資源簡介

班級：
姓名：
2024年9月
26.1.1反比例函數
知識點 1.一次函數:y=kx+b(k,b是常數,且k≠0) 2.正比例函數:y=kx(k是常數,且k≠0) 3.反比例函數:y=(k是常數,且k≠0) 4.反比例函數的三種表達方式:y= y=kx-1 x y=k(注意k≠0)
例題 問題.你能用等式來表示嗎？ (1)京滬線鐵路全程長1463km,某次列車的平均速度為v(單位:km/h)隨此次列車的全程運行時間t(單位:h)的變化而變化； (2)某住宅小區要種植一塊面積為1000m2的矩形草坪,草坪的長y(單位:m)隨寬x(單位:m)的變化而變化； (3)已知北京市的總面積為km2,人均占有面積S(單位:km2/人)隨全市總人口n(單位:人)的變化而變化； 例1.已知y是x的反比例函數,并且當x=2時,y=6. (1)寫出y關于x的函數解析式. (2)當x=4時,求y的值.
練習 1.y是x的反比例函數,下表給出了x與y的一些值. x-2-1-13y2-1
(1)寫出這個反比例函數的表達式; (2)根據函數表達式完成上表. 2.點(4,6)滿足反比例函數y=,則下面點滿足這個函數的是( ). A.(-4,6) B.(3,-8) C.(-3,-8) D.(-2,12) 4.若y=是反比例函數關系式,則m應滿足的條件是_____. 5.已知函數是反比例函數,則m=_____； 6.已知函數,當x＝1時,y＝－3,當x=-3時,y=_____. 7.已知函數y=(m2-2m) (1)若y是x的正比例函數,求m的值； (2)若y是x的反比例函數,求其函數解析式. 8.已知y＝y1＋y2,y1與x成正比例,y2與(x-2)成反比例,當x＝1時,y＝2；當x＝3時,y＝10.求: (1)y關于x的關系式； (2)當x＝－1時,y的值.
備注
26.1.2.1反比例函數的圖象和性質(K的幾何意義)
知識點
例題 例1.畫出反比例函數y=和y=的圖象. (1)觀察反比例函數y=和y=的圖象,有哪些性質呢？ (2)對于反比例函數y=(k>0)你能得出同樣的結論嗎？ (3)函數圖象在哪幾個象限？與y=中的函數圖象有什么不同？為什么會有這樣的變化？
練習 1.請將下列函數圖象是哪些函數？ 2.已知反比例函數的圖象如圖1所示,則k 0,在圖象的每一分支上,y隨x的增大而 . 3.已知反比例函數y=的圖象過點(2,1),則它的圖象在 象限,k 0． 4.y=-(x>0)的圖象叫 ,圖象位于象限 . 5.寫出一個圖象在二、四象限內的反比例函數 . 6.反比例函數y=的圖象兩支分布在第二、四象限,則點(m,m-2)在第 象限. 7.已知函數y=(m2-2m)是反比例函數,且圖象經過一、三象限,求m的值.
備注
26.1.2.2反比例函數的圖象和性質
知識點 待定系數法求反比例函數解析式步驟: 設:設反比例函數解析式為y=(k≠0) 列:代入點坐標列出方程 解:解方程 還原:還原反比例函數解析式
例題 例3.已知反比例函數的圖象經過點A(2,6)． (1)這個函數的圖象位于哪些象限？y隨x的增大如何變化？ (2)你能求出它的表達式嗎？
練習 1.如圖1,它是反比例函數y=圖象的一支,根據圖象,回答問題: (1)圖象的另一支位于哪個象限？常數m的取值范圍是什么？ (2)在這個函數圖象的某一支上任取A(x1,y1)和點B(x2,y2),如果x1＞x2,那么y1和y2有怎樣的關系？ 2.如圖2,是反比例函數y=的圖象,則k的值可以是( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 3.已知反比例函數y=的圖象經過點A(2,－4). (1)求k的值； (2)這個函數的圖象分布在哪些象限？y隨x的增大如何變化 (3)畫出該函數的圖象； (4)點B(1,－8),C(－3,5)是否在該函數的圖象上
備注
26.1.2.3反比例函數中幾何性質
知識點 1.反比例函數y=圖象任一點向坐標軸作垂線圍成的矩形的面積S矩形=|k|. 2.反比例函數y=圖象中三角形的面積:S三角形=|k|
例題 例1.如圖,點A在反比例函數y=的圖象上,AC垂直x軸于點C,且△AOC的面積為2,求該反比例函數的表達式．
練習 1.如圖,過反比例函數y=圖象上的一點P,作PA⊥x軸于A,若△POA的面積為6,則k= . 2.若點P是反比例函數圖象上的一點,過點P分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為點M,N,若四邊形PMON的面積為3,則這個反比例函數的關系式是 . 3.如圖,P,C是函數y=(x>0)圖像上的任意兩點,PA,CD垂直于x軸.設S△POA為S1,則S1= ； 若S梯形CEAD為S2,則S1 S2； 若S△POE為S3,那么S2 S3 4.如圖,點A是反比例函數y=(x>0)的圖象上任意一點,AB//x軸交反比例函數y=-(x>0)的圖象于點B,C在x軸上,則S△ABC= .
