資源簡介

第十九章一次函數(shù)
19.1.1 第二課時(shí)《函數(shù)》
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.深入理解函數(shù)的概念，能夠精準(zhǔn)識(shí)別函數(shù)關(guān)系中的自變量和函數(shù)。
2.透徹理解函數(shù)值的含義，并熟練掌握函數(shù)值的計(jì)算方法。
3.親身經(jīng)歷由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)概念的完整過程，全面發(fā)展分析問題和解決問題的能力，提升邏輯思維與歸納總結(jié)能力。
核心素養(yǎng)目標(biāo)
學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)觀察和分析事物，深切體驗(yàn)生活中廣泛存在的函數(shù)關(guān)系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)
全面了解函數(shù)的概念，清晰把握函數(shù)與自變量之間的內(nèi)在關(guān)系。
熟練運(yùn)用函數(shù)概念解決實(shí)際問題。
難點(diǎn)
準(zhǔn)確確定函數(shù)中自變量的取值范圍，充分考慮實(shí)際問題的限制條件。
深刻理解函數(shù)概念中 “對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)” 這一核心要點(diǎn)。
三、教學(xué)過程
（一）知識(shí)回顧 ——“舊知喚醒新探索”
憶一憶
甲、乙兩地相距 s 千米，某人行駛?cè)趟玫臅r(shí)間t(小時(shí))與他的速度 v(千米/時(shí))滿足 vt = s，在這個(gè)變化過程中，下列判斷中錯(cuò)誤的是( )
A. s 是變量 B. t 是變量
C. v 是變量 D. s 是常量
設(shè)計(jì)意圖：通過回顧 “常量與變量” 的相關(guān)知識(shí)，為引入函數(shù)概念做好鋪墊，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系，降低學(xué)習(xí)函數(shù)概念的難度。
（二）問題探究 ——“變量關(guān)系大揭秘”
問題1 在上一節(jié)課課本P71的問題(1)～(4)中，是否都存在兩個(gè)變量？請(qǐng)你寫出能表示同一個(gè)問題中的兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的式子.
問題(1)～(4)中都存在兩個(gè)變量，表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系式分別為：s = 60t，y =10x，S=πr2，y=5-x.
問題2在上面的4個(gè)問題中，是哪一個(gè)量隨哪一個(gè)量的變化而變化？當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量的值是唯一確定的嗎？兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么共同特征？
上面4個(gè)問題中的兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)的實(shí)際問題進(jìn)行深入分析，找出其中的變量關(guān)系，為歸納函數(shù)概念積累具體素材，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和歸納能力。
（三）深入思考 ——“函數(shù)本質(zhì)初窺探”
思考
(1)如圖是體檢時(shí)的心電圖，其中圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo) x表示時(shí)間，縱坐標(biāo) y 表示心臟部位的生物電流，它們是兩個(gè)變量.在心電圖中，對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)嗎？
(2)下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份與人口數(shù)可以分別記作兩個(gè)變量 x 與 y，對(duì)于表中每一個(gè)確定的年份 x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù) y 嗎？
思考中的(1)(2)都滿足 y 隨 x 的變化而變化，且當(dāng) x取定一個(gè)值時(shí)，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).
設(shè)計(jì)意圖：通過心電圖和人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表這兩個(gè)實(shí)際例子，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)變量之間 “一對(duì)一” 對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)，為抽象出函數(shù)概念提供更多的感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在不同情境中體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)特征。
（四）概念歸納 ——“函數(shù)定義巧得出”
一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量 x 與y，并且對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說 x 是自變量，y 是 x 的函數(shù).
如果當(dāng) x = a 時(shí) y = b，那么 b 叫做當(dāng)自變量的值為 a時(shí)的函數(shù)值.
在P71的問題(1)～(4)及前面思考(1)(2)的兩個(gè)變量中，哪些是自變量，哪些是自變量的函數(shù).
