資源簡介

第十七章勾股定理
《勾股定理小結與復習》教學設計
一、教學目標
知識目標
1.能夠熟練運用勾股定理解決簡單問題，讓學生切實掌握勾股定理這一重要工具，提升其基本運算和應用能力。
2.精準運用勾股定理的逆定理判定直角三角形，培養學生對定理的反向運用思維，強化對直角三角形判定方法的理解。
3.靈活運用勾股定理解決綜合問題和實際問題，使學生學會將理論知識與實際情境相結合，提高知識遷移和解決復雜問題的能力。
4.發展學生合情推理的能力，通過對勾股定理相關問題的探究和思考，引導學生從已有知識和經驗出發，合理推測和歸納，提升邏輯思維水平。
5.體會數形結合和由特殊到一般的數學思想，在教學過程中，借助圖形直觀展示勾股定理的原理，讓學生理解數與形的緊密聯系；通過從特殊直角三角形到一般情況的推導，培養學生的歸納總結能力。
6.樹立數形結合的思想、分類討論思想，讓學生在面對不同類型的勾股定理問題時，能夠主動運用這些思想方法，有條理地分析和解決問題，提高思維的嚴謹性和靈活性。
核心素養目標
1.通過獲得成功的經驗和克服困難的經歷，增強學生數學學習的信心，讓學生在解決問題的過程中體驗到成就感，激發他們對數學學習的興趣和熱情。
2.激發學生的民族自豪感和愛國情懷，介紹勾股定理在我國古代數學中的重要地位和輝煌成就，讓學生了解我國悠久的數學文化，增強民族自信心和文化認同感。
二、教學重點、難點
重點
系統回顧并深入思考勾股定理及逆定理，強化學生對核心知識的記憶和理解，為后續應用奠定堅實基礎。
通過多種題型訓練，加深學生對勾股定理及逆定理的掌握程度，提高學生運用定理解決問題的熟練度。
難點
靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題，培養學生將抽象的數學知識轉化為實際解決方案的能力，克服從理論到實踐的轉化障礙。
在復雜情境中準確識別和運用勾股定理及逆定理，引導學生學會分析問題，提取關鍵信息，構建數學模型，提高解決綜合問題的能力。
三、教學過程
（一）知識回顧 —— 開啟勾股智慧之門
一、勾股定理
1. 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
2.勾股定理的應用條件：在直角三角形中才可以運用
設計意圖：強調定理的適用范圍，加深學生對條件的重視，避免在后續解題中出現錯誤應用。
勾股定理表達式的常見變形：
a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；
、、.
設計意圖：展示勾股定理的多種變形形式，拓寬學生對定理的理解，使其在不同題型中能靈活運用合適的表達式進行計算。
（二）逆定理探秘 —— 挖掘勾股定理的另一面
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a，b，c滿足 a2 + b2 = c2，那么這個
三角形是直角三角形.
2.勾股數
滿足a2 + b2 = c2的三個正整數，稱為勾股數.
設計意圖：明確勾股數的概念，讓學生了解到滿足勾股定理的特殊整數組合，為后續判斷和計算提供依據。
原命題與逆命題（互為逆定理）
如果兩個命題的題設、結論正好相反，那么把其中一個叫做原命題，另一個叫做它的逆命題。一般地，如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理。
設計意圖：講解原命題與逆命題以及逆定理的關系，培養學生的邏輯思維和對數學定理結構的深入理解，讓學生明白數學知識之間的內在聯系。
（三）考點突破 —— 攻克勾股難題堡壘
考點一 勾股定理及其應用
例1 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于D.(1)求AB的長；(2)求BD的長.
解：(1)在Rt△ABC中，根據勾股定理
(2)方法一：∵ S△ABC=AC BC=AB CD
∴ 20×15=25CD
∴ CD=12
在Rt△BCD中，根據勾股定理
方法二：設BD=x，則AD=25-x
在Rt△ACD和Rt△BCD中，根據勾股定理
得 AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2
∴ AC2-AD2=BC2-BD2
即 202-(25-x)2=152-x2
解得 x=9，∴ BD=9
方法總結
對于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高，常需結合面積的兩種表示法起來考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.
設計意圖：通過具體的直角三角形例題，讓學生熟練運用勾股定理求邊長，同時展示多種解題方法，培養學生的發散思維和靈活運用知識的能力，總結方法有助于學生形成解題策略。
針對訓練
1.Rt△ABC中，斜邊BC＝2，則AB2＋AC2＋BC2的值為( )
A.8 B.4 C.6 D.無法計算
2.如圖，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，則AD的長為_____.
