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同步探究學案
課題 8.1 平方根（第二課時） 單元 第八章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 1.了解算術平方根的概念，會用根號表示非負數的算術平方根。 2.會求某些非負數的算術平方根；了解算術平方根的性質并用其解題。 3.通過求一個數的算術平方根的近似值，初步了解開方開不盡的數的無限不循環性，理解用近似值表示無限不循環小數的實際意義。
重點 理解算術平方根的概念并會求一個數的算術平方根。
難點 了解算術平方根的性質并解決實際問題。
探究過程
導入新課 【引入思考】 1.一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的_________或_________. 2.求一個數a的平方根的運算，叫做_______。根據這種互逆關系，可以求一個數的_________。 3.正數有____個平方根，它們互為______；0 的平方根是 ___；負數______平方根. 4.正數a的正的平方根記為“______”；a叫作_________； 正數a的負的平方根，可以用 ”_______”表示， 故正數a的平方根可以用” ______”表示 有當a ≥0時，_____意義，而當a<____時，無意義
新知探究 本節課來研究： 本節我們借助平方根的相關知識，研究算術平方根。 指出：正數a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的____________。 正數a的算術平方根用來表示． 規定：0的算術平方根是______．0的算術平方根也記為 歸納：非負數a的算術平方根 具有雙重非負性： (1) 被開方數 a 是非負數；( ____≥ 0 ) (2) 非負數 a 的算術平方根是非負數.( ≥ 0 ) 例1：求下列各數的算術平方根. （1）100；（2） ；（3）0.000 1． 歸納：被開方數越大，對應的算術平方根也越____．這個結論對所有正數都成立． 例2：求下列各式的值。 （1） ；（2） ；（3） ． 歸納：（1）在求 a 的算術平方根時，若 a 是有理數的平方，則 a 的算術平方根就不帶根號：若 a 不是有理數的平方，則 a 的算術平方根就帶有根號，如． （2）求一個非負數的算術平方根常借助于平方運算． 熟記常用平方數對求一個數的算術平方根有著事半功倍的效果． 例3：已知 ，求 x＋y＋z 的值． 歸納：“幾個非負數的和為 0 ”問題的解決方法 目前學過的典型的非負數有 a2，|b|， 三種．根據非負數的性質，知若幾個非負數的和為 0，則每一個非負數均為_____，即若 a2＋|b|＋ ＝0，則 a2＝0，|b|＝0， ＝0． 探究1：怎樣用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm2的大正方形？這個大正方形的邊長是多少？ 解：如圖，把兩個小正方形分別沿對角線剪開，將所得的____個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為____dm2 的大正方形. 解：設大正方形的邊長為x dm，則 x2=____. 由邊長的實際意義可知， x= . 所以大正方形的邊長是______dm. 所以小正方形的對角線的長即為大正方形的邊______. 探究2： 有多大呢？ 解：因為12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以 1＜ ＜2 因為1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜____＜1.52,所以 1.4＜＜1.5 因為1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以 _____＜ ＜1.42 因為1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以 1.414＜ ＜______ …… 如此進行下去，可以得到的更精確的估計范圍。 這種方法叫做“兩邊夾”法 =1.414213562373……是無限不循環小數 無限不循環小數是指小數位數_____，且小數部分____循環的小數. 如：許多正有理數的算術平方根（例如，，等）都是無限不循環小數． 想一想：你以前見過這樣的小數嗎？ 例4：估算 的值(精確到0.01).
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．下列選項中是4的算術平方根是（ ） A． B． C．4 D．2 2．的算術平方根的相反數是（ ） A．4 B． C． D． 3．求下列各數的算術平方根． (1)64 (2) (3) (4) 選做題： 4．若面積為5的正方形的邊長為x，那么x的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【綜合拓展類練習】 5.如圖、每個小正方形的邊長為1，可以得到每個小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長是（ ） A．2 B．3 C． D．4
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．3的算術平方根是（ ） A．3 B． C． D．9 2．下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．求下列各數的算術平方根： (1)121； (2)； (3)0.01. 選做題： 4．一個正方形的面積是31，估計它的邊長大小應該在（　　）． A．5與5.5之間 B．5.5與6之間 C．6與6.5之間 D．6.5與7之間 【綜合拓展類作業】 5.已知實數a，b，c滿足：，求的值．
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第八章 實數
8.1 平方根（第二課時）
1.了解算術平方根的概念，會用根號表示非負數的算術平方根。
2.會求某些非負數的算術平方根；了解算術平方根的性質并用其解題。
3.通過求一個數的算術平方根的近似值，初步了解開方開不盡的數的無限不循環性，理解用近似值表示無限不循環小數的實際意義。
1.一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的_________或_________.
