資源簡介

第十九章一次函數
19.2.3第一課時《一次函數與一元一次方程》
教學設計
一、教學目標
1.深入理解一次函數（）與一元一次方程（）之間的內在聯系，精準闡述兩者在 “數” 與 “形” 方面的關聯。
2.熟練掌握運用函數圖象和性質求解一元一次方程的方法，能夠準確畫出函數圖象，并依據圖象找到方程的解，且能清晰解釋求解過程的原理。
3.學會根據給定的一元一次方程，構建對應的一次函數模型，將方程問題轉化為函數問題進行分析和解決，提升數學知識的轉化與應用能力。
4.通過對具體一元一次方程和一次函數實例的觀察、比較、分析，引導學生自主探索兩者關系，培養學生從特殊到一般的歸納推理能力。
5.在利用函數圖象求解方程的過程中，讓學生經歷 “數”“形” 結合的思考過程，學會借助圖形直觀理解抽象的數學概念和問題，提高學生數形結合的思維能力。
6.組織學生進行小組合作交流，共同探討從函數角度解釋方程求解的方法，培養學生合作學習、交流表達以及團隊協作的能力。
核心素養目標
1.通過探索一次函數與一元一次方程的關系，讓學生體驗數學知識之間的緊密聯系和內在統一性，感受數學的美妙與神奇，激發學生對數學學習的好奇心和求知欲。
2.在解決問題的過程中，鼓勵學生勇于嘗試、敢于創新，面對困難時不輕易放棄，培養學生堅韌不拔的意志品質和勇于探索的精神。
3.引導學生從不同角度認識事物本質，培養學生的辯證思維和批判性思維，讓學生體會數學在實際生活中的廣泛應用，增強學生學習數學的自信心和應用數學的意識。
二、教學重難點
重點
深刻理解一次函數與一元一次方程在 “數” 和 “形” 兩個層面的關系，即一元一次方程的解是相應一次函數函數值為時自變量的值，從圖象上看，一次函數與軸交點的橫坐標就是對應的一元一次方程的解。
熟練運用函數圖象法求解一元一次方程，掌握通過構建函數模型解決方程問題的方法和步驟，并能靈活運用這一方法解決各種類型的一元一次方程。
難點
深入理解一次函數與一元一次方程關系的本質，尤其是從函數圖象的角度理解方程的解的幾何意義，能夠準確地將函數的 “形” 與方程的 “數” 進行相互轉化和對應。
引導學生從函數的角度對不同形式的一元一次方程進行合理的解釋和分析，培養學生運用函數思想解決方程問題的意識和能力，使學生能夠舉一反三，靈活運用所學知識解決實際問題。
三、教學過程
（一）情境導入 ——“神秘等式的奧秘”
提出問題
看下面兩個問題之間的關系：
(1)解方程2x+20=0
(2)當自變量x為何值時，函數y=2x+20的值為0？
分析：可以從以下三個方面進行思考
1.對于2x+20=0和y=2x+20，從形式上看，有什么不同.
2.從問題本質上看，(1)和(2)有什么關系？
3.若作出函數y=2x+20的圖象，(1)和(2)有什么關系？
◆對于2x+20=0和y=2x+20，從形式上看，有什么不同？
◆從問題本質上看，(1)和(2)有什么關系？
設計意圖：通過創設具體問題情境，引發學生的認知沖突，激發學生的好奇心和探究欲望，為后續探索一次函數與一元一次方程的關系做好鋪墊。
（二）探索發現 ——“數與形的碰撞”
從“數”上看
◆若作出函數y=2x+20的圖象，(1)和(2)有什么關系？
從“形”的角度看：
直線y=2x+20的圖象與 x 軸
的交點坐標為________，這說明
方程2x+20=0的解是______.
一次函數與一元一次方程的關系
設計意圖：通過從 “數” 和 “形” 兩個角度深入探究，讓學生全面、直觀地理解一次函數與一元一次方程的關系，培養學生的觀察能力、分析能力和歸納總結能力，滲透數形結合的數學思想。
（三）深入探究 ——“方程與函數的奇妙之旅”
思考
下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數的角度對解這3個方程進行解釋嗎？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
從“數”的角度看：
解這3個方程相當于在一次函數y=2x+1的函數值分別為3，0，-1時，求自變量x的值.
從“形”的角度看：
在直線y=2x+1上取縱坐標分別為3，0，-1的點，它們的橫坐 標分別為_____________.
設計意圖：通過對多個方程的對比分析，加深學生對一次函數與一元一次方程關系的理解，培養學生的合作交流能力和從函數角度分析問題的能力，提高學生思維的靈活性和深度。
（四）鞏固練習 ——“學以致用大挑戰”
練習
1.已知一次函數y=-2x+2，根據圖象回答：
(1)當y=0時，求x的值；
(2)當y=2時，求x的值.