備注
26.2.1實際問題與反比例函數
知識點 1.待定系數法求反比例函數解析式步驟: (1)設:設反比例函數解析式為y=(k≠0) (2)列:代入點坐標列出方程 (3)解:解方程 (4)還原:還原反比例函數解析式
例題 例1.市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室. (1)儲存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數關系 (2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2,施工隊施工時應該向下掘進多深 (3)當施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時,公司臨時改變計劃,把儲存室的深度改為25m.相應地,儲存室的底面積應改為多少 例2.碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物,裝載完畢恰好用了8天時間 (1)輪船到達目的地后開始卸貨,平均卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨天數t之間有怎樣的函數關系？ (2)由于遇到緊急情況,要求船上的貨物不超過5天卸載完畢,那么平均每天至少要卸載多少噸？ 例3.一司機駕駛汽車從甲地去乙地,他以80千米/時的平均速度用6小時達到乙地. (1)甲、乙兩地相距多少千米？ (2)當他按原路勻速返回時,汽車的速度v與時間t有怎樣的函數關系？
練習 1.某鄉鎮要在生活垃圾存放區建一個老年活動中心,這樣必須把1200m3的生活垃圾運走． (1)假如每天能運xm3,所需時間為y天,寫出y與x之間的函數關系式； (2)若每輛拖拉機一天能運12m3,則5輛這樣的拖拉機要用多少天才能運完？ (3)在(2)的情況下,運了8天后,剩下的任務要在不超過6天的時間內完成,那么至少需要增加多少輛這樣的拖拉機才能按時完成任務？ 2.面積為2的直角三角形一直角邊為x,另一直角邊長為y,則y與x的變化規律用圖象可大致表示為() 3.學校鍋爐旁建有一個儲煤庫,開學時購進一批煤,現在知道:按每天用煤0.6噸計算,一學期(按150天計算)剛好用完.若每天的耗煤量為x噸,那么這批煤能維持y天. (1)則y與x之間有怎樣的函數關系？ (2)若每天節約0.1噸,則這批煤能維持多少天？ 4.王強家離工作單位的距離為3600米,他每天騎自行車上班時的速度為v米/分,所需時間為t分鐘. (1)速度v與時間t之間有怎樣的函數關系？ (2)若王強到單位用15分鐘,那么他騎車的平均速度是多少？ (3)如果王強騎車的速度最快為300米/分,那他至少需要幾分鐘到達單位？
備注
中考鏈接
第 26 章 反比例函數 (2020)22．如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知一次函數y＝x+b的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A,B兩點,且點A的坐標為(a,6)． (1)求該一次函數的解析式； (2)求△AOB的面積． (2021)22．一次函數y＝kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A(2,3),B(6,n)兩點．(1)求一次函數的解析式； (2)將直線AB沿y軸向下平移8個單位后得到直線l,l與兩坐標軸分別相交于M,N,與反比例函數的圖象相交于點P,Q,求的值． (2022)22．如圖,直線與反比例函數的圖象相交于點,,已知點的縱坐標為6 (1)求的值； (2)若點是軸上一點,且的面積為3,求點的坐標． (2023)23．如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l:y＝kx+2與x,y軸分別相交于點A,B,與反比例函數y＝(x＞0)的圖象相交于點C,已知OA＝1,點C的橫坐標為2． (1)求k,m的值； (2)平行于y軸的動直線與l和反比例函數的圖象分別交于點D,E,若以B,D,E,O為頂點的四邊形為平行四邊形,求點D的坐標． (2024)23．(8分)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數與軸相交于點,與反比例函數的圖象相交于點． (1)求一次函數和反比例函數的解析式； (2)直線與反比例函數和的圖象分別交于點,,且,求點的坐標．
備注
27.1.1 圖形的相似
知識點 1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫相似圖形. 2.如果a,b,c,d四條線段是比例線段,那么. 3.判斷已知的四條線段是否成比例:按從小到大的順序排列,用最短的線段長度乘以最長的線段長度,再計算中間兩條線段長度的乘積,如果積相等,一定成比例,如果積不相等,一定不成比例.