2.求一個數a的平方根的運算，叫做_______。根據這種互逆關系，可以求一個數的_________。
3.正數有____個平方根，它們互為______；0 的平方根是 ___；負數______平方根.
平方根
二次方根
開平方
平方根
兩
相反數
0
沒有
4.正數a的正的平方根記為“______”；a叫作_________；
正數a的負的平方根，可以用 ”_______”表示，
故正數a的平方根可以用” ______”表示
有當a ≥0時，_____意義，而當a<____時，無意義
被開方數
有
0
正數a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術平方根。
正數a的算術平方根用來表示．
規定：0的算術平方根是0．0的算術平方根也記為
非負數a的算術平方根 具有雙重非負性：
(1) 被開方數 a 是非負數；( a ≥ 0 )
(2) 非負數 a 的算術平方根是非負數.( ≥ 0 )
例1：求下列各數的算術平方根.
（1）100；（2） ；（3）0.000 1．
解：（1）因為102＝100，所以100的算術平方根是10，即．
（2）因為()2＝ ，所以 的算術平方根是，即．
（3）因為0.012＝0.0001，所以0.0001的算術平方根是0.01，即．
被開方數越大，對應的算術平方根也越大．這個結論對所有正數都成立．
例2：求下列各式的值。
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1） =2；（2） =；（3） =3．
（1）在求 a 的算術平方根時，若 a 是有理數的平方，則 a 的算術平方根就不帶根號：若 a 不是有理數的平方，則 a 的算術平方根就帶有根號，如．
（2）求一個非負數的算術平方根常借助于平方運算． 熟記常用平方數對求一個數的算術平方根有著事半功倍的效果．
例3：已知 ，求 x＋y＋z 的值．
解：因為 ，
由絕對值、平方及算術平方根的非負性知
，y＋2＝0， ，
得x＝ ，y＝2，z＝ ，
所以 x＋y＋z＝ －2－ ＝－3．
“幾個非負數的和為 0 ”問題的解決方法
目前學過的典型的非負數有 a2，|b|， 三種．根據非負數的性質，知若幾個非負數的和為 0，則每一個非負數均為 0，即若 a2＋|b|＋ ＝0，則 a2＝0，|b|＝0， ＝0．
探究1：怎樣用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm2的大正方形？這個大正方形的邊長是多少？
如圖，把兩個小正方形分別沿對角線剪開，將所得的 4 個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為 2 dm2 的大正方形.
解：設大正方形的邊長為x dm，則
x2=2.
由邊長的實際意義可知，
x= .
所以大正方形的邊長是dm.
小正方形的對角線的長是多少呢？
小正方形的對角線的長即為大正方形的邊長.
探究2： 有多大呢？
因為12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以
1＜ ＜2
因為1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜2＜1.52,所以
1.4＜ ＜1.5
因為1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以
1.41＜ ＜1.42
因為1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以
1.414＜ ＜1.415
……
如此進行下去，可以得到的更精確的估計范圍。
“兩邊夾”法
=1.414 213 562 373……
無限不循環小數
無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數.
許多正有理數的算術平方根 （例如， ， 等）都是無限不循環小數．
你以前見過這樣的小數嗎？
例4：估算 的值(精確到0.01).
解：因為 12=1，22=4，
所以 1 < < 2；
因為1.72 = 2.89，1.82 = 3.24，
所以 1.7 < < 1.8；
因為1.732 = 2.9929，1.742 = 3.0276，
所以 1.73 < < 1.74；
因為1.7322 = 2.999824，1.7332 = 3.003289，
所以 1.732 < < 1.733；所以≈1.73
【知識技能類練習】必做題：
1．下列選項中是4的算術平方根是（ ）
A． B． C．4 D．2
D
【知識技能類練習】必做題：
2．的算術平方根的相反數是（ ）
A．4 B． C． D．
B
【知識技能類練習】必做題：
3．求下列各數的算術平方根．(1)64 (2) (3) (4)
解：（1）64的算術平方根是；
（2），所以的算術平方根是；
（3），所以的算術平方根是；
（4）的算術平方根是．
【知識技能類練習】選做題：
4．若面積為5的正方形的邊長為x，那么x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
A
【綜合拓展類練習】
5.如圖、每個小正方形的邊長為1，可以得到每個小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長是（ ）
A．2 B．3
C． D．4
C
算術平方根
的估算
算術平方根的相關概念
算術平方根的非負性
無限不循環小數
【知識技能類作業】必做題：
1．3的算術平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
C
【知識技能類作業】必做題：
2．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知識技能類作業】必做題：
3．求下列各數的算術平方根：(1)121；(2)；(3)0.01.