當(dāng) t =1時(shí)，函數(shù)值 s =60；
當(dāng) t =2時(shí)，函數(shù)值 s =120；……
(1)在心電圖中，時(shí)間 x 是自變量，心臟部位的生物電流 y 是 x 的函數(shù).
(2)在人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份 x 是自變量，人口數(shù) y 是x 的函數(shù).
當(dāng) x =1984時(shí)，函數(shù)值 y =10.34；
當(dāng) x =1989時(shí)，函數(shù)值 y =11.06；……
設(shè)計(jì)意圖：在對(duì)多個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出函數(shù)的概念，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。
（五）例題講解 ——“函數(shù)應(yīng)用展身手”
例1 汽車油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(單位:L)隨行駛路程 x(單位:km)的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km.
(1)寫出表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的式子.
(2)指出自變量 x 的取值范圍.
(3)汽車行駛200km時(shí)，油箱中還有多少油？
解：(1)行駛路程 x 是自變量，油箱中的油量 y 是 x的函數(shù)，它們的關(guān)系為y =50-0.1 x
0.1 x表示什么意思？
(2)僅從式子 y =50-0.1x 看，x 可以取任意實(shí)數(shù).但是考慮到 x 代表的實(shí)際意義為行駛路程，因此 x 不能取負(fù)數(shù).行駛中的耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現(xiàn)有汽油量50，即
0.1x≤50
因此，自變量 x 的取值范圍是
0≤x≤500
(3)汽車行駛200km時(shí)，油箱中的汽油量是函數(shù) y =50-0.1x 在 x =200時(shí)的函數(shù)值.
將 x =200代入 y =50-0.1x，得
y=50-0.1×200=30
汽車行駛200km時(shí)，油箱中還有30L汽油.
像 y =50-0.1 x 這樣，用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用的方法.這種式子叫做函數(shù)的解析式.
設(shè)計(jì)意圖：通過具體的例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)概念解決實(shí)際問題，掌握求函數(shù)解析式、確定自變量取值范圍和計(jì)算函數(shù)值的方法，加深對(duì)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用能力，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系。
（六）課堂練習(xí) ——“知識(shí)鞏固促提升”
練習(xí)
1.下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？試寫出函數(shù)的解析式.
(1)改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之改變.
(2)每分向一水池注水0.1m3，注水量y(單位：m3)隨注水時(shí)間x(單位：min)的變化而變化.
(3)秀水村的耕地面積是106m2，這個(gè)村人均占有耕地面 積y(單位：m2)隨這個(gè)村人數(shù)n的變化而變化.
(4)水池中有水10L，此后每小時(shí)漏水0.05L，水池中的水量V(單位：L)隨時(shí)間t(單位：h)的變化而變化.
解：(1)x是自變量，S是x的函數(shù)，S=x2.(2) x是自變量，y是x的函數(shù)，y=0.1x.
(3) n是自變量，y是n的函數(shù)，y=.(4) t是自變量，V是t的函數(shù)，V=10-0.05t.
2.梯形的上底長2cm，高3cm，下底長x cm大于上底長但不超過5cm.寫出梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍.
解：面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式為，整理得 ，自變量x的取值范圍是 2＜x≤5.