例題 例1.判斷下列線段a、b、c、d 是否是成比例線段： 　 (1) a＝4,b＝6,c＝5,d ＝10； (2) 例2.在比例尺為1:10000000的地圖上,量得甲乙兩地的距離是30cm,求兩地的實際距離.
練習 1.如圖是一個女孩從平面鏡和哈哈鏡里看到的自己的形象,這些鏡中的形象相似嗎？ 2.如圖,圖形(a)～(f )中,哪些與圖形(1)或(2)相似？
3.一把矩形米尺1,長1m,寬3cm,則這把米尺的長和寬的比為( ) . A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3 4.甲、乙兩地相距35km,圖上距離為7cm,則這張圖的比例尺為( ) . A.5:1 B.1:5 C.1:500000 D.500000:1 5.甲、乙兩地相距200km,這張圖的比例1:10000000,則兩地的圖上距離是 cm. 6.已知線段a、b、c滿足關系式,且b=4,那么ac= . 7.已知,那么、各等于多少？
備注
27.1.2 圖形的相似
知識點 1.相似多邊形的特征：對應角相等,對應邊的比相等. 2.相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.
例題 例1.如圖所示的兩個三角形相似嗎？為什么？ 例2.如圖,四邊形ABCD和EFGH相似,求角α,β的大小和EH的長度x． 例3.如圖,點E、F分別是矩形ABCD的邊AD、BC的中點,若矩形ABCD與矩形EABF相似,AB=1,求矩形ABCD的面積.
練習 1.如圖所示的兩個五邊形相似,求a,b,c,d的值. 2.在兩個相似的五邊形中,一個五邊形各邊長分別為1,2,3,4,5,另一個五邊形最大邊為10,則最短的邊為 . 3.△ABC與△DEF相似,且相似比是k,則△DEF與△ABC的相似比是 . 4.將矩形ABCD沿兩條較長邊的中點的連線對折,得到的矩形EADF與矩形ABCD相似,確定矩形ABCD長與寬的比.
備注
27.2.1 .1平行線分線段成比例
知識點 1.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例. 說明：①定理的條件是“ 三條平行線截兩條直線 ”. ②是“對應線段成比例”,注意“對應”兩字. 2.推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的對應線段成比例.
例題 例1.如圖,在△ABC中,EF∥BC. (1) 如果E、F分別是AB和AC上的點,AE=BE=7,FC=4,那么AF的長是多少？ 如果 AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的長是多少？ 例2.如圖所示,如果D,E,F分別在OA,OB,OC上,且DF∥AC,EF∥BC． 求證：OD∶OA＝OE∶OB
練習 如圖,F為□ABCD 的邊AD延長線上一點,BF分別交CD,AC于點G,E. 求證: 如圖,在△ABC中,D為AC上一點,E為CB的延長線上一點,連接ED交AB于點F.且,DG//AB. 求證:AD=EB.
如圖,在△ABC中,AM 是BC邊上的中線,直線DN//AM ,交AB于點D,交CA的延長線于點 E,交BC于點N.求證:. 如圖,在△ABC中,∠ACB的平分線CD交AB 于點D,過B作BE//CD 交AC于點E. 求證: .
