資源簡介

第十九章一次函數
19.2.2第四課時《一次函數的實際應用》
教學設計
一、教學目標
1.顯著提升學生的識圖能力，使其能夠準確從函數圖象中獲取關鍵信息。
2.熟練掌握利用函數圖象解決各類簡單實際問題的方法，包括建立函數模型、分析函數性質并得出實際問題的解決方案。
3.深度培養學生的數形結合意識，讓學生能夠自如地將實際問題轉化為函數圖象，再從圖象中獲取信息解決實際問題，提高學生的數學思維能力。
4.通過運用函數圖象解決實際問題的過程，大力發展學生的數學應用能力，使其學會運用數學知識和方法解決實際生活中的問題，增強學生的實踐操作能力。
核心素養目標
1.讓學生深切體會數學與人類生活的緊密聯系以及數學對人類歷史發展的重要作用，從而極大地激發學生學習數學的興趣，使學生積極主動地參與到數學活動中。
2.培養學生勇于探索、敢于創新的精神，在解決實際問題的過程中，讓學生獲得成功的體驗，增強學生的自信心和成就感。
二、教學重點、難點
重點
精準根據實際問題及相關條件，找出能夠準確反映實際問題的函數關系，建立合適的函數模型。
熟練運用一次函數的知識和方法，解決各種簡單的實際問題。
難點
能夠敏銳地將復雜的實際問題巧妙轉化為一次函數問題，準確分析問題中的數量關系，建立函數模型。
靈活運用一次函數的圖象和性質，深入分析和解決實際問題，提高學生的綜合應用能力。
三、教學過程
（一）“函數之門：舊知啟新航”
提出問題
下圖所表示的函數是正比例函數嗎？是一次函數嗎？你是怎樣認為的？
設計意圖：通過問題導入，喚起學生對舊知識的記憶，為新知識的學習做好鋪墊，同時激發學生的學習興趣和好奇心。
（二）“種子謎題：建模探真知”
例5“黃金1號”玉米種子的價格為5元/kg，如果一次購買2kg以上的種子.超過2kg部分的種子價格打8折.
(1)填寫下表
(2)寫出付款金額關于購買量的函數解析式，并畫出函數圖象.
分析：付款金額與種子價格相關.問題中種子價格不是固定不變的，它與購買量有關.設購買x kg種子，當0≤x≤2時，種子價格為5元/kg；當x＞2時，其中有2kg種子價格按5元/kg計價，其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)種子按4元/kg(即8折)計價.因此，寫函數解析式與畫函數圖象時，應對0≤x≤2和x＞2分段計論.
解：(2)設購買量為x千克，付款金額為y元.
當0≤x≤2時，y=5x
當x＞2時，y=4(x-2)+10=4x+2
思考
你能由上面的函數解析式解決以下問題嗎？由函數圖象也能解決這些問題嗎？
(1)一次購買1.5kg種子，需付款____元；
(2)一次購買3kg種子，需付款____元.
稱此類函數為分段函數
設計意圖：通過具體的實際問題，引導學生分析問題中的數量關系，建立分段函數模型，培養學生的數學建模能力和邏輯思維能力。同時，讓學生思考如何利用函數解析式和圖象解決問題，加深學生對函數的理解和應用。
（三）“實戰演練：應用展身手”
練一練
1.某景區集體門票的收費標準是：20人以內(含20人)每人25元，超過20人的部分每人15元.
(1)寫出應收門票y(元)與游覽人數x(不超過20人)之間的函數關系式：_________；
(2)寫出應收門票y(元)與游覽人數x(超過20人)之間的函數關系式：________________.
2.為緩解用電緊張，某電力公司特制定了新的用電收費標準，每月用電量x(度)與應付電費y(元)的關系如圖所示.請問答：
(1)當每月用電量不超過50度時，用電價格是____元/度；
(2)當每月用電量超過50度時，超出部分的用電價格是____元/度.
