資源簡介

第十九章一次函數
19.2.3第二課時
《一次函數與一元一次不等式》教學設計
一、教學目標
1.深入理解一次函數與一元一次不等式之間的內在聯系，能夠準確闡述從 “數” 和 “形” 兩個角度的對應關系。
2.熟練掌握根據一次函數圖象解決一元一次不等式問題的方法，包括準確畫出函數圖象，通過觀察圖象確定不等式的解集，并能對求解過程進行清晰的邏輯解釋。
3.學會將一元一次不等式問題轉化為一次函數問題進行分析和解決，培養學生數學知識的轉化能力和應用能力，能靈活運用這一關系解決各種相關數學問題。
4.通過對具體一次函數和一元一次不等式實例的研究，引導學生經歷從特殊到一般的歸納過程，培養學生的歸納推理能力，使學生學會從具體數學問題中抽象出一般性的數學規律。
5.在利用函數圖象求解不等式的過程中，強化學生 “數” 與 “形” 相互轉化的思維方式，讓學生學會借助函數圖象的直觀性理解不等式的解集，提高學生數形結合的思維能力，增強學生運用數學圖形語言進行思考和表達的能力。
6.組織學生進行小組討論和合作探究活動，共同探討一次函數與一元一次不等式的關系及應用，培養學生的合作學習意識、團隊協作能力和交流表達能力，讓學生學會在交流中相互學習、共同進步。
核心素養目標
1.通過探索一次函數與一元一次不等式的關系，讓學生感受數學知識之間的緊密聯系和相互滲透，體會數學的系統性和邏輯性，激發學生對數學學習的興趣和熱愛，培養學生對數學的好奇心和求知欲。
2.在解決問題的過程中，鼓勵學生勇于嘗試、敢于創新，面對困難時積極思考、堅持不懈，培養學生堅韌不拔的意志品質和勇于探索的精神，增強學生學習數學的自信心。
3.引導學生從函數和不等式的不同角度看待數學問題，培養學生的辯證思維和批判性思維，讓學生體會數學在實際生活中的廣泛應用，提高學生應用數學知識解決實際問題的意識，感受數學的實用價值。
二、教學重難點
教學重點
全面理解一次函數與一元一次不等式在 “數” 和 “形” 方面的本質聯系，即一元一次不等式的解集是相應一次函數函數值大于（或小于）時自變量的取值范圍，從圖象上看，一次函數圖象在軸上方（或下方）部分對應的的取值范圍就是一元一次不等式的解集。
熟練運用一次函數圖象求解一元一次不等式，掌握通過觀察函數圖象確定不等式解集的方法和技巧，能夠根據不同形式的一元一次不等式準確選擇合適的函數圖象進行分析和求解。
教學難點
深刻理解一次函數與一元一次不等式關系的本質，尤其是如何從函數圖象的變化趨勢和位置關系準確確定不等式的解集，實現函數 “形” 與不等式 “數” 的精準轉化和對應，這需要學生具備較強的數形結合思維能力。
引導學生從函數的角度對各種形式的一元一次不等式進行深入分析和解釋，培養學生運用函數思想解決不等式問題的意識和能力，使學生能夠舉一反三，靈活運用所學知識解決復雜的數學問題，提高學生的數學綜合素養。
三、教學過程
（一）“知識橋梁搭建”—— 復習啟新
復習啟新
上節課我看用函數觀點，從“數”和“形”兩個角度學習了一元一次方程求解問題.
如圖：(1)當x=___時，一次函數y=x-2的值為0，則x=2是一元一次方程_______的解；
(2)一元一次方程x-2=1的解為_____，則當x=3時，一次函數y=x-2的值為___.
當x為何值時，函數y=x-2對應的值大于0？
設計意圖：通過復習舊知，搭建起與新知識的聯系橋梁，幫助學生鞏固已學知識，同時引發學生對新問題的思考，激發學生的學習興趣和求知欲，為后續學習一次函數與一元一次不等式的關系做好鋪墊。
（二）“探索神秘關系之旅”—— 探究一次函數與一元一次不等式的關系
問題
(1)解不等式2x-4＞0；
(2)當自變量x為何值時，函數y=2x-4的值大于0？
解：(1)解得x＞2；(2)由2x-4＞0，解得x＞2，即當x＞2時，函數y=2x-4的值大于0.
在上面問題的解決過程中，你能發現它們之間有什么關系？
從“數”的角度看它們是同一個問題，只是表達的形式不同.
設計意圖：通過具體實例，讓學生從 “數” 和 “形” 兩個角度自主探索一次函數與一元一次不等式的關系，培養學生的觀察能力、分析能力和歸納總結能力，滲透數形結合的數學思想，讓學生在探索過程中深入理解兩者的內在聯系。
（三）“深度剖析大揭秘”—— 思考與拓展
從“數”上看
根據一次函數與不等式的關系填空：
(1)解不等式3x-6＜0，可看作_________________________________________________.
(2)“當自變量x取何值時，函數y=-5x+8的值大于0”可以看作_____________________.
解：畫出直線y=2x-4，可以看出，當x＞2時，這條
直線上的點在x軸的上方，即這時，y=2x-4＞0.
因此不等式2x-4＞0的解集為x＞2.
從“形”的角度看它們也是同一個問題.
從“形”上看
根據下列一次函數的圖象，直接寫出下列不等式的解集.
(1) 3x+6＞0 (即y＞0)_________ (2) 3x+6≤0 (即y≤0)_________
(3) -x+3≥0 (即y≥0)_________ (4) -x+3＜0 (即y＜0)_________
一次函數與一元一次不等式的關系
思考
下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數的角度對解這3個不等式進行解釋嗎？
(1) 3x+2＞2； (2) 3x+2＜0； (3) 3x+2＜-1.
