資源簡介

第十九章一次函數(shù)
19.2.3第三課時
《一次函數(shù)與二元一次方程組》教學設(shè)計
一、教學目標
1.深入理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）之間在 “數(shù)” 與 “形” 方面的緊密對應(yīng)關(guān)系，能精準闡述二元一次方程如何與一次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化，以及二元一次方程組的解與對應(yīng)一次函數(shù)圖象交點坐標的內(nèi)在聯(lián)系。
2.熟練掌握運用畫圖象的方法求解二元一次方程組，包括準確繪制一次函數(shù)圖象，通過觀察圖象交點確定方程組的解，并能清晰解釋圖象法求解的原理。
3.學會將實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再借助一次函數(shù)的知識進行分析和解決，提升學生數(shù)學建模和實際應(yīng)用能力。
4.通過對一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的逐步探究，引導學生從特殊實例歸納出一般規(guī)律，培養(yǎng)學生的歸納推理能力，讓學生學會從具體數(shù)學現(xiàn)象中提煉出抽象的數(shù)學概念和關(guān)系。
5.在利用函數(shù)圖象解決二元一次方程組問題的過程中，強化學生數(shù)形結(jié)合的思維方式，讓學生學會將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題進行直觀分析，提高學生運用圖形語言和符號語言進行數(shù)學表達和推理的能力。
6.通過解決實際問題，引導學生經(jīng)歷 “問題情境 - 建立模型 - 求解驗證” 的過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，提升學生數(shù)學應(yīng)用意識和實踐能力。
核心素養(yǎng)目標
1.在探索一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的過程中，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新的探索精神，激發(fā)學生對數(shù)學學科的熱愛和追求真理的熱情。
2.通過從函數(shù)角度解決方程（組）問題以及實際問題，讓學生深刻體會數(shù)學知識的實用性和強大魅力，增強學生學習數(shù)學的自信心和成就感，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界的意識。
3.在小組合作探究和交流討論中，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作精神和溝通交流能力，讓學生學會在合作中共同進步，感受數(shù)學學習的樂趣和團隊的力量。
二、教學重難點
教學重點
全面深入探索并理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）在 “數(shù)” 與 “形” 上的對應(yīng)關(guān)系，明確二元一次方程的解與對應(yīng)一次函數(shù)圖象上點的坐標的一致性，以及二元一次方程組的解與對應(yīng)兩個一次函數(shù)圖象交點坐標的等價性。
熟練掌握運用函數(shù)圖象法求解二元一次方程組的方法和步驟，能夠準確根據(jù)方程組畫出相應(yīng)的一次函數(shù)圖象，并通過圖象交點得出方程組的解。
教學難點
深刻理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的本質(zhì)，尤其是從函數(shù)圖象的動態(tài)變化和代數(shù)方程的解的唯一性等角度，深入理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，這需要學生具備較強的抽象思維和邏輯推理能力。
綜合運用方程（組）、函數(shù)知識以及實際問題背景，構(gòu)建合理的數(shù)學模型來解決實際問題。在實際問題中，準確分析數(shù)量關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言并選擇合適的函數(shù)和方程知識進行求解，對學生的綜合應(yīng)用能力要求較高。
三、教學過程
（一）“數(shù)學謎題初現(xiàn)”—— 想一想
想一想
x+y=5 它表示什么呢？
它表示一個二元一次方程.
y=-x+5 它表示什么呢？
它既可表示一個二元一次方程，又可表示一個一次函數(shù).
對于二元一次方程2x-y=3可以將其寫成一次函數(shù)