3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為_______.
4.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝8cm，c＝6cm，求△ABC的面積.
解：∵ a+b=8
∴ (a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64
在Rt△ABC中，根據勾股定理得 a2+b2=c2=36
∴ 2ab=64-(a2+b2)=64-36=28
∴ ab=7
即△ABC的面積為7cm2.
設計意圖：通過一系列針對性練習，鞏固學生對勾股定理的應用，不同題型從不同角度考查學生對知識的掌握程度，及時反饋學生的學習效果，強化解題技能。
例2 由于大風，山坡上的一棵樹甲被從點A處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的株距(兩棵樹的水平距離)為12米，求這棵樹原來的高度.
解：延長AB，過點C作CD⊥AB延長線于點D.
在Rt△BCD中，BC=13m，CD=12m，根據勾股定理
(m)
∴ AD=AB+BD=9(m)
在Rt△ACD中，根據勾股定理
(m)
∴ AC+AB=15+4=19(m)
答：這棵樹原來的高度是19米.
設計意圖：以實際生活中的樹木折斷問題為背景，讓學生體會勾股定理在解決實際問題中的應用，培養學生將實際問題轉化為數學模型的能力，增強學生對數學實用性的認識。
5.我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？
解：如圖，設水池的水深AC為x尺，則這根蘆葦長AD=AB=(x+1)尺.
在Rt△ABC中，BC=5尺，根據勾股定理
BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1) 2
25+x2=x2+2x+1
2x=24
解得 x=12
∴ AC=12尺，AD=13尺
答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.
6.如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發，沿長方體
的表面爬到對角頂點C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長為
多少？
解：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式：
①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形如下：
①在Rt△ABC1中，根據勾股定理得AC1==5
②在Rt△ACC1中，根據勾股定理得AC1==
③在Rt△AB1C1中，根據勾股定理得AC1==
∵ 5＜＜
∴ 沿路徑①走路徑最短，最短路徑長為5.
7.如圖，某住宅社區在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？
解：如圖，過半圓直徑的中點O，作直徑的垂線交下底邊于點D，取點C，使CD=1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點，交半圓于A點，連接OA.
在Rt△ABO中，OA=2米，OB=CD=1.4米，根據勾股定理得
AB2=OA2-OB2=22-1.42=2.04
∵ 4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04＞1.96
∴ 卡車可以通過，但要小心.
8.在O處的某海防哨所發現在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處.
(1)此時快艇航行了多少米(即AB的長)？
(2)距離哨所多少米(即OB的長)？
解：(1)根據題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.
∴ AC=AO=500米，BC=OC
在Rt△AOC中，根據勾股定理得
OC===500(米)
∴ BC=OC=500(米)
∴ AB=AC+BC=(500+500)米
(2)在Rt△BOC中，根據勾股定理得
OB===500(米)
設計意圖：通過不同實際情境的題目，進一步強化學生運用勾股定理解決實際問題的能力，涵蓋了幾何圖形與方向角度等多方面知識的綜合運用，提升學生的數學素養和實際應用能力。
考點二 勾股定理的逆定理及其應用
例3 在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，，2c－b＝12，求△ABC的面積.
解：由題意可設a=3k，則b=4k，c=5k
∵ 2c-b=12
∴ 10k-4k=12，解得 k=2
∴ a=6，b=8，c=10
∵ 62+82=102
∴ BC2+AC2=AB2
∴ △ABC為直角三角形
∴ △ABC的面積為×6×8=24
例4 B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進，2h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？
解：根據題意畫出右圖
∴ BM=8×2=16(海里)，BP=15×2=30(海里)，MP=34(海里)
∵ 162+302=1156，342=1156
∴ BM2+BP2=MP2
∴ △MBP為直角三角形，即∠MBP=90°
∴ ∠1=180°-90°-60°=30°
∴ 乙船是沿著南偏東30°方向航行的
針對訓練
9.下列各組數中，是勾股數的為( )
A.32、42、52 B.、、
C.0.3、0.4、0.5 D.30、40、50
10.命題“在同一個三角形中，等邊對等角.”的逆命題是______________________________
是________(填“真命題”或“假命題”)
11.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有__________.
設計意圖：通過對勾股數概念、逆命題以及格點三角形中直角三角形判定的練習，鞏固學生對勾股定理逆定理相關知識的理解和應用，強化對概念的辨析能力。
考點三 勾股定理與折疊問題
例5 如圖，在長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求△ABE的面積.