設計意圖：通過課堂練習，讓學生鞏固所學的知識和技能，提高學生運用一次函數解決實際問題的能力，同時檢驗學生對本節課內容的掌握情況。
（四）“圖象解碼：難題巧突破”
解決問題
下圖所表示的函數是分段函數嗎？你能寫出它的解析式嗎？
練習
2.一個試驗室在0:00－2:00保持20℃的恒溫，在2:00－4:00勻速升溫，每小時升高5℃.寫出試驗室溫度T(單位:℃)關于時間t(單位:h)的函數解析式，并畫出函數圖象.
解：
設計意圖：通過解決新的問題，進一步培養學生的識圖能力和分析問題、解決問題的能力，讓學生在實踐中不斷提高自己的數學素養。
（五）“課堂回眸：收獲共分享”
本節課你有哪些收獲？
引導學生從一次函數的應用、分段函數的概念、數形結合的思想方法等方面進行總結。
還有沒解決的問題嗎？
鼓勵學生提出疑問，共同探討解決。
設計意圖：通過課堂小結，幫助學生梳理本節課所學的知識，形成知識體系，同時培養學生的反思總結能力和問題意識。
四、總結
同學們，今天我們深入學習了一次函數在實際問題中的應用。通過 “黃金 1 號” 玉米種子購買、景區門票收費、用電收費以及試驗室溫度變化等實際例子，我們學會了如何分析問題中的數量關系，建立一次函數或分段函數模型來解決問題。我們知道了在實際生活中，很多問題的函數關系并非一成不變，可能會根據不同的條件進行分段，這就需要我們準確地找出分段點，分別確定各段的函數表達式。同時，我們也體會到了數形結合思想的重要性，函數圖象能夠直觀地幫助我們理解函數的性質和解決問題。希望大家在今后的學習和生活中，能夠靈活運用一次函數的知識和方法，去解決更多的實際問題，不斷提高自己運用數學知識解決實際問題的能力。
五、教學反思
（一）成功之處
問題導入有效：通過展示函數圖象并提出問題，成功喚起學生對舊知識的記憶，激發了學生的學習興趣和好奇心，為新知識的學習做好了鋪墊。
例題講解清晰：在講解例 5 時，詳細分析了問題中的數量關系，引導學生逐步建立分段函數模型，讓學生清晰地理解了分段函數的概念和應用。同時，通過思考問題，讓學生學會了如何利用函數解析式和圖象解決實際問題，培養了學生的數學思維能力。
課堂練習針對性強：課堂練習的設計緊密圍繞本節課的教學目標和重點難點，具有較強的針對性和層次性，能夠幫助學生鞏固所學的知識和技能，提高學生運用一次函數解決實際問題的能力。
（二）不足之處
學生參與度有待提高：在課堂教學中，雖然有提問和小組討論環節，但仍有部分學生參與度不高，可能是因為問題的難度設置不太合適或者教學方法不夠吸引他們。
對學生的引導還需加強：在解決問題的過程中，部分學生對問題的分析和理解存在困難，教師在引導學生思考和解決問題方面還需進一步加強，幫助學生提高分析問題和解決問題的能力。
時間把控不夠精準：在課堂練習環節，由于部分學生做題速度較慢，導致后面解決問題和課堂小結的時間有些緊張，沒有充分展開討論和總結。
（三）改進措施
關注全體學生：設計更具層次性的問題，滿足不同層次學生的學習需求，鼓勵更多學生參與到課堂教學中來。同時，加強對學習困難學生的指導和幫助，提高他們的學習積極性和自信心。
加強引導和啟發：在教學過程中，注重引導學生思考和分析問題，啟發學生的思維，培養學生的自主學習能力。當學生遇到困難時，教師要及時給予提示和引導，幫助學生克服困難。
合理安排時間：在今后的教學中，要更加合理地安排教學時間，給學生留出足夠的時間進行思考、討論和練習，同時要注意把握教學進度，確保教學任務能夠按時完成。
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六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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