資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.2.3 運用乘法公式進行計算和推理
——新授課
一、教材分析
本節課是湘教版初中數學七年級下冊第一章第二節《乘法公式》中的內容，本節是在學生學方差公式和完全平方公式的基礎上，進一步運用這些公式進行復雜的代數式計算和推理。內容包括公式的綜合運用、代數式的化簡與求值、以及簡單的代數推理。它是乘法公式的綜合應用，也是后續學習“因式分解”和“分式運算”的重要基礎。掌握本節內容對提高學生的代數運算能力和邏輯推理能力具有重要意義。
二、學情分析
知識儲備：已學習平方差公式和完全平方公式，但對公式的綜合運用能力較弱，容易混淆公式或選擇不當。
能力水平：具備初步的代數運算能力，但對公式的靈活應用和代數推理能力不足。且抽象概括能力較弱，難以從復雜問題中識別公式的應用場景。
學習心理：對復雜運算和推理題有畏難情緒，缺乏學習興趣，需要教師通過分層練習和直觀化教學逐步建立信心。
三、教學目標
1.能熟練運用平方差公式和完全平方公式進行復雜的代數式計算。
2.會利用乘法公式化簡代數式并求值。
3.能運用乘法公式進行簡單的代數推理（如證明恒等式）。
4. 經歷從具體問題到抽象公式的綜合運用過程，培養觀察、類比能力。
四、重點難點
重點：靈活選擇平方差公式和完全平方公式進行計算和化簡，運用乘法公式進行簡單的代數推理。
難點：在復雜問題中識別并選擇適當的乘法公式。
五、教學方法
講授法、練習法、問答法
六、教學過程
一、復習回顧
【問題】什么是平方差公式和完全平方公式？
【回顧】平方差公式：(x+y)(xy)=x2y2
完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2
完全平方公式2：(xy)2=x22xy+y2
注意：x,y可以是單項式，也可以是多項式。
套用公式計算時，注意將底數帶上括號
二、探究新知
【做一做】
運用乘法公式計算： (x + 1)(x2 + 1)(x - 1).
分析：將第二個多項式與第三個多項式交換位置后可連續運用平方差公式進行計算。
解：原式= (x+1)(x1)(x2 +1)
= (x21)(x2+1)
= x4 1.
【舉一反三】
運用乘法公式計算： (2x2)(4x2+4)(2x+2).
解：原式= (2x2)(2x+2)(4x2+4)
= (4x24)(4x2+4)
= 16x4 16.
三、例題探究
例7 運用乘法公式計算：
（1） (a + b + c)2 ； （2） (a – b + c)(a + b – c).
（1）分析：可以把a + b看成一個整體，也可以把b + c或a + c看成一個整體。
解：(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
（2）解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)]
= a2 – (b – c)2
= a2 – (b2 – 2bc + c2)
= a2 – b2 + 2bc – c2.
歸納：找符號相同的項和符號相反的項。
【舉一反三】
運用乘法公式計算：
（1）(a–2b+3c)(a+2b–3c)； （2）(a+2b+c)2.
解：（1）原式= [a–(2b3c)][a+(2b3c)]
= a2–(2b3c)2
= a2–(4b2–6bc+9c2)
= a2–4b2 +6bc+9c2.
（2）原式= [(a + 2b)c]2
= (a + 2b)22(a + 2b)c + c2
= a2 + 4ab + 4b2 2ac4bc + c2
【做一做】
例8 運用乘法公式計算：
(1) (a+b)2+ (a-b)2； (2) (a+b)2-(a-b)2。
解：（1）(a+b)2+(a-b)2
= a2+2ab+b2+a2-2ab+b2
= 2a2+2b2
（2）法一：原式= [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]= 2a·2b= 4ab
法二：原式= a2+2ab+b2-a2+2ab-b2= 4ab
歸納：1.已知a+b和ab，求a2+b2、(a-b)2：
a2+b2=-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab
2.已知a-b和ab，求a2+b2、(a-b)2：
a2+b2=2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab
3.已知a+b和a-b，求a2+b2、ab：
a2+b2= ab=
例9 運用乘法公式計算: (x + y)3 .
解：(x + y) = (x + y)( x + y)
= (x + y)(x + 2xy + y2)
= x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3
= x + 3x y + 3xy + y .
【思考】
先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25；
(2) 252 = 100×2× ＋ 25；
(3) 352 = 100× × ＋ .
由此猜測：十位數字是 a、個位數字是 5 的兩位數可以表示為 ，它的平方可表示為100×___× ＋ .
四、課堂練習
1.對式子(a-b-c)2 的變形不正確的是 (　 )
A.[a-(b+c)]2　　　 B.[(a-b)-c]2　　　 C.[(b+c)-a]2　　　 D.[a-(b-c)]2
2.計算(2a+3b)2(2a-3b)2的結果是 (　　)
A.4a2-9b2 B. 16a4-72a2b2+81b4 C. (4a2-9b2)2 D. 4a4-12a2b2+9b4
3.運用乘法公式計算：
(1)(x+2y)(x2-4y2)(x-2y). (2)(a+b-3)(a-b+3). (3)(x2+x-3)(x2-x-3).
五、課堂小結
什么是完全平方公式，在運用過程中需注意什么？
六、作業布置
課堂作業：P21 T1
家庭作業：《學法》P19-19 A組（基礎一般）、B組（基礎較好）、C組（選做）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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