資源簡介

第十九章一次函數
19.1.2第二課時《函數的表示方法》
教學設計
一、教學目標
1.深入理解函數的三種表示方法 —— 解析法、列表法和圖象法，能夠準確闡述每種方法的定義和特點。
2.清晰了解三種表示方法的優缺點，能夠根據不同的具體情況，靈活且準確地選擇適當的函數表示方法來解決問題。
3.熟練掌握函數不同表示方法之間的相互轉化，能夠根據一種表示方法推導出其他表示方法，并理解其內在聯系。
4.能夠運用函數的表示方法解決實際問題，如根據實際情境建立函數模型，通過函數表示方法分析和預測問題的結果。
5.親身經歷將實際問題逐步轉化為數學問題的完整過程，學會從實際情境中抽象出函數關系，提高數學建模能力。
6.積極參與小組討論和合作學習，學會與他人進行有效的溝通和協作，能夠清晰地表達自己的思維過程和結果，同時傾聽他人的意見和建議，培養團隊合作精神和交流能力。
7.通過對函數不同表示方法的比較和分析，培養邏輯思維能力和歸納總結能力，學會運用類比、歸納、推理等數學方法解決問題。
8.在解決實際問題的過程中，提高分析問題和解決問題的能力，學會運用函數的觀點觀察和思考問題，增強運用數學知識解決實際問題的意識。
核心素養目標
1.初步深刻認識數學與實際生活的緊密聯系，體會數學在描述自然現象和社會現象中的重要作用，發展應用意識，增強對數學的興趣和學習積極性。
2.在解決問題的過程中，獲得成功的體驗，培養自信心和勇于探索的精神，面對困難和挑戰時，能夠保持積極樂觀的態度，堅持不懈地努力解決問題。
3.通過對函數表示方法的學習，感受數學的簡潔美和嚴謹美，培養對數學的審美情趣，提高數學素養。
4.培養學生的創新意識和實踐能力，鼓勵學生在學習過程中提出獨特的見解和方法，嘗試用不同的方式解決問題。
二、教學重點、難點
重點
透徹認清函數的不同表示方法，深入理解各自的優缺點，能夠準確區分和描述。
能夠根據具體問題的特點和需求，合理選用適當的函數表示方法來解決問題，提高解決實際問題的能力。
難點
通過對函數圖象的細致分析，全面準確地解決實際問題，理解圖象所反映的函數性質和實際意義。
在復雜的實際情境中，能夠靈活運用函數的三種表示方法進行相互轉化，建立合適的函數模型，準確分析和解決問題。
三、教學過程
（一）知識回顧 ——“舊知鋪墊引新學”
憶一憶
通過前面的學習，我們都可以用什么方法表示一些函數？
寫出函數解析式，或者列表格，或者畫函數圖象，都可以表示具體的函數.這三種表示函數的方法，分別稱為解析法、列表法和圖象法.
y=2x-1
設計意圖：通過回顧上節課所學內容，鞏固函數的三種表示方法，為后續深入學習其優缺點及應用做鋪墊，讓學生建立知識之間的聯系。
（二）思考探究 ——“方法優劣細剖析”
思考
三種表示函數的方法各有什么優缺點？它們之間有什么聯系？
解析法：優點是準確地反映了函數中自變量和函數值之間的數量關系，便于進行理論分析和計算；缺點是不夠直觀，對于一些復雜的函數解析式，理解起來有一定難度。
列表法：優點是可以直接看出自變量和函數值的對應關系，數據清晰明了；缺點是只能列出有限個自變量的值及其對應的函數值，不能全面反映函數的變化情況。
圖象法：優點是非常直觀，能夠清晰地展示函數的變化趨勢和性質，如上升、下降、最大值、最小值等；缺點是從圖象中讀取的數據可能不夠精確，對于一些復雜的圖象，分析其具體性質有一定難度。
三種表示方法之間可以相互轉化，解析法可以通過列表取值，然后根據這些值畫出圖象；列表法中的數據可以通過分析找出規律，用解析法表示；圖象上的點可以對應列表中的數據，也可以通過分析圖象的特征得到函數的解析式。
設計意圖：通過引導學生思考和討論，讓學生自主探究函數三種表示方法的優缺點及聯系，培養學生的邏輯思維能力和歸納總結能力，為后續根據具體情況選擇合適的表示方法奠定基礎。
（三）例題講解 ——“方法應用展身手”
例4 一個水庫的水位在最近5h內持續上漲，下表記錄了這5h內6個時間點的水位高度，其中 t 表示時間，y 表示水位高度.
(1)在平面直角坐標系中描出表中數據對應的點，這些點是否在一條直線上？由此你能發現水位變化有什么規律嗎？
(2)水位高度 y 是否為時間 t 的函數？如果是，試寫出一個符合表中數據的函數解析式，并畫出這個函數的圖象.這個函數能表示水位的變化規律嗎？
(3)據估計這種上漲規律還會持續2h，預測再過2h水位高度將為多少米.
解：(1)如圖，描出上表中數據對應的點.可以看出，這6個點在一條直線上.再結合表中數據，可以發現每小時水位上升0.3m.由此猜想，如果畫出這5h內其他時刻(如t =2.5h等)及其水位高度所對應的點，它們可能也在這條直線上，即在這個時間段中水位可能是始終以同一速度勻速上升的.
