資源簡介

人教A版必修第二冊高一（下）數學6.4.3.2正弦定理教學設計
課題 6.4.3.2正弦定理
課型 新授課 課時 2
學習目標 能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系. 2.能用向量方法發現和證明正弦定理.3.會用正弦定理求解已知兩邊和其中一條邊的對角、已知兩角和夾邊等解三角形問題.
學習重點 1.借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理. 2.運用正弦定理解三角形.
學習難點 1.正弦定理的證明.2.正弦定理在解三角形中的應用.
學情分析 本節課與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切的聯系。并為以后學習余弦定理提供了方法上的模式，為運用正、余弦定理解決測量、工業、幾何等方面的實際問題提供了理論基礎，使學生進一步了解數學在實際中的應用，激發他們的學習興趣。而且解三角形和三角函數聯系在高考當中也時常考一些解答題。因此，正弦定理的知識非常重要。
核心知識 運用正弦定理解三角形.
教學內容及教師活動設計（含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
情景引入探究問題 ：余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其 夾角、已知三邊直接解三角形的公式．如果已知兩角和一邊， 是否也有相應的直接解三角形的公式呢？在初中，我們得到了三角形中等邊對等角的結論.實際 上，三角形中還有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.從量 化的角度看，可以將這個邊、角關系轉化為：在 中，設 的對邊為 a, B 的對邊為b ，求 A, B, a, b之間的定量關系.如果得出了這個定量關系，那么就可以直接解決“在 中，已知“ A, B, a 求b ”的問題.我們從熟悉的直角三角形的邊、角關系的分析入手.根據 銳角三角函數，在 中（如圖），有 這兩個式子有共同元 c ，利用它把兩個式子聯系起來，可得 又因為 sin C = sin 90。= 1 ，上式可以寫成邊與它的對角的正弦的比相等的形式，即 在直角三角形中，有 對銳角三角形和鈍角三角形，以上關系是否任然成立？因為涉及三角形的邊、角關系，所以仍然采用向量的方 法來研究.我們希望獲得 中的邊 a, b, c 與它們所對角 A, B, C 的 正弦之間的關系式．在向量運算中，兩個向量的數量積與長 度、角度有關，這就啟示我們可以用向量的數量積來探究.思考 1：向量的數量積運算中出現的是角的余弦,而我們 需要的是角的正弦，如何實現轉化？由誘導公式 可知，我們可以通過構造角之間的互余關系，把邊與角的余弦關系轉化為正弦關系. 下面先研究銳角三角形的情形.如圖，在銳角 中，過點 A 作與 AC 垂直的單位向量j ，則 j 與的夾角為 的夾角為 .因為 所以 由分配律，得 j . 也即a sin C = c sin A, 所以同理如下圖在鈍角中，同理可得上述結論.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即 這個公式表達形式的統一性、對稱性，不僅使結果更和諧優美，而且更突顯了三角形邊角關系的本質.問題：利用正弦定理可以解決三角形的哪類問題？正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的 角的正弦之間的一個定量關系.利用正弦定理，可以解決“ 已 知兩角和一邊，解三角形 ”和“ 已知兩邊和其中一邊的對角， 解三角形 ”的問題.正弦定理的拓展：課堂小結敘述正弦定理及拓展課堂小結敘述正弦定理及拓展形式
板書設計正弦定理正弦定理拓展
作業設計6.4.3.2正弦定理作業
教學反思1. 增加探究式學習環節，讓學生通過測量不同三角形的邊角，自主歸納比例關系。 2. 設計跨學科項目，如結合物理中的力的分解問題，體現數學工具性。 3. 利用思維導圖梳理解三角形的知識網絡，明確正弦定理的定位。
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例題講解
例9
（1）在△ABC中，A＝60°，a＝6eq \r(3)，則eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.
解析：由正弦定理得eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(6\r(3),sin60°)＝12.
(2)在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化簡，整理，得sin(B－C)＝0.
∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形
(3)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，則cos A∶cos B∶cos C＝________.
解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
設a＝2k(k＞0)，則b＝3k，c＝4k，cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f( 2k 2＋ 4k 2－ 3k 2,2×2k×4k)＝eq \f(11,16)，同理可得：cos A＝eq \f(7,8)，cos C＝－eq \f(1,4)，
∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4).
課堂練習

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