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，及時(shí)鞏固學(xué)生所學(xué)的函數(shù)概念、函數(shù)解析式的書寫、自變量取值范圍的確定和函數(shù)值的計(jì)算等知識(shí)，反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并及時(shí)進(jìn)行糾正和指導(dǎo)。
（七）課堂小結(jié) ——“知識(shí)梳理再升華”
本節(jié)課你有哪些收獲？
還有沒解決的問題嗎？
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行全面總結(jié)，梳理知識(shí)體系，強(qiáng)化重點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生提出疑問，培養(yǎng)學(xué)生的反思總結(jié)能力和問題意識(shí)。
四、總結(jié)
同學(xué)們，在今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們一同踏上了函數(shù)的探索之旅。從最初對(duì)常量與變量的回顧，到通過多個(gè)實(shí)際問題深入分析變量之間的關(guān)系，我們逐步揭開了函數(shù)的神秘面紗。函數(shù)就像一座橋梁，將兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的變量緊密連接在一起，讓我們看到了事物之間的變化規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系。我們學(xué)會(huì)了如何識(shí)別自變量和函數(shù)，如何寫出函數(shù)的解析式，如何確定自變量的取值范圍以及如何計(jì)算函數(shù)值。這些知識(shí)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，更是我們理解和描述現(xiàn)實(shí)世界中各種變化現(xiàn)象的有力工具。希望大家在今后的學(xué)習(xí)和生活中，能夠繼續(xù)保持對(duì)函數(shù)的探索熱情，用函數(shù)的眼光去觀察世界，用函數(shù)的思維去解決問題，讓數(shù)學(xué)的魅力在生活中綻放出更加耀眼的光芒。
五、教學(xué)反思
（一）成功之處
知識(shí)銜接自然：通過對(duì) “常量與變量” 知識(shí)的回顧，為函數(shù)概念的引入搭建了橋梁，使學(xué)生能夠在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上順利過渡到新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。
情境創(chuàng)設(shè)豐富：運(yùn)用多個(gè)實(shí)際問題情境，如汽車行駛、心電圖、人口統(tǒng)計(jì)等，讓學(xué)生在熟悉的場景中感受變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用能力。
教學(xué)方法得當(dāng)：采用問題引導(dǎo)、小組討論、歸納總結(jié)等多種教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、分析、歸納和解決問題的能力，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。
（二）不足之處
概念理解深度不夠：在講解函數(shù)概念時(shí)，雖然通過多個(gè)例子進(jìn)行了說明，但部分學(xué)生對(duì) “對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)” 這一核心要點(diǎn)的理解仍不夠深入，需要在今后的教學(xué)中進(jìn)一步加強(qiáng)解釋和練習(xí)。
自變量取值范圍確定困難：在確定自變量取值范圍時(shí)，部分學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的限制條件考慮不夠全面，導(dǎo)致取值范圍確定不準(zhǔn)確。在今后的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問題的分析和引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際出發(fā)，準(zhǔn)確確定自變量的取值范圍。
課堂互動(dòng)不均衡：在課堂討論和互動(dòng)環(huán)節(jié)，部分學(xué)生參與度較高，而部分學(xué)生則較為被動(dòng)。在今后的教學(xué)中，應(yīng)更加關(guān)注全體學(xué)生的參與情況，采用多樣化的互動(dòng)方式，鼓勵(lì)更多學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)。
（三）改進(jìn)措施
強(qiáng)化概念教學(xué)：通過更多的實(shí)例和對(duì)比分析，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念核心要點(diǎn)的理解，讓學(xué)生在不同情境中準(zhǔn)確判斷變量之間是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。
加強(qiáng)實(shí)際問題分析：在講解例題和練習(xí)題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析實(shí)際問題的背景和條件，逐步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，提高學(xué)生確定自變量取值范圍的準(zhǔn)確性。
優(yōu)化課堂互動(dòng)：設(shè)計(jì)更加合理的小組活動(dòng)和問題，確保每個(gè)學(xué)生都有參與的機(jī)會(huì)，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)和引導(dǎo)，提高學(xué)生的參與積極性和主動(dòng)性。
六、展示評(píng)價(jià)
評(píng)價(jià)維度 評(píng)價(jià)要點(diǎn) 評(píng)價(jià)等級(jí)（A. 優(yōu)秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學(xué)生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動(dòng)參與探究活動(dòng)
知識(shí)掌握 能否準(zhǔn)確理解平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創(chuàng)新性表現(xiàn)如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻(xiàn)自己的想法，傾聽他人意見

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