資源簡介

第十九章一次函數(shù)
19.2.1第一課時《正比例函數(shù)》
教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)目標
1.深入理解正比例函數(shù)的概念，能夠準確闡述正比例函數(shù)的定義和特征。
熟練掌握正比例函數(shù)的解析式形式。
2.能夠根據(jù)給定的條件，熟練且準確地求出正比例函數(shù)的解析式。
3.能夠準確判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)，提高對函數(shù)類型的識別能力。
4.親身經(jīng)歷用函數(shù)解析式表示實際問題中函數(shù)關(guān)系的完整過程，進一步增強符號意識，學(xué)會用數(shù)學(xué)符號準確地表達實際問題中的數(shù)量關(guān)系。
5.積極參與從一類具體實例中抽象出正比例函數(shù)概念的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象概括能力，學(xué)會從具體現(xiàn)象中歸納出一般規(guī)律。
6.通過對正比例函數(shù)概念的探究和應(yīng)用，提高分析問題和解決問題的能力，體會數(shù)學(xué)建模的思想方法。
7.在小組合作學(xué)習(xí)和討論中，學(xué)會與他人交流和合作，提高團隊協(xié)作能力和表達能力。
核心素養(yǎng)目標
1.通過列舉豐富的具體實例來引進正比例函數(shù)的概念，深切感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)源于生活且服務(wù)于生活，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
2.在自主探究和小組合作的過程中，獲得成功的體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，培養(yǎng)勇于探索和創(chuàng)新的精神。
3.培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維和科學(xué)態(tài)度，在判斷函數(shù)是否為正比例函數(shù)以及求解解析式的過程中，養(yǎng)成認真、細致、準確的良好習(xí)慣。
二、教學(xué)重點、難點
重點
正確、深入地理解正比例函數(shù)的概念，把握其本質(zhì)特征。
能夠根據(jù)正比例函數(shù)的概念，準確判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)。
難點
根據(jù)已知條件，合理、準確地寫出正比例函數(shù)的解析式，理解解析式中 的確定方法。
從實際問題中抽象出正比例函數(shù)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，提高運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。
三、教學(xué)過程
（一）情境導(dǎo)入 ——“生活實例引思考”
問題1 2011年開始運營的京滬高速鐵路全長1318km.設(shè)列車的平均速度為300km/h.考慮以下問題：
(1)乘京滬高鐵列車，從始發(fā)站北京南站到終點站上海虹橋站，約需多少小時(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)？
(2)京滬高鐵列車的行程 y(單位：km)與運行時間 t(單位：h)之間有何數(shù)量關(guān)系？
(3)京滬高鐵列車從北京南站出發(fā)2.5h后，是否已 經(jīng)過了距離始發(fā)站1100km的南京南站？
解：(1)京滬高鐵列車全程運行時間約需1318÷300≈4.4(h)
(2)京滬高鐵列車的行程 y是運行時間 t 的函數(shù)，函數(shù)解析式為：y=300t (0≤t≤4.4)
(3)京滬高鐵列車從北京南站出發(fā)2.5h的行程，是當 t =2.5時函數(shù) y=300t 的值，即
y=300×2.5=750(km)這時列車尚未到達距始發(fā)站1100km的南京南站.
設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的京滬高鐵為背景，提出實際問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時為引出正比例函數(shù)的概念做鋪墊。
（二）思考探究 ——“函數(shù)特征細分析”
思考1
y=300t 中自變量與常量用什么運算符號連接起來？
思考2
下列問題中，變量之間的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請寫出函數(shù)解析式.
(1)圓的周長 l 隨半徑 r 的變化而變化；________.
(2)鐵的密度為7.8g/cm3，鐵塊的質(zhì)量 m(單位:g)隨它的體積 V(單位:cm3)變化而變化；________.
(3)每本練習(xí)本的厚度為0.5cm，一些練習(xí)本摞在一起的總厚度 h(單位:cm)隨這些練習(xí)本的本數(shù) n 的變化而變化；________.
(4)冷凍一個0℃的物體，使它每分下降2℃，物體的溫度 T(單位:℃)隨冷凍時間 t(單位:min)的變化而變化.________.
設(shè)計意圖：通過思考問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)解析式的形式，為抽象出正比例函數(shù)的概念做準備，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和分析能力。
（三）概念形成 ——“歸納總結(jié)得定義”
正比例函數(shù)
認真觀察以上出現(xiàn)的四個函數(shù)有什么共同特點？
(1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t
正如函數(shù) y=300t 一樣，上面這些函數(shù)都是常數(shù)與自變量的積的形式.
一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).
注：(1)k是常數(shù)，且k≠0；(2)自變量x的次數(shù)是1；(3)自變量x的取值范圍是一切實數(shù)；(4)y=kx，則稱y與x成正比例；反之，若y與x成正比例，則可設(shè)y=kx.
設(shè)計意圖：通過對多個具體函數(shù)的觀察和分析，引導(dǎo)學(xué)生歸納出正比例函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認知過程。
（四）例題講解 ——“概念應(yīng)用明方法”
例1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函數(shù)？
(1) y=-0.1x (2) y= (3) y=2x2 (4) y2=4x
解：(1)，(2)是正比例函數(shù).
