資源簡介

人教版數學六年級下冊《鴿巢問題》教學設計
【教學內容】
人教版六年級下冊第五單元P68例1
【教材分析】
通過生活中的實例，向學生介紹“鴿巢問題”的兩種形式，使學生在理解“鴿巢問題”這種教學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，并會運用“鴿巢問題”來解決這些問題，促進邏輯思維能力的發展。
【學情分析】
在數學上有一類問題是與“存在性”有關的問題，比如367個人至少有2個人是在同一天過生日，這類問題它所依據的理論，我們稱之“鴿巢問題”。“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，對于學生來說是很容易的。但“鴿巢問題”的應用卻是千變萬化的，尤其是“鴿巢問題”的逆用，學生對進行逆向思維的思考可能會感到困難，也缺乏思考的方向，很難找到切入點。
【教學目標】
1、使學生理解抽屜原理（鴿巢原理）的基本形式，并能初步運用抽屜原理解決相關實際問題或解釋相關現象。
2、通過操作、觀察、比較、推理等數學活動，使學生經歷抽屜原理的形成過程，體會和掌握邏輯推理思想和模型，提高學習數學的興趣。
3、通過對抽屜原理的靈活運用，感受數學的魅力，體會數學的價值，提高學生解決問題的能力和興趣。
【教學重難點】
重點：經歷抽屜原理的探究過程，初步了解抽屜原理。
難點：理解“總有”“至少”，構建“抽屜原理”的數學模型，并對一些簡單的實際問題加以模型化。
【教學準備】多媒體課件
【教學過程】
一、游戲切入
師：在上課之前，我們先玩一個猜數字的游戲，請4位同學上黑板從1到3這三個數據任意寫下一個數據。
學生上黑板寫下自己喜歡的數據。
師預測：至少有一個數據被2位或者2位以上的同學寫了。我能預測到這個結論，是因為這個游戲里隱藏了一個數學問題-------鴿巢問題。
板書課題：鴿巢問題。
二、呈現問題，初步感知（列舉法）
1、師：4只鉛筆放進3個筆筒，你們會擺嗎？
待學生回答后，提升問題難度。
2、是的，這個問題很簡單，那我加大點難度有信心來挑戰嗎？
（課件出示）
①生讀題感知問題
②出示關鍵詞并進行理解
板書：總有1個 至少
“總有”什么意思？“至少”呢？誰來說說看？
待學生回答后，提出要求。
師：請同學們獨立思考完成這個結論。
③學生匯報
學生甲：我認為總有一個筆筒至少放進2支鉛筆
學生乙：我認為總有一個筆筒至少放進1支鉛筆
④驗證結論
師：你是怎么擺的？
板書學生放的方法。(4 0 0)、（3 1 0）、（2 2 0）、（2 1 1）、（1 2 1）
學生整理匯報
追問：（2 1 1）和（1 2 1）是一種放法還是兩種放法？
學生闡述自己的觀點
師小結：我們關注的應該是筆筒放筆的數量，與放筆的順序無關，（2 1 1）和（1 2 1）屬于同一種。
師：你認為至少放進1支，說說你的觀點。
學生可能會說：放筆最少那的個筆筒里有1支筆。
師小結：這種情況沒有研究價值，筆筒出現1支的情況總是會存在的。
師：觀察每一種放的放法有沒有一個放筆最多的筆筒？放了幾支？在放筆最多的筆筒里放得最少的有幾支？
（不管怎樣放，總有一個放筆最多的筆筒，在放筆最多的筆筒里最少的是2支）
師生交流中進行板書：
總有1個（放得最多的）
至少2支（盡可能少放）
師：至少2支是什么意思？誰再來說說看
學生匯報
小結：是的，至少2支就是最少2支，不能比2支少，但是可以比2支多，3支和4支也是屬于至少2支這種情況。在數學上，我們把所有的情況全部列舉出來就叫做列舉法。（板書：列舉法）
設計意圖：到了高年級學生的思維推理能力有一定的提升，丟掉直觀的實物演練，借助數字、符合想象推理完成結論，讓學生在自主學習過程中勇于表達自己的觀點和疑點，在討論、交流學習中達成認識---不管怎樣放總有一個筆筒至少放進2支鉛筆。
三、回歸問題 再次感知（假設法）
1、探究鉛筆放筆筒問題一般性
師：通過把4種不同放的情況全部列舉出來，發現不管怎樣放，總有一個筆筒至少放進2支筆。如果有許多的筆，你還會把所有的情況全部列舉出來嗎？那你還有其它好的辦法嗎？
如果我只找這4種情況中的一種情況，你們覺得是找最有利還是最不利的？為什么