備注
27.2.1.2 相似三角形的判定(SSS、SAS)
知識點 1.三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．(SSS) 2.兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．(SAS)
例題 例1.圖中的兩個三角形是否相似？為什么？ 例2.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為4,5,6.另一個三角形框架的一邊長為2,它的別外兩條邊長應當是多少？你有幾種答案？ 例3.如圖,AB AE=AD AC,且∠1=∠2,求證：△ABC∽△AED．
練習 1.如圖,D,E分別是△ABC的邊AC、AB上的點,AE=1.5,AC=2,BC=3,且,求DE的長. 2.如圖,在△ABC中,CD是邊AB上的高且,求證:∠ACB=90°．
3.已知：如圖,在正方形ABCD中,P是BC上的點,且BP=3PC,Q是CD的中點.ΔADQ與ΔQCP 是否相似？為什么？ 4.如圖,在正方形ABCD中,E是AD的中點,點F在CD上,且CF=3FD. (1)求證：△ ABE ∽△ DEF ． (2)△ABE與△DEF相似嗎？為什么？
備注
27.2.1.3 相似三角形的判定(AA、HL)
知識點 1.利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似(AA). 2.“直角邊、斜邊”定理:如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似(HL).
例題 例1.如圖,△ABC和△DEF中,∠A=40°, ∠B=80°,∠E =80°,∠F=60°. 求證:△ABC∽△DEF. 例2.如圖,弦 AB和CD相交于⊙O內一點P,求證:PA·PB=PC·PD. 證明:連接AC,DB. ∵∠A和∠D都是弧CB所對的圓周角, ∴∠A= _______ , 同理 ∠C = _______ , ∴ △PAC∽△PDB , ∴ 即 PA·PB= PC·PD.
例3.如圖,已知∠ACB=∠ADC= 90°,AD=2, CD =,當AB的長為多少時,△ACB與△ADC相似． 例4.已知：在 RtΔABC中, CD是斜邊AB上的高．求證:
練習 1.如圖1,已知AB∥DE,∠AFC＝∠E,則圖中相 似三角形共有( ). A. 1對 　　B. 2對 C. 3對 　　D. 4對 2.如圖2,△ABC中, AE交BC于點D,∠C =∠E, AD:DE =3:5,AE=8,BD=4 ,則DC的長等于( ) . 3.如圖3,點D在AB上,當∠ ＝∠ (或∠ =∠ )時,△ACD∽△ABC. 4.如圖4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于點D.若AB=6,AD=2, 則AC= ,BD= ,BC= . 5.如圖5,△ABC的高AD、BE交于點F． 求證： 6.如圖6,∠1=∠2=∠3 ,求證:△ABC∽△ADE． 7.如圖7,BE是△ABC的外接圓O的直徑,CD是△ABC的高,求證：AC·BC=BE·CD.
備注
27.2.2 相似三角形的性質
知識點 相似三角形的性質： 1.相似三角形對應高線(角平分線、中線)的比等于相似比. 2.相似三角形對應線段的比等于相似比. 3.相似三角形(多邊形)周長的比等于相似比. 4.相似三角形(多邊形)面積的比等于相似比的平方.
例題 例1.如圖在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A =∠D．若△ABC的邊BC上的高是6,面積為,求△DEF的邊EF上的高和面積． 例2.如圖,△ABC的面積為100,周長為80, AB=20,點D是AB上一點,BD=12,過點D作 DE∥BC,交AC于點E． (1)求△ADE的周長和面積； (2)過點E作EF∥AB,EF交BC于點F ,求△EFC和四邊形DBFE的面積．
練習 1.填空： (1)已知ΔABC與ΔDEF的相似比為2：3,則對應中線的比為 ,對應角平分線的比為 ,周長比為 ,面積比為 . (2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′面積之比為16：9,則相似比為 ,對應高之比為 ,周長之比為 . (3)已知ΔABC ∽ΔA′B′C′它們對應中線的比為1:3,ΔABC的面積為2,周長為4,則 ΔA′B′C′的面積等于 ,周長等于 . 2.如圖,DE∥BC,DE=1,BC=4, (1)△ADE與△ABC相似嗎？如果相似,求它們的相似比. (2)△ADE的周長:C△ABC＝ . (3) 3.如圖,在 ABCD中,若E是AB的中點,則 (1) AEF與 CDF的相似比為多少？ (2)若 AEF的面積為5cm2,則 CDF的面積為多少？ 4.蛋糕店制作兩種圓形蛋糕,一種半徑15cm,一種半徑是30cm,如果半徑是15cm的蛋糕夠2個人吃,徑是30cm的蛋糕夠多少人吃？(假設兩種蛋糕高度相同) 5. 在一張復印出來的紙上,一個多邊形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm,這次復印的放縮比例是多少？這個多邊形的面積發生了怎樣的變化？
備注
27.2.3 相似三角形應用舉例
知識點 利用相似三角形測量高度:物1高:物2高=影1長:影2長 . 2.求樹高常用的輔助線： 作垂直,作平行,延長兩條直線相交,構造相似三角形. 3.相似三角形的性質： (1)三角對應相等,三邊對應成比例. (2)對應線段的比等于相似比(對應中線、高線、角平分線的比都等于相似比) . (3)周長的比等于相似比. (4)面積的比等于相似比的平方.