__________的形式.
設(shè)計意圖：通過簡單的問題引入，喚起學生已有的知識經(jīng)驗，引發(fā)學生對二元一次方程與一次函數(shù)之間聯(lián)系的初步思考，激發(fā)學生的好奇心和探索欲望，為后續(xù)深入探究兩者關(guān)系奠定基礎(chǔ)。
（二）“數(shù)與形的探秘之旅”—— 探究一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系
1.畫出一次函數(shù)y=2x-3的圖象；
2.找出方程的幾組解；
3.把以這幾組解為坐標的點在坐標系上描出來，你發(fā)現(xiàn)了什么？
4.在一次函數(shù)y=2x-3的圖象上點的坐標都是二元一次方程2x-y=3的解嗎？
一般地，因為每個含有未知數(shù)x和y的二元一次方程，都可以改寫為y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的形式，所以每個這樣的方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)一條直線. 這條直線上每個點的坐標(x，y)都是這個二元一次方程的解
設(shè)計意圖：讓學生通過自主畫圖、計算、觀察和思考，親身經(jīng)歷從具體到抽象的歸納過程，深入理解一次函數(shù)與二元一次方程在 “數(shù)” 與 “形” 上的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學生的自主探究能力和歸納總結(jié)能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
（三）“方程組與函數(shù)圖象的碰撞”——探究一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系
方程組
1.在同一直角坐標系中，分別作出一次函數(shù)y=-x+5和y=2x-1的圖象，這兩個圖象有交點嗎？
2.直線y=-x+5和y=2x-1的交點坐標與方程組的解有什么關(guān)系？
解方程組得
由含有未知數(shù)x和y的兩個二元一次方程組成的每個二元一次方程組，都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線. 從“數(shù)”的角度看，解這樣的方程組，相當于求自變量為何值時相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等，以及這個函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解這樣的方程組，相當于確定兩條相應(yīng)直線交點的坐標. 因此，我們可以用畫一次函數(shù)圖象的方法得到方程組的解.
設(shè)計意圖：通過學生的動手操作和教師的理論引導，讓學生直觀地感受一次函數(shù)與二元一次方程組之間的緊密聯(lián)系，進一步深化數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學生從不同角度思考問題的能力，提高學生的數(shù)學思維水平。
（四）“生活中的數(shù)學難題破解”—— 實際問題應(yīng)用
問題3 1號探測氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升.與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升.兩個氣球都上升了1h.
(1)用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔y(單位:m)關(guān)于上升時間x(單位:min)的函數(shù)關(guān)系；
(2)在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位于什么高度？
解：(1)氣球上升時間x滿足0≤x≤60.
對于1號氣球，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x+5.
對于2號氣球，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=0.5x+15.
(2)在某時刻兩個氣球位于同一高度，就是說對于x的某個值(0≤x≤60)，函數(shù)y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得
這就是說，當上升20min時，兩個氣球都位于海拔25m的高度.
在同一直角坐標系中，畫出一次函數(shù)y=x+5和y=0.5x+15的圖象.兩條直線交點坐標為(20，25)，這也說明當上升20min時，兩個氣球都位于海拔25m的高度.
設(shè)計意圖：通過實際問題的解決，讓學生體會數(shù)學知識在實際生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，進一步鞏固一次函數(shù)與二元一次方程組的知識，提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，增強學生的數(shù)學應(yīng)用意識。
（五）“知識鞏固大挑戰(zhàn)”—— 練習
練習
考慮下表兩種移動電話計費方式
用函數(shù)方法解答何時兩種計費方式費用相等.
解：用x(min)表示通話時間，y(元)表示費用.則方式一的函數(shù)解析式為y=0.15x+20，方式二的函數(shù)解析式為y=0.2x.列得方程組
解得
答：當通話時間為400min時，兩種計費方式費用相等，都為80元.