學生匯報并說明自己的觀點
繼續追問：要想每個筆筒的筆盡可能少放，那我應該這樣放就可以做到每個筆筒的筆都盡肯能少呢？
學生可能會回答：盡量平均分
繼續追問：這個詞用得好！那你說說具體怎么放？
學生可能會說：每個筆筒各放1支筆，這時還剩下1支筆，不管我放到哪個筆筒里，都可以出現總有一個筆筒至少放進2支筆
2、把問題“模型化”
師：這個“平均分”的過程可不可以用一個算式來表示呢？
生匯報老師板書
鉛筆 筆筒
4 ÷ 3 ＝1……1 1+1＝2
引導學生進一步探究：那如果有5支鉛筆放進4個筆筒，總有一個筆筒至少放進幾支鉛筆？（2支）如果是100支鉛筆放進99個筆筒，總有一個筆筒里至少放進幾支鉛筆？（2支）
組織學生分組議一議，說一說，得出一般性的結論。
學生歸納總結：只要放進的鉛筆數量比筆筒數量多1，總有一個筆筒至少放進2支鉛筆。
師：你們可以用簡潔的數學語言來描述一下嗎？
學生可能會想到用字母來表示比如：a表是鉛筆，b表示筆筒（a比b大1）……
小結：筆筒用n表示，鉛筆就可以表示成n＋1，也就是把n＋1支筆放進n個筆筒，不管怎樣放總有一個筆筒至少放進2支筆。
課件出示：
設計意圖：由課本例題4支鉛筆放進3個筆筒，不管怎樣放得到總有一個筆筒至少放進2支鉛筆。這是巧合還是某一類型問題的一般性？讓學生根據已有的經驗思考5支鉛筆放進4個筆筒，100支鉛筆放進99個筆筒，甚至是更多的鉛筆放進更多的筆筒，得到抽屜原理，從而加深對新知識的認識與理解，提高學生數學思維。
3、原型問題提升到同一類型問題
課件出示
師：這是我們剛才一起研究的3個問題，仔細觀察有沒有相同點？
學生獨立思考，同桌討論、交流
小結：蘋果、鉛筆就相當于鴿子，抽屜、筆筒相當于巢，我們可以把這類問題就叫做鴿巢問題，所蘊涵的原理就叫做鴿巢原理也叫抽屜原理，還叫狄利克雷原理。
學生默讀狄利克雷原理。
四、練習鞏固
1、變式練習
課件出示
組織學生獨立完成，并在小組中相互交流，然后指名學生匯報解題思路及過程。
2、提升練習
課件出示
師：鴿子數量比巢多2的時候，總有一個鴿籠至少飛進幾只鴿子呢？
組織學生討論、交流、完成填空
學生可能會得出：2只鴿子或者3只鴿子
師生一起驗證并對存在的問題進行釋疑：當第一進行平均分以后，還要再次盡量“平均分”。
設計意圖：通過設計有梯度的問題，既有基礎的抽牌猜花色游戲鞏固新知，又有變式的練習找“鴿子”數，還有鴿子數比鴿巢數多2的提升練習，牢固掌握“鴿巢原理”，并培養學生靈活運用“鴿巢原理”解決問題的能力。
五、課后小結
通過這節課的學習，你覺得鴿巢問題簡單嗎？說說看
【板書設計】
鴿巢問題
（4 0 0） 總有一個（分得最多的） 鉛筆 筆筒
（3 1 0） 至少2支（盡可能少放） 4 ÷ 3 ＝1……1 1＋1＝2
（2 1 1） 5 ÷ 4 ＝1……1 1＋1＝2
（2 2 0） 100 99
n＋1 n
5÷3＝1……2
1＋1＝2
【教學反思】
1、本節課主要是讓學生經歷探究“鴿巢原理”的過程，掌握“鴿巢原理”基本原型，并能夠運用于實際，學會思考數學問題的方法，從而培養學生的數學思維。眾所周知，興趣是最好的老師，上課開始，玩猜數字的游戲。隨便學生怎么寫，至少有一個數據被2位或者2位以上的同學寫了，簡單的游戲體現了“鴿巢原理”的本質，同時也為學習例1，把4支鉛筆放進3個筆筒，不管怎樣放，總有一個筆筒至少放進（2）支鉛筆做了鋪墊。通過游戲抓住學生的注意力，讓學生感覺到本節課要學習的內容有意義。
2、在教學時，為學生提供主動參與的機會，比如4支鉛筆放進3個筆筒你是怎么擺的？讓學生說擺的方法以及為什么這么擺？延伸到5支鉛筆放進4個筆筒；100支鉛筆放進99個筆筒等等，讓學生在學習中經歷猜想、驗證、推理、應用中掌握“鴿巢原理”，即n＋1個物體放進n個抽屜，不管怎樣放，總有一個抽屜至少放進2個物體。通過對一些實際問題“模型化”，從而是在用“鴿巢原理”解決問題時，促進邏輯思維推理能力。
3、整節課下來，感覺思路還是清晰的，學生也有所獲，但在語言組織、問題啟發上還有待加強。

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