 請試一試。 (2)根據(1)中列出的方程,你能求出問題的解嗎 請試一試。 （1）三個。 設甲、乙、丙各x、y、z張牌 x+y+z=54 x=2y y+=x+2 觀察列出的三個方程，你發現了什么？ 這個問題的解必須同時滿足上面的三個條件，因此，把這三個方程合在一起，寫成 三元一次方程、三元一次方程組： 和二元一次方程類似,含有三個未知數,且含有未知數的項的次數都是一次的方程叫作三元一次方程。由三個一次方程組成,并且含有三個未知數的方程組叫作三元一次方程組。 條件：(1)是整式方程； (2)含有三個未知數； (3)是一次方程.學生活動2： 學生理解問題。 小組合作，回答問題。 學生觀察三個方程的，總結其特點。 學生在教師的引導下，總結得出三元一次方程、三元一次方程組的概念。 活動意圖說明： 通過思考問題，引導學生觀察，總結得出三元一次方程和三元一次方程組的概念，培養學生的觀察分析，總結概括的能力。環節三：三元一次方程組的解教師活動3： 三元一次方程組的解： 同時滿足三元一次方程組中各個方程的解叫作這個三元一次方程組的解。 怎樣解三元一次方程組呢？ 和解二元一次方程組一樣,解三元一次方程組的基本思想也是消元。 例1 解三元一次方程組 解：將③分別代入①，②，消去x，得 解這個二元一次方程組，得 將 代入③，得x= -2. 所以原方程組的解是 例2 解方程組 解：①+③，得 5x+5y= 25. ④ ①×2 -②，得 5x - y= 19. ⑤ ④-⑤，得6y=6，所以y=1. 把y=1代入⑤，得 x=4. 再將x=4 ， y=1代入①，得 z= -1 所以原方程組的解是 由例1、例2可見, 解三元一次方程組的消元方法也是代入法或加減法，通過消元將解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組,進而轉化為解一元一次方程。 解三元一次方程組的一般步驟： (1)消元：利用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組； (2)求解：解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值； (3)回代：將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程中，得到一個一元一次方程； (4)求解：解這個一元一次方程，求出未知數的值； (5)寫解：將求得的三個未知數的值用符號“{”聯立在一起.學生活動3： 學生理解三元一次方程組的解的概念。 學生掌握三元一次方程組的解法。 學生嘗試完成例題并展示答案。 學生總結解三元一次方程組的基本思想和一般步驟。 活動意圖說明： 給出三元一次方程組的解的概念，類比二元一次方程組的解法-代入消元法和加減消元法，讓學生嘗試用消元的思想解三元一次方程組，通過完成例題，讓學生體會“消元”思想，以及怎么消元，先消哪個元，以提高學生的解三元一次方程組的能力。
板書設計 課題：2.5三元一次方程組及其解法 1.三元一次方程、三元一次方程組： 2.三元一次方程組的解: 3.解三元一次方程組的一般步驟：
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列各方程組中，三元一次方程組有( B ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.若(m+1)x+y|m|+z=4 是關于x，y，z 的三元一次方程，則m 的值為___1____. 3.已知 |x - 6y| + 2(4y - 1)2 + |3x - 6z| = 0，則 x + y + z = . 選做題： 4.解三元一次方程組 解：②﹣①得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2， 把y＝﹣2代入①得：x﹣2+z＝4，即x+z＝6④， 把y＝﹣2代入③得：4x﹣4+z＝17，即4x+z＝21⑤， 由④和⑤組成一個二次一次方程組,解得 所以原方程組的解是 5.已知 是三元一次方程組的解，則 的值為( C ) A.125 B.119 C.113 D.71 【綜合拓展類作業】 6.數學活動： 小川、小渝兩位同學在學習方程組的過程中發現，三元一次方程組 雖然解不出，， 的具體數值，但可以解出 的值. （1）小川的方法：②×3 ①×2，整理得y= __3 2z __； ①×3 ②×2，整理得x= __z+1_； ∴x+y+z=4 . 小渝的方法：①+② ，得_5x+5y+5z=20___； ∴x+y+z=4 . （2）已知求 的值. 解： ，得，整理得 ， ，得，整理得 ， 則 .
課堂總結 1.三元一次方程、三元一次方程組： 和二元一次方程類似,含有三個未知數,且含有未知數的項的次數都是一次的方程叫作三元一次方程。由三個一次方程組成,并且含有三個未知數的方程組叫作三元一次方程組。 2.三元一次方程組的解: 同時滿足三元一次方程組中各個方程的解叫作這個三元一次方程組的解。 3.解三元一次方程組的一般步驟： (1)消元：利用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組； (2)求解：解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值； (3)回代：將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程中，得到一個一元一次方程； (4)求解：解這個一元一次方程，求出未知數的值； (5)寫解：將求得的三個未知數的值用符號“{”聯立在一起.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．解方程組 最簡便的消元方法是( B ) A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常數項 2.三元一次方程組 的解為（ D ） A. B. C. D. 3.若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，則x+y+z的值等于（　B　） A．0 B．1 C．2 D．不能求出 選做題： 4.在一次解題比賽中，小張、小李、小王三人共解出了100道題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題，則難題比容易題多　 20 　道． 5．如圖，前兩個天平已保持平衡，現要求在第三個天平的右邊只放△ ，要使之保持平衡，則應放△ ( B ) A.5個 B.6個 C.7個 D.8個 【綜合拓展類作業】 6.某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個衣袖、1個衣身和1個衣領組成.如果每人每天能夠縫制衣袖10個，或衣身15個，或衣領12個，那么安排多少名工人縫制衣袖，多少名工人縫制衣身，多少名工人縫制衣領，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套？ 解：設安排名工人縫制衣袖，名工人縫制衣身， 名工人縫制衣領， 依題意，得解得 ‘ 答：安排120名工人縫制衣袖，40名工人縫制衣身，50名工人縫制衣領，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套.
教學反思 本節課通過問題探究，引導學生總結歸納出三元一次方程（組）的概念，培養學生的觀察分析概括能力，類比二元一次方程組的學習過程探究三元一次方程組，讓學生感受把新知轉化為已知，把不會的問題轉化為學過的問題，把難度大的問題轉化為難度較小的問題這一化歸思想．感受數學知識之間的密切聯系，增強學生的數學應用意識，初步培養學生建立數學模型解決問題的良好思維習慣.
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