例2.列式表示下列問題中的y與x的函數(shù)關(guān)系，并指出哪些是正比例函數(shù).
(1)正方形的邊長為x cm，周長為y cm；
(2)某人一年內(nèi)的月平均收入為x元，他這年(12個月)的總收入為y元；
(3)一個長方體的長為2cm，寬為1.5cm，高為x cm，體積為y cm3.
解：(1)y=4x，是正比例函數(shù)；(2)y=12x，是正比例函數(shù)；(3)y=3x，是正比例函數(shù).
設(shè)計意圖：通過例題，讓學(xué)生運用正比例函數(shù)的概念進行判斷和列式，加深對概念的理解和掌握，提高學(xué)生運用知識解決問題的能力。
（五）課堂練習(xí) ——“鞏固提升強能力”
下列函數(shù)中，哪些是正比例函數(shù)？
1.(1)y=2x
(2)y=
(3)y=-3x
(4)y=-
2.某汽車以 60km/h 的速度勻速行駛，行駛路程s（km）與行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？它是正比例函數(shù)嗎？
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)，及時鞏固學(xué)生所學(xué)的正比例函數(shù)的概念和求解析式的方法，反饋學(xué)生對知識的掌握情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并及時進行糾正和指導(dǎo)。
（六）課堂小結(jié) ——“知識梳理促內(nèi)化”
本節(jié)課你有哪些收獲？
引導(dǎo)學(xué)生從正比例函數(shù)的概念、判斷方法、求解析式的方法以及與生活的聯(lián)系等方面進行總結(jié)。
還有沒解決的問題嗎？
鼓勵學(xué)生提出疑問，共同探討解決。
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進行全面總結(jié)，梳理知識體系，強化重點知識，同時培養(yǎng)學(xué)生的反思總結(jié)能力和問題意識。
四、總結(jié)
同學(xué)們，在今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們一起認識了正比例函數(shù)這個新朋友。我們從生活中的京滬高鐵、圓的周長、鐵塊的質(zhì)量等實例出發(fā)，通過觀察、分析和歸納，得出了正比例函數(shù)的概念。我們知道了形如 （ 是常數(shù)，）的函數(shù)就是正比例函數(shù)，也學(xué)會了如何判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)，以及如何根據(jù)條件求出正比例函數(shù)的解析式。正比例函數(shù)就像一把鑰匙，幫助我們打開了用數(shù)學(xué)描述生活中許多數(shù)量關(guān)系的大門。希望大家在今后的學(xué)習(xí)和生活中，能夠運用正比例函數(shù)的知識，更好地理解和解決各種實際問題，繼續(xù)探索數(shù)學(xué)的奧秘，感受數(shù)學(xué)的魅力。
五、教學(xué)反思
（一）成功之處
情境導(dǎo)入生動有效：以京滬高鐵的實際問題作為情境導(dǎo)入，貼近學(xué)生的生活實際，能夠迅速吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的概念奠定了良好的基礎(chǔ)。
概念形成過程清晰：通過多個具體實例引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和歸納，逐步抽象出正比例函數(shù)的概念，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了知識的形成過程，有助于學(xué)生理解和掌握概念，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力。
例題和練習(xí)設(shè)計合理：例題和練習(xí)的選擇具有針對性和層次性，能夠幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的正比例函數(shù)的概念和求解析式的方法，及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，便于教師調(diào)整教學(xué)策略。
（二）不足之處
學(xué)生主體地位體現(xiàn)不夠充分：在教學(xué)過程中，雖然有提問和討論環(huán)節(jié)，但部分學(xué)生參與度不高，教師主導(dǎo)作用發(fā)揮較多，學(xué)生的主體地位沒有得到充分體現(xiàn)。
對概念的深入理解引導(dǎo)不足：在講解正比例函數(shù)的概念時，對于 的取值范圍和意義、自變量 的次數(shù)等關(guān)鍵要素，引導(dǎo)學(xué)生深入理解的程度不夠，學(xué)生可能只是機械地記憶概念，而沒有真正理解其本質(zhì)。
小組合作學(xué)習(xí)效果不佳：在小組討論環(huán)節(jié)，部分小組討論不夠深入，存在個別學(xué)生主導(dǎo)討論，其他學(xué)生參與度低的情況，小組合作學(xué)習(xí)的效果沒有充分發(fā)揮。
（三）改進措施
強化學(xué)生主體地位：設(shè)計更多讓學(xué)生自主探究和展示的活動，如讓學(xué)生自己舉例說明正比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。
加強對概念的深入引導(dǎo)：在講解概念時，通過更多的實例和對比，引導(dǎo)學(xué)生深入理解X的取值范圍和意義、自變量X的次數(shù)等關(guān)鍵要素，幫助學(xué)生真正掌握正比例函數(shù)的本質(zhì)。
優(yōu)化小組合作學(xué)習(xí)：加強對小組合作學(xué)習(xí)的指導(dǎo)，明確小組分工，鼓勵每個學(xué)生積極參與討論，提高小組合作學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量。
六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優(yōu)秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學(xué)生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創(chuàng)新性表現(xiàn)如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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