設(shè)計意圖：通過針對性練習，鞏固學生對一次函數(shù)與二元一次方程組知識的掌握程度，檢驗學生對所學內(nèi)容的理解和應(yīng)用能力，及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并進行反饋糾正，提高學生運用知識解決實際問題的熟練程度。
（六）“收獲與成長分享會”—— 課堂小結(jié)
引導回顧：引導學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，包括一次函數(shù)與二元一次方程（組）的對應(yīng)關(guān)系、用圖象法解二元一次方程組的方法以及如何用函數(shù)知識解決實際問題等。
交流分享：鼓勵學生分享自己在本節(jié)課學習過程中的收獲、體會以及遇到的問題，組織學生進行交流討論，共同解決問題。
設(shè)計意圖：幫助學生梳理知識脈絡(luò)，強化重點內(nèi)容，培養(yǎng)學生的反思總結(jié)能力和語言表達能力。通過交流分享，讓學生相互學習、共同進步，營造積極向上的學習氛圍。
四、總結(jié)
同學們，今天我們一同在數(shù)學的知識海洋里經(jīng)歷了一場精彩的探索之旅！從最初對二元一次方程和一次函數(shù)關(guān)系的好奇，到逐步揭開它們之間神秘的面紗，發(fā)現(xiàn) “數(shù)” 與 “形” 完美結(jié)合的奧秘，再到運用這些知識解決生活中的實際問題，每一步都充滿了挑戰(zhàn)，但你們都勇敢地邁出了堅實的步伐。
在這個過程中，大家不僅學會了新知識，更重要的是掌握了一種全新的思維方式 —— 數(shù)形結(jié)合。它就像一把神奇的鑰匙，為我們打開了一扇又一扇解決數(shù)學問題的大門。當我們把抽象的方程和直觀的函數(shù)圖象聯(lián)系起來時，原本復雜的問題變得清晰易懂。
希望大家?guī)е@份對數(shù)學的熱愛和探索精神繼續(xù)前行。在未來的學習中，無論遇到什么難題，都要像今天一樣，勇于嘗試，從不同角度思考問題。相信你們在數(shù)學的世界里會不斷發(fā)現(xiàn)更多的精彩，收獲更多的成長和進步！數(shù)學會一直陪伴著你們，幫助你們更好地理解世界、探索世界！ 加油，同學們！
五、教學反思
（一）成功之處
教學方法有效：采用問題驅(qū)動、自主探究、合作交流和講練結(jié)合的教學方法，激發(fā)了學生的學習興趣和主動性。通過設(shè)置一系列有梯度的問題，引導學生逐步深入探究一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，讓學生在探究過程中主動獲取知識，培養(yǎng)了學生的自主學習能力和合作精神。
知識傳授清晰：在教學過程中，注重從 “數(shù)” 與 “形” 兩個角度對知識進行講解，結(jié)合具體實例和函數(shù)圖象，使抽象的數(shù)學知識變得直觀易懂。學生對一次函數(shù)與二元一次方程（組）的對應(yīng)關(guān)系以及用圖象法解方程組的方法掌握較好，達到了預(yù)期的教學目標。
體現(xiàn)學生主體地位：整個教學過程始終以學生為主體，教師作為引導者和組織者。給予學生充足的時間進行思考、探究、討論和表達，讓學生在課堂上充分發(fā)揮自己的主觀能動性，符合新課標的教學理念，提高了學生的課堂參與度和學習效果。
（二）不足之處
個體差異關(guān)注不夠：在教學過程中，雖然盡量兼顧全體學生，但由于學生的數(shù)學基礎(chǔ)和學習能力存在差異，部分基礎(chǔ)薄弱的學生在理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的本質(zhì)以及運用圖象法解方程組時仍存在困難。在小組討論和練習環(huán)節(jié)，這些學生參與度不高，沒有得到足夠的關(guān)注和指導。
時間把控不夠精準：在探究一次函數(shù)與二元一次方程組關(guān)系的環(huán)節(jié)，學生討論和操作時間較長，導致后面實際問題應(yīng)用和練習部分時間緊張。部分學生沒有充分時間完成練習，對知識的鞏固和拓展不夠，影響了教學的完整性和學生對知識的掌握程度。
拓展深度不足：對于學有余力的學生，課堂內(nèi)容的拓展深度不夠。在講解實際問題時，僅停留在基礎(chǔ)的應(yīng)用層面，沒有進一步引導學生思考更復雜的實際情境，限制了學生思維的拓展和綜合能力的提升。
（三）改進措施
加強分層教學與個別輔導：關(guān)注學生的個體差異，在課堂教學中實施分層教學，設(shè)計不同層次的問題和練習，滿足不同學生的學習需求。課后加強對基礎(chǔ)薄弱學生的個別輔導，幫助他們查漏補缺，理解和掌握重點知識，增強學習數(shù)學的信心。
優(yōu)化教學時間管理：在備課過程中，更加精確地預(yù)估每個教學環(huán)節(jié)所需時間，合理安排教學內(nèi)容和進度。在課堂教學中，根據(jù)學生的實際情況靈活調(diào)整教學節(jié)奏，確保各個教學環(huán)節(jié)緊湊有序進行，給學生留出足夠的時間進行練習和鞏固，提高課堂教學效率。
豐富教學內(nèi)容與拓展思維：在完成基礎(chǔ)教學任務(wù)的基礎(chǔ)上，增加教學內(nèi)容的深度和廣度。設(shè)計一些拓展性的問題和探究活動，引導學有余力的學生進一步探索一次函數(shù)與二元一次方程（組）在更復雜數(shù)學情境和實際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和綜合應(yīng)用能力，促進學生的全面發(fā)展。
六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優(yōu)秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創(chuàng)新性表現(xiàn)如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

展開更多......

收起↑