解：（1）因為，所以121的算術平方根是11，即.
（2）因為，所以的算術平方根是，即.
（3）因為，所以0.01的算術平方根是0.1，即.
【知識技能類作業】選做題：
4．一個正方形的面積是31，估計它的邊長大小應該在（　　）．
A．5與5.5之間 B．5.5與6之間
C．6與6.5之間 D．6.5與7之間
B
【綜合拓展類作業】
5.已知實數a，b，c滿足：，求的值．
解：∵，
∴，，，
解得：，
則．中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
第二課時《8.1 平方根（第二課時）》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課的主要內容是學習算術平方根的相關知識，是在學生學方根的基礎上來學習算術平方根，之前的平方根的學習為本節課學習奠定了一定的知識基礎，更利于學生理解算術平方根的概念，它不僅是對前面所學知識的鞏固，也為后面估算算術平方根，求算術平方根的整數和小數部分的學習奠定了基礎。教材通過對平方根概念的復習引入，直接給出算術平方根的定義，再由具體例子講解便于學生理解與掌握算術平方根的概念，并運用概念，會求一個數的算術平方根。
學習者分析 在本課學習之前，學生們已經掌握了一些完全平方數，對乘方運算也有一定的認識，熟練地掌握了求一個數的平方根，能很自然快速掌握求一個數的算術平方根，并對0的算術平方根作出了規定，容易理解算術平方根的雙重非負性，但是對于用非負性解決問題存在難度，在實際問題中雙重非負性條件的隱蔽性，學生容易忽略，通過做題歸納初中階段所有的非負性，便于學生掌握知識。
教學目標 1.了解算術平方根的概念，會用根號表示非負數的算術平方根。 2.會求某些非負數的算術平方根；了解算術平方根的性質并用其解題。 3.通過求一個數的算術平方根的近似值，初步了解開方開不盡的數的無限不循環性，理解用近似值表示無限不循環小數的實際意義。 4.體驗“無限不循環小數”的含義，感受存在著不同于有理數的一類新數，培養探求精神，提高學生學習數學的興趣。
教學重點 理解算術平方根的概念并會求一個數的算術平方根。
教學難點 了解算術平方根的性質并解決實際問題。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 1.了解算術平方根的概念，會用根號表示非負數的算術平方根。 2.會求某些非負數的算術平方根；了解算術平方根的性質并用其解題。 3.通過求一個數的算術平方根的近似值，初步了解開方開不盡的數的無限不循環性，理解用近似值表示無限不循環小數的實際意義。學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 問題：1.一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的_________或_________. 答案：平方根，二次方根 2.求一個數a的平方根的運算，叫做_______。根據這種互逆關系，可以求一個數的_________。 答案：開平方，平方根 3.正數有____個平方根，它們互為______；0 的平方根是 ___；負數______平方根. 答案：兩，相反數，0，沒有 4.正數a的正的平方根記為“______”；a叫作_________； 正數a的負的平方根，可以用 ”_______”表示， 故正數a的平方根可以用” ______”表示 有當a ≥0時，_____意義，而當a<____時，無意義 答案：，被開方數，，，有，0學生活動2： 學生積極回答問題活動意圖說明： 通過回顧平方根的相關知識，為算術平方根的引入做好鋪墊環節三：新知講解教師活動3： 指出：正數a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術平方根。 正數a的算術平方根用來表示． 規定：0的算術平方根是0．0的算術平方根也記為 歸納：非負數a的算術平方根 具有雙重非負性： (1) 被開方數 a 是非負數；( a ≥ 0 ) (2) 非負數 a 的算術平方根是非負數.( ≥ 0 ) 例1：求下列各數的算術平方根. （1）100；（2） ；（3）0.000 1． 解：（1）因為102＝100，所以100的算術平方根是10，即． （2）因為()2＝ ，所以 的算術平方根是，即． （3）因為0.012＝0.0001，所以0.0001的算術平方根是0.01，即． 追問：觀察被開方數及對應的算術平方根，你有什么發現？ 歸納：被開方數越大，對應的算術平方根也越大．這個結論對所有正數都成立． 例2：求下列各式的值。 （1） ；（2） ；（3） ． 解：（1） =2；（2） =；（3） =3． 歸納：（1）在求 a 的算術平方根時，若 a 是有理數的平方，則 a 的算術平方根就不帶根號：若 a 不是有理數的平方，則 a 的算術平方根就帶有根號，如． （2）求一個非負數的算術平方根常借助于平方運算． 熟記常用平方數對求一個數的算術平方根有著事半功倍的效果． 例3：已知 ，求 x＋y＋z 的值． 解：因為 ， 由絕對值、平方及算術平方根的非負性知 ，y＋2＝0， ， 得x＝ ，y＝2，z＝ ， 所以 x＋y＋z＝ －2－ ＝－3． 歸納：“幾個非負數的和為 0 ”問題的解決方法 目前學過的典型的非負數有 a2，|b|， 三種．