(2)由于水位在最近5h內持續上漲，對于時間 t 的每一個確定的值，水位高度 y 都有唯一的值與其對應，所以 y 是 t 的函數.開始時水位高度為3m，以后每小時水位上升0.3m.函數y=0.3t+3 (0≤t≤5)是符合表中數據的一個函數，它表示經過 t h水位上升0.3t m，即水位y為(0.3t+3)m，其圖象是右圖中點A(0，3)和點B(5，4.5)之間的線段AB. 如果在這5h內，水位一直勻速上升，即升速為0.3m/h，那么函數y=0.3t+3 (0≤t≤5)就精確地表示了這種變化規律.即使在這5h內，水位的升速有些變化，而由于每小時水位上升0.3是確定的，因此這個函數可以近似地表示水位的變化規律.
(3)如果水位的變化規律不變，則可利用函數 y=0.3t +3 預測，再過2h，即 t =5+2=7(h)
時，水位高度 y =0.3×7+3=5.1(m).或把右圖中的函數圖象(線段AB)向右延伸到 t =7所對應的位置，也能看出這時的水位高度約為5.1m.
由例4可以看出，函數的不同表示法之間可以轉化.
設計意圖：通過具體的實際問題，讓學生綜合運用函數的三種表示方法進行分析和解決問題，體會不同表示方法的優缺點及相互轉化，提高學生運用函數知識解決實際問題的能力。
（四）課堂練習 ——“知識鞏固促提升”
練習
1.用列表法與解析式法表示n邊形的內角和m(單位：度)關于邊數n的函數.
解：列表為：
解析式為：m=180(n-2) (n≥3的整數)
2.用解析式法與圖象法表示等邊三角形的周長 l 關于邊長 a 的函數.
解：解析式為：l = 3a (a＞0)
圖象：如右圖所示.
3.一條小船沿直線向碼頭勻速前進.在0min，2min，4min，
6min時，測得小船與碼頭的距離分別為200m，150m，100m，
50m.小船與碼頭的距離 s 是時間 t 的函數嗎？如果是，寫
出函數解析式，并畫出函數圖象.如果船速不變，多長時間
后小船到達碼頭？
解：小船與碼頭的距離 s 是時間 t 的函數，函數解析式為：
s =200-25 t (0≤t≤8)
其圖象是下圖中點A(0，200)和點B(8，0)之間的線段AB.
如果船速不變，當s =0時，200-25 t =0，解得 t =8，即
經過8min后小船到達碼頭.
設計意圖：通過課堂練習，及時鞏固學生所學的函數三種表示方法的應用及相互轉化，反饋學生對知識的掌握情況，發現學生存在的問題并及時進行糾正和指導。
（五）課堂小結 ——“知識梳理再升華”
本節課你有哪些收獲？
引導學生從函數的三種表示方法、優缺點、相互轉化以及如何根據具體情況選擇合適的表示方法等方面進行總結。
還有沒解決的問題嗎？
鼓勵學生提出疑問，共同探討解決。
設計意圖：引導學生對本節課所學內容進行全面總結，梳理知識體系，強化重點知識，同時培養學生的反思總結能力和問題意識。
四、總結
同學們，在今天的數學學習中，我們深入探究了函數的三種表示方法 —— 解析法、列表法和圖象法。我們了解了它們各自的優缺點，就像擁有了三把不同的鑰匙，在面對不同的問題時，能夠選擇最合適的那把去打開解決問題的大門。我們看到了這三種方法之間的緊密聯系，它們可以相互轉化，就像一個有機的整體，共同為我們描述和理解函數服務。通過實際問題的解決，我們體會到了函數在生活中的廣泛應用，也感受到了數學的強大力量。希望大家在今后的學習和生活中，能夠熟練運用這些方法，用函數的眼光去觀察世界，用數學的思維去解決問題，不斷探索數學的奧秘，發現更多的數學之美。
五、教學反思
（一）成功之處
問題引導有效：通過設置思考問題，引導學生自主探究函數三種表示方法的優缺點及聯系，激發了學生的學習興趣和主動性，培養了學生的思維能力。
例題講解清晰：例 4 的講解詳細，從圖象分析到函數解析式的推導，再到預測問題的解決，讓學生全面了解了函數三種表示方法的綜合應用及相互轉化，有助于學生掌握重點知識。
練習鞏固及時：課堂練習的設計針對性強，涵蓋了不同類型的問題，能夠及時鞏固學生所學知識，反饋學生的學習情況，便于及時調整教學策略。
（二）不足之處
學生主體地位體現不足：在教學過程中，雖然有提問和討論環節，但部分學生參與度不高，教師主導作用發揮較多，學生的主體地位沒有得到充分體現。
實際問題情境的復雜性考慮不夠：在選擇例題和練習時，實際問題情境相對簡單，對于一些復雜的實際問題，學生可能在運用函數表示方法解決問題時會遇到困難。
小組合作效果不佳：在小組討論環節，部分小組討論不夠深入，存在個別學生主導討論，其他學生參與度低的情況，小組合作學習的效果沒有充分發揮。
（三）改進措施
強化學生主體地位：設計更多讓學生自主探究和展示的活動，如讓學生自己設計實際問題并選擇合適的函數表示方法解決，充分發揮學生的主觀能動性。
增加復雜實際問題的訓練：選擇一些更具挑戰性的實際問題，讓學生在解決問題的過程中提高運用函數知識的能力，培養學生的創新思維和實踐能力。
優化小組合作學習：加強對小組合作學習的指導，明確小組分工，鼓勵每個學生積極參與討論，提高小組合作學習的效率和質量。
六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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