資源簡介

第十九章一次函數
19.1.2第一課時《函數的圖像》
教學設計
一、教學目標
1.熟練掌握用列表、描點、連線的方法準確畫出函數圖象。
2.顯著提高識圖能力以及全面分析函數圖象信息的能力。
3.學會細致觀察、深入分析函數圖象信息，深刻體會數形結合思想，并能夠靈活運用該思想解決實際問題，有效提升解決問題的能力。
4.通過自主探究、合作交流等活動，培養學生的邏輯思維能力和創新精神。
核心素養目標
1.學生在充分經歷自學、探究、交流、當堂練習等豐富活動中，獲得滿滿的成功體驗，充分調動主動學習的積極性，深切感受數學學習的無窮樂趣。
2.培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神，增強學生學習數學的自信心。
二、教學重點、難點
重點
熟練掌握函數圖象的規范畫法。
能夠準確、全面地觀察分析圖象信息。
難點
能夠緊密結合實際情境，精準從函數圖象中獲取關鍵信息并進行有效處理，進而解決實際問題。
三、教學過程
（一）情境導入 ——“生活情境引探究”
創設情境
你坐過摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？
下圖反應旋轉時間t(分)與摩天輪上一點的高度h(米)之間的關系.
設計意圖：以學生熟悉的摩天輪情境引入，能迅速吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，讓學生直觀感受函數關系可以用圖來表示，為后續學習函數圖象做好鋪墊。
（二）知識講解 ——“函數圖象初相識”
即使對于能列式表示的函數關系，如果也能畫圖表示，那么會使函數關系更直觀.
例如，正方形的面積S與邊長x的函數解析式為S=x2.根據問題的實際意義，可知自變量x的取值范圍是x＞0.我們還可以利用在坐標系中畫圖的方法來表示S與x的關系.
計算并填寫下表：
自變量x的一個確定的值與它所對應的唯一的函數值S，是否確定
了一個點(x，S)呢？
在直角從標系中，畫出上面表格中各對數值所對應的點，然后連
接這些點. 所得曲線上每一個點代表x的值與S的值的一種對應，例
如點(2，4)表示當x=2時，S=4.
表示x與S的對應關系的點有無數個.但是實際上我們只能描出其
中有限個點，同時想象出其他點的位置.
一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象. 如左圖的曲線即函數S=x2 (x＞0)的圖象.
設計意圖：通過具體的正方形面積與邊長的函數關系，詳細展示如何列表、描點、連線來繪制函數圖象，讓學生直觀地理解函數圖象的形成過程，進而引出函數圖象的概念，降低學生對抽象概念的理解難度。
思考
下圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫 T 如何隨時間 t 的變化而變化.你從圖象中得到了哪些信息？
可以認為，氣溫 T 是時間 t 的函數，
上圖是這個函數的圖象.
設計意圖：讓學生通過觀察實際的氣溫變化圖象，嘗試從圖象中獲取信息，培養學生的觀察能力和分析問題的能力，同時讓學生進一步體會函數圖象可以直觀地反映函數關系。
（四）例題剖析 ——“圖象應用深理解”
例2 如圖(1)所示，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上.小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家.圖(2)反映了這個過程中，小明離家的距離 y 與時間 x 之間的對應關系.
根據圖象回答下列問題：
(1)食堂離小明家多遠？小明從家到食堂用了多少時間？
(2)小明吃早餐用了多少時間？
(3)食堂離圖書館多遠？小明從食堂到圖書館用了多少時間？
(4)小明讀報用了多少時間？
(5)圖書館離小明家多遠？小明從圖書館回家的平均速度是多少？
解：(1)由縱坐標看出，食堂離小明家0.6km；由橫坐標看出，小明到食堂用了8min.
(2)由橫坐標看出，25-8=17，小明吃早餐用了17min.
(3)由縱坐標看出，0.8-0.6=0.2，食堂離圖書館0.2km；由橫坐標看出，28-25=3，小明從食堂到圖書館用了3min.
(4)由橫坐標看出，58-28=30，小明讀報用了30min.
(5)由縱坐標看出，圖書館離小明家0.8km；由橫坐標看出，68-58=10，小明從圖書館回家用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min.
例3 在下列式子中，對于x的每一個確定的值，y有唯一的對應值，即y是x的函數.畫出這些函數的圖象：
(1) y=x+0.5
(1)解：Ⅰ.列表：
Ⅱ.描點：以表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內描出相應的點.
Ⅲ.連線：把這些點用平滑曲線連接起來，就得到y=x+0.5的圖象，它是一條直線.
從函數圖象可以看出，直線從左向右上升，即當x由小變大時，y=x+0.5隨之增大.
(2) y=(x＞0)
解：Ⅰ.列表：
Ⅱ.描點：以表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內描出相應的點.
Ⅲ.連線：把這些點用平滑曲線連接起來，就得到y=(x＞0)的圖象，它是一條曲線.
從函數圖象可以看出，曲線從左向右下降，即當x由小變大時，y=(x＞0)隨之減小.