解：∵ 長方形ABCD折疊，使點B與點D重合
∴ DE=BE
設AE=x cm，則DE=BE=(9-x)cm
在Rt△ABE中，根據勾股定理
AB2+AE2=BE2
即 32+x2=(9-x)2，解得x=4
∴ △ABE的面積為×3×4=6(cm2)
針對訓練
12.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，則CD的長為________.
設計意圖：通過類似的折疊問題練習，進一步鞏固學生對勾股定理在折疊問題中應用的掌握程度，強化學生運用方程思想解決問題的能力，提高學生分析和解決復雜幾何問題的能力。
（四）總結 —— 勾股定理的智慧之旅
同學們，今天我們一起回顧了勾股定理及其逆定理這一數學史上璀璨的明珠。勾股定理，它簡潔而深刻地揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，從古老的畢達哥拉斯發現直角三角形地磚的秘密，到如今在建筑、測量、航海等眾多領域的廣泛應用，它貫穿了人類文明的進程。我們通過實際問題，如樹木折斷、水池深度測量、船只航行等，看到了勾股定理如何將抽象的數學知識與現實世界緊密相連，幫助我們解決生活中的難題。而勾股定理的逆定理，就像一把神奇的鑰匙，能讓我們從三角形三邊的長度判斷它是否為直角三角形，在幾何圖形的判定和構建中發揮著關鍵作用。在學習過程中，我們還體會到了數形結合、分類討論等重要數學思想的魅力，它們如同指引我們前行的燈塔，讓我們在數學的海洋中找到方向。希望大家能將勾股定理這一有力武器牢記心中，在未來的數學學習和生活實踐中，不斷探索，勇于創新，用數學的眼光去發現美、創造美。
四、教學反思
成功之處
在知識回顧環節，通過清晰呈現勾股定理及其逆定理的內容、應用條件和常見變形，幫助學生快速梳理了核心知識，為后續解題奠定了堅實基礎。從學生的課堂反應來看，大部分學生對基礎知識的記憶較為準確，能夠順利進入后續的例題講解和練習環節。
在例題講解過程中，注重一題多解和方法總結。例如在例 1 中，展示了兩種求BD長度的方法，拓寬了學生的解題思路，培養了學生的發散思維。學生在后續的針對訓練中，能夠嘗試運用不同方法解決問題，體現了方法總結的有效性。
以豐富多樣的實際問題為載體，如樹木折斷、螞蟻爬行、卡車通過通道等，激發了學生的學習興趣，讓學生深刻體會到數學的實用性。學生在解決這些實際問題時，積極思考，主動參與，課堂氣氛活躍，有效提高了學生運用數學知識解決實際問題的能力。
不足之處
在針對訓練部分，對于一些基礎較薄弱的學生，部分題目難度較大，導致他們在解題過程中遇到困難，花費時間較長，影響了整體教學進度。例如在考點一的例 2 中，涉及到將實際問題轉化為數學模型并多次運用勾股定理求解，部分學生理解起來有困難。
在講解勾股定理逆定理的應用時，雖然通過具體例題讓學生理解了如何判斷直角三角形，但對于勾股數概念的講解可以更加深入，結合更多有趣的數學故事或歷史背景，幫助學生更好地記憶和理解勾股數的特點，提升學生對數學文化的興趣。
在課堂互動方面，部分學生參與度不夠高，可能是問題的設置沒有充分考慮到全體學生的水平差異。在今后的教學中，需要更加關注學生的個體差異，設計分層問題，讓每個學生都能在課堂上有所收獲。
改進措施
在今后的教學中，對于基礎薄弱的學生，在課前或課后安排適當的輔導，幫助他們鞏固基礎知識，提高解題能力。在課堂教學中，對于難度較大的題目，可以設置一些引導性問題，逐步降低難度，幫助學生理解和掌握。
在講解勾股數等概念時，提前收集相關數學文化資料，如古代數學家對勾股數的研究成果、勾股數在神秘學中的傳說等，在課堂上生動有趣地呈現給學生，增加數學學習的趣味性和文化底蘊。
優化課堂提問策略，根據學生的學習情況和能力水平，設計分層問題，鼓勵不同層次的學生積極參與課堂互動。對于參與度不高的學生，主動給予關注和引導，創造更多機會讓他們表達自己的想法，增強他們的學習自信心。
五、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

展開更多......

收起↑