從“數”的角度看：
解這3個不等式相當于在一次函數y=3x+2的函數值分別大于2、小于0、小于-1時，求自變量x的取值范圍.
從“形”的角度看：
在直線y=3x+2上取縱坐標分別滿足大于2、小于0、小于-1的點，它們的橫坐標分別滿足______________
設計意圖：通過對多個不等式的深入分析和小組討論，加深學生對一次函數與一元一次不等式關系的理解，培養學生的合作交流能力和從函數角度分析復雜問題的能力，拓展學生的思維深度和廣度。
（四）“實戰演練大比拼”—— 鞏固練習
練習
1.當自變量x的取值滿足什么條件時，函數y=-5x+8的值滿足下列條件？
(1) y＞0；________ (2) y≤-2. ________
2.利用函數圖象解不等式：6x-4≤3x+2.
解：原不等式變形為3x-6≤0
畫出函數y=3x-6的圖像
由圖像可以看出：當x≤2時，
這條直線上的點在x軸的下方，
這時y=3x-6≤0
即原不等式的解集為：x≤2.
設計意圖：通過針對性的練習，鞏固學生對利用一次函數圖象解決一元一次不等式問題的掌握程度，及時反饋學生的學習情況，讓學生在練習中進一步加深對一次函數與一元一次不等式關系的理解，提高學生運用所學知識解決實際問題的能力，增強學生的學習自信心。
（五）“收獲與展望分享會”—— 課堂小結
引導學生回顧本節課所學內容，包括一次函數與一元一次不等式的關系，從 “數” 和 “形” 角度的理解，以及利用函數圖象求解不等式的方法等。
鼓勵學生分享自己在本節課學習過程中的收獲、體會和遇到的問題，組織學生進行交流和討論。
設計意圖：幫助學生梳理本節課的知識脈絡，強化重點知識，培養學生的反思總結能力和語言表達能力，及時解決學生學習中存在的問題，讓學生在交流中互相學習、共同進步，同時引導學生對后續學習產生期待。
四、總結
同學們，今天我們一同在數學的奇妙世界里探索了一次函數與一元一次不等式之間千絲萬縷的聯系。就像解開了一道道神秘的謎題，我們發現了 “數” 與 “形” 相互配合的神奇力量。通過函數的圖象，原本抽象的不等式解集變得一目了然；而從不等式的角度，我們又能更深入地理解函數值的變化規律。在這個過程中，大家都積極思考、勇于探索，每一次的討論、每一個問題的解決，都是你們成長的見證。希望大家帶著這份對數學的熱情和探索精神，在未來的數學學習中繼續前行。無論遇到什么難題，都要像今天一樣，嘗試從不同角度去思考，去尋找解決問題的方法。相信你們在數學的海洋里會收獲更多的知識和快樂，創造屬于自己的精彩！
五、教學反思
（一）成功之處
教學方法得當：采用復習引入、實例探究、小組討論和練習鞏固相結合的教學方法，符合學生的認知規律。復習舊知為新知識的學習做好鋪墊，實例探究讓學生直觀地感受一次函數與一元一次不等式的關系，小組討論促進了學生之間的思維碰撞，練習鞏固及時強化了學生對知識的掌握。
突出重點內容：在教學過程中，始終圍繞一次函數與一元一次不等式的關系這一重點內容展開教學。從 “數” 和 “形” 兩個角度進行詳細講解和分析，通過大量實例和練習，讓學生深刻理解了兩者的內在聯系，掌握了利用函數圖象解決不等式問題的方法。
體現學生主體地位：在整個教學過程中，注重發揮學生的主體作用，給予學生充分的思考時間和表達機會。讓學生通過自主探究、小組討論等方式學習新知識，培養了學生的自主學習能力和合作交流能力，符合新課標的教學理念。
（二）不足之處
部分學生理解困難：盡管采用了多種教學方法，但仍有部分學生對一次函數與一元一次不等式關系的本質理解存在困難，特別是從 “形” 的角度理解不等式解集與函數圖象的關系時，這部分學生不能準確把握圖象與軸的位置關系和不等式解集之間的對應關系，在練習中頻繁出錯。
教學時間把控不夠精準：在小組討論環節，學生討論的熱情較高，導致時間超出預期，使得后面的練習環節時間較為緊張。部分學生沒有足夠的時間完成所有練習，對知識的鞏固和應用不夠充分，影響了教學效果。
拓展延伸不足：對于學有余力的學生，課堂內容的拓展延伸不夠。在講解一次函數與一元一次不等式的關系時，僅停留在基礎的應用層面，沒有進一步引導學生思考兩者關系在更復雜數學問題或實際生活中的應用，限制了學生思維的發展和綜合能力的提升。
（三）改進措施
加強個別輔導：關注學習困難的學生，課后對他們進行有針對性的輔導。通過更多的實例和更細致的講解，幫助他們理解一次函數與一元一次不等式的關系，尤其是從 “形” 的角度進行分析的方法，增強他們學習數學的信心。
優化時間管理：在今后的備課過程中，更加精確地預估每個教學環節所需的時間，并根據實際教學情況靈活調整教學節奏。在小組討論環節，提前明確討論時間和要求，確保討論高效進行，為后續的練習和總結留出足夠的時間，保證教學任務的順利完成。
豐富教學內容：在完成基礎教學任務的基礎上，增加教學內容的深度和廣度。設計一些拓展性的問題或探究活動，引導學有余力的學生進一步探索一次函數與一元一次不等式關系在實際生活中的應用，如利用函數圖象分析成本與利潤、行程問題中的不等關系等，培養學生的應用意識和創新能力。
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六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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