根據非負數的性質，知若幾個非負數的和為 0，則每一個非負數均為 0，即若 a2＋|b|＋ ＝0，則 a2＝0，|b|＝0， ＝0． 探究1：怎樣用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm2的大正方形？這個大正方形的邊長是多少？ 預設：如圖，把兩個小正方形分別沿對角線剪開，將所得的 4 個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為 2 dm2 的大正方形. 解：設大正方形的邊長為x dm，則 x2=2. 由邊長的實際意義可知， x= . 所以大正方形的邊長是dm. 追問：小正方形的對角線的長是多少呢？ 預設：小正方形的對角線的長即為大正方形的邊長. 探究2： 有多大呢？ 預設：因為12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以 1＜ ＜2 因為1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜2＜1.52,所以 1.4＜ ＜1.5 因為1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以 1.41＜ ＜1.42 因為1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以 1.414＜ ＜1.415 …… 如此進行下去，可以得到的更精確的估計范圍。 介紹：這種方法叫做“兩邊夾”法 指出：√2=1.414213562373……是無限不循環小數 講解：無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數. 如：許多正有理數的算術平方根（例如√3，√5，√7等）都是無限不循環小數． 追問：你以前見過這樣的小數嗎？ 預設： 例4：估算 的值(精確到0.01). 解：因為 12=1，22=4， 所以 1 < < 2； 因為1.72 = 2.89，1.82 = 3.24， 所以 1.7 < < 1.8； 因為1.732 = 2.9929，1.742 = 3.0276， 所以 1.73 < < 1.74； 因為1.7322 = 2.999824，1.7332 = 3.003289， 所以 1.732 < < 1.733；所以≈1.73學生活動3： 認真聽老師的講解算術平方根的定義，然后觀察、動手做一做，小組討論合作探究，然后和老師一起歸納得出算術平方根的性質，并認識并估計其大小活動意圖說明： 通過講解、例題以及探究，讓學生了解算術平方根的概念，掌握求一個非負數的算術平方根的方法，探究算術平方根的性質并掌握運用估算的方法確定開方開不盡數的大致范圍。環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：8.1 平方根（第二課時） 一、算術平方根的概念 二、算術平方根的非負性 三、的估算——無限不循環小數教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．下列選項中是4的算術平方根是（ ） A． B． C．4 D．2 答案：D 2．的算術平方根的相反數是（ ） A．4 B． C． D． 答案：B 3．求下列各數的算術平方根． (1)64 (2) (3) (4) 解：（1）64的算術平方根是； （2），所以的算術平方根是； （3），所以的算術平方根是； （4）的算術平方根是． 選做題： 4．若面積為5的正方形的邊長為x，那么x的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【綜合拓展類練習】 5.如圖、每個小正方形的邊長為1，可以得到每個小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長是（ ） A．2 B．3 C． D．4 答案：C
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．3的算術平方根是（ ） A．3 B． C． D．9 答案：C 2．下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．求下列各數的算術平方根： (1)121； (2)； (3)0.01. 解：（1）因為，所以121的算術平方根是11，即. （2）因為，所以的算術平方根是，即. （3）因為，所以0.01的算術平方根是0.1，即. 選做題： 4．一個正方形的面積是31，估計它的邊長大小應該在（　　）． A．5與5.5之間 B．5.5與6之間 C．6與6.5之間 D．6.5與7之間 答案：B 【綜合拓展類作業】 5.已知實數a，b，c滿足：，求的值． 解：∵， ∴，，， 解得：， 則．
教學反思 這節課首先讓學生理解并掌握算術平方根的定義、會求一個正數的算術平方根.并總結算術平方根的非負性。 其次，通過剪正方形得出面積為2的大正方形的邊長，從而解決了生活實際問題，讓學生體會生活中的數學，探究如何估算算術平方根的取值范圍，進而引出無限不循環小數的概念. 最后，引導學生談收獲，并相互交流，培養學生歸納的能力與養成總結的.良好學習習慣，給學生表達的機會，從而再次鞏固所學內容.
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