解：(1)由圖象可知：一次函數y=-2x+2與x軸的交點為(1，0)
∴ 當y=0時，x=1
(2)由圖象可知：一次函數y=-2x+2與y軸的交點為(0，2)
∴ 當y=2時，x=0
2.利用一次函數圖象解方程5x-1=2x+5.
解：原方程變形為3x-6=0，并畫出一次函數y=3x-6的圖象.由圖象可知一次函數y=3x-6與x軸交點為(2，0)因此，方程3x-6=0的解為x=2，即方程5x-1=2x+5的解為x=2.
設計意圖：通過針對性的練習，鞏固學生對利用函數圖象求解一元一次方程方法的掌握，及時反饋學生的學習情況，讓學生在練習中進一步加深對一次函數與一元一次方程關系的理解，提高學生運用所學知識解決問題的能力。
（五）課堂小結 ——“知識大豐收”
引導回顧：引導學生回顧本節課所學內容，包括一次函數與一元一次方程的關系，從 “數” 和 “形” 角度的理解，以及利用函數圖象求解方程的方法等。
提問交流：提問學生在本節課學習過程中的收獲和疑問，鼓勵學生積極發言，分享自己的學習體會。
設計意圖：幫助學生梳理本節課的知識脈絡，強化重點知識，培養學生的反思總結能力和語言表達能力，及時解決學生學習中存在的問題，讓學生在交流中互相學習、共同進步。
四、總結
同學們，今天我們一同開啟了一次函數與一元一次方程關系的探索之旅。在這個充滿挑戰與驚喜的過程中，我們就像探險家一樣，從不同角度去發現它們之間的奧秘。我們看到了 “數” 與 “形” 的完美結合，一次函數的圖象就像一把神奇的鑰匙，幫助我們輕松打開了一元一次方程求解的大門。通過探索，大家不僅學會了新知識，更掌握了一種全新的思考方式。希望大家在今后的數學學習中，繼續保持這份好奇心和探索精神，不斷發現數學世界里更多的寶藏，去解決更多有趣的數學問題，讓數學成為我們生活和學習中最得力的伙伴！
五、教學反思
（一）成功之處
教學方法有效：采用問題引導、小組討論和數形結合的教學方法，有效激發了學生的學習興趣和主動性。以具體問題情境導入，讓學生在思考中自然地進入新知識的探索，提高了學生的參與度。小組討論環節促進了學生之間的思維碰撞，培養了學生的合作交流能力。
知識傳授清晰：在講解一次函數與一元一次方程的關系時，從 “數” 和 “形” 兩個角度進行詳細剖析，結合實例和圖象，讓抽象的數學概念變得直觀易懂。學生對兩者的內在聯系理解較為深刻，能夠較好地掌握利用函數圖象求解一元一次方程的方法，達成了教學目標。
體現學生主體地位：整個教學過程始終以學生為主體，教師為主導。課堂上給予學生充分的思考和表達時間，鼓勵學生自主探索、合作交流，讓學生在主動參與中構建知識體系，符合新課標的教學理念。
（二）不足之處
個體差異關注不足：學生在數學基礎和思維能力上存在差異，但在教學過程中未能充分照顧到每個學生的學習進度。部分基礎薄弱的學生在理解一次函數與一元一次方程關系的本質以及利用函數圖象求解方程時遇到困難，跟不上教學節奏，導致學習積極性受挫。
教學時間把控不夠精準：在探索發現和深入探究環節，學生討論和發言較為熱烈，花費時間超出預期，使得鞏固練習環節時間緊張，部分學生未能得到充分的練習，對知識的掌握不夠扎實，影響了教學效果。
深度拓展不夠：對于學有余力的學生，課堂內容的深度拓展不足。在講解一次函數與一元一次方程關系時，僅停留在基礎層面，沒有進一步引導學生思考兩者關系在更復雜數學問題中的應用，限制了學生思維的進一步提升。
（三）改進措施
加強分層教學：在今后的教學中，關注學生的個體差異，實施分層教學。對于基礎薄弱的學生，提供更多的基礎知識講解和針對性練習，幫助他們夯實基礎；對于學有余力的學生，設計一些拓展性的問題和探究活動，滿足他們的學習需求，促進全體學生共同進步。
優化教學時間管理：在備課過程中，更加精確地預估每個教學環節所需時間，合理安排教學內容。在課堂上，根據學生的學習情況靈活調整教學節奏，確保各個教學環節順利進行，給予學生足夠的練習時間，及時鞏固所學知識。
豐富教學內容深度：增加教學內容的深度和廣度，在完成基礎教學任務的基礎上，引入一些具有挑戰性的問題，引導學生從不同角度思考一次函數與一元一次方程的關系及其應用。鼓勵學生自主探究、查閱資料，培養學生的創新思維和綜合運用知識的能力。
六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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