設計意圖：通過例 2 讓學生學會從實際情境的函數圖象中獲取具體信息并解決相關問題，提高學生運用圖象分析實際問題的能力；例 3 則詳細展示了用描點法畫不同類型函數圖象的過程，讓學生掌握畫函數圖象的步驟，同時觀察函數圖象的變化趨勢，為后續學習函數的性質做鋪墊。
（五）歸納總結 ——“畫圖步驟巧梳理”
歸納
描點法畫函數圖象的一般步驟如下：
第一步：列表——表中給出一些自變量的值及其對應的函數值；
第二步：描點——在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點；
第三步：連線——按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來.
設計意圖：對用描點法畫函數圖象的步驟進行系統總結，幫助學生梳理知識，形成完整的知識體系，便于學生記憶和應用。
（六）課堂練習 ——“知識鞏固促提升”
練習
1.(1)畫出函數y=2x-1的圖象；
(2)判斷A(-2.5，-4)，B(1，3)，C(2.5，4)是否在函數y=2x-1的圖象上.
解：(1)函數y=2x-1的圖象如右圖所示.
(2)∵ 2×(-2.5)-1≠-4
2×1-1≠3
2×2.5-1＝4
∴ 點A，B不在函數y=2x-1的圖象上，
點C在函數y=2x-1的圖象上.
2.如圖是某一天北京與上海的氣溫隨時間變化的圖象.
(1)這一天內，上海與北京何時氣溫相同？
(2)這一天內，上海在哪段時間比北京氣溫高？在哪段時間比北京氣溫低？
3.(1)畫出函數y=x2的圖象.
(2)從圖象中觀察，當x＜0時，y隨x的增大而增大，還是y隨x的增大而減小？當x＞0時呢？
解：(1)畫函數y=x2的圖象.(列表、描點、連線)
Ⅰ.列表
Ⅱ.在直角坐標系中描點.
Ⅲ.用平滑的曲線連接各點，便得到函數y=x2的圖象.
(2)當x＜0時，y隨著x的增大而減小；當x＞0時，
y隨著x的增大而增大.
設計意圖：通過課堂練習，及時鞏固學生所學的函數圖象的畫法、判斷點是否在函數圖象上以及從圖象中獲取信息等知識，反饋學生對知識的掌握情況，發現學生存在的問題并及時進行糾正和指導。
（七）課堂小結 ——“知識回顧再深化”
本節課你有哪些收獲？
還有沒解決的問題嗎？
設計意圖：引導學生對本節課所學內容進行全面總結，梳理知識體系，強化重點知識，同時鼓勵學生提出疑問，培養學生的反思總結能力和問題意識。
四、總結
同學們，在今天的數學學習中，我們一同揭開了函數圖象的神秘面紗。從生活中常見的摩天輪、氣溫變化，到小明的行程問題，我們看到了函數圖象在描述實際問題中的強大作用。我們學會了用列表、描點、連線的方法繪制函數圖象，這是打開函數圖象世界的一把鑰匙。通過觀察函數圖象，我們能夠獲取各種信息，了解函數的變化趨勢，就像讀懂了一本用圖形寫成的書。函數圖象就像是一座橋梁，將抽象的函數關系直觀地展現在我們面前，讓我們更加深入地理解函數的本質。希望大家在今后的學習中，能夠繼續運用所學知識，探索更多函數圖象的奧秘，感受數學的無窮魅力。
五、教學反思
（一）成功之處
1.情境導入生動有效：以摩天輪的情境引入，貼近學生的生活實際，能夠迅速吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，為后續教學活動的開展奠定了良好的基礎。
2.教學過程循序漸進：從函數圖象的概念引入，到具體例子的分析，再到描點法畫函數圖象步驟的總結和練習鞏固，教學過程層層遞進，符合學生的認知規律，有助于學生逐步掌握函數圖象的相關知識和技能。
3.注重知識的形成過程：在講解函數圖象的概念和畫法時，通過具體的例子詳細展示了列表、描點、連線的過程，讓學生親身經歷函數圖象的形成過程，有助于學生理解和掌握知識，培養學生的動手能力和探究精神。
（二）不足之處
1.學生參與度有待提高：在課堂教學中，雖然有提問和互動環節，但部分學生參與度不高，可能是因為問題的難度設置不太合適或者互動方式不夠多樣化。
2.對圖象信息的挖掘深度不夠：在引導學生從圖象中獲取信息時，雖然學生能夠得出一些基本信息，但對于一些深層次的信息挖掘不夠，例如函數圖象的變化趨勢與實際問題的聯系等。
3.時間把控不夠精準：在講解例題和練習時，花費的時間較多，導致課堂小結部分有些倉促，學生沒有足夠的時間充分總結和交流。
（三）改進措施
1.優化互動方式：設計更加多樣化的互動方式，如小組討論、合作探究等，根據學生的實際情況合理設置問題難度，鼓勵更多學生積極參與課堂活動。
加強對圖象信息的引導：在教學中，進一步引導學生深入挖掘函數圖象中的信息，結合實際問題分析函數圖象的變化趨勢，提高學生的分析問題和解決問題的能力。
2.精準把控時間：在今后的教學中，更加合理地安排教學內容和時間，給課堂小結留出足夠的時間，讓學生能夠充分回顧和總結所學內容，強化知識的理解和記憶。
六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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