例題 例1.如圖,木桿EF長2m,它的影長FD為3m,測得OA為201m,求金字塔的高度BO. 例2.如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直,接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T,確定PT與過點Q 且垂直PS的直線b的交點 R．如果測得 QS＝45m,ST＝90m,QR＝60m,求河的寬度PQ．
例3.已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m,兩樹底部的距離BD＝5m．一個人估計自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進,當她與左邊較低的樹的距離小于多少時,就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？
練習 1.如圖,測得BD=200m,DC=50m, EC=70m,求河寬AB． 2.小明要測量一座古塔的高度,從距他2米的一小塊積水處C看到塔頂的倒影,已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到積水處C的距離是40米.求塔高AB？
3.如圖,教學樓旁邊有一棵樹,數學小組的同學們想利用樹影測量樹高.課外活動時在陽光下他們測得一根長為1米的竹桿的影長是0.9米,當他們馬上測量樹的影子長時,發現樹的影子不全落在地面上,于是他們測得落在地面上的影子長2.7米,落在墻壁上的影長1.2米,求樹的高度.
備注
27.3 .1 位似圖形的概念及畫法
知識點 1.位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心． 2.位似的特征： ⑴位似圖形一定是相似圖形,反之相似圖形不一定是位似圖形． 　⑵判斷位似圖形時,要注意它們必須是相似圖形,其次每一對對應點所在直線都經過同一點． 3.位似的性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比. 位似圖形的位似比等于相似比 .
例題 例1.把四邊形ABCD縮小到原來的. (1) 在四邊形外任選一點O ； (2) 分別在線段OA、OB、OC、OD 上取點A'、B'、C'、D',使得； (3) 順次連接點A'、B'、C'、D',所得四邊形 A'B'C'D'就是所要求的圖形．
練習 1.下列說法不正確的是( ) . A. 位似圖形一定是相似圖形 B. 相似圖形不一定是位似圖形 C. 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離 之比等于相似比 D. 位似圖形中每組對應點所在的直線必相互平行 2.用作位似圖形的方法,可以將一個圖形放大或縮小,位似中心( ). A. 只能選在原圖形的外部 B. 只能選在原圖形的內部 C. 只能選在原圖形的邊上 D. 可以選擇任意位置 3.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比為2∶3,已知AB=4,則DE的長等于( ). A.6 B.5 C.9 D. 4.如圖,正方形 EFGH,IJKL都是正方形ABCD的位似圖形,點P是位似中心. (1)如果相似比為3,正方形ABCD的位似圖形是哪一個？ (2)正方形IJKL是正方形 EFGH 的位似圖形嗎？如果是,求相似比； (3)如果由正方形EFGH得到它的位似圖形正方形ABCD,求相似比. 5.如圖,△ABC與△A′B′C′是位似圖形,點A,B,A′,B′,O共線, 點O為位似中心. (1)AC與A′C′平行嗎 請說明理由; (2)若AB＝2A′B′,OC′=5,求CC′的長.
備注
27.3.2 平面直角坐標系中的位似
知識點 位似圖形的坐標規律: 在平面直角坐標系中,以原點為位似中心,新圖形與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為原點同側(kx,ky)或原點異側(-kx,-ky).
例題 例 如圖,△ABO三個頂點的坐標分別為A(-2,4), B(-2,0), O(0,0).以原點O為位似中心,畫出一個三角形,使它與△ABO的相似比為.
練習 1.如圖表示△AOB和把它縮小后得到的△OCD,求△AOB與△COD的相似比. 2.如圖,△ABO三個頂點的坐標分別為A(4,-5), B (6,0), O(0,0).以原點O為位似中心,把這個三角形放大為原來的2倍,得到△A′B′O′.寫出△A′B′O′三個頂點的坐標.
3.△ABC三個頂點坐標分別為A(-2,-2), B(-4,-2),C(-6,-4),以原點為位似中心,將△ABC放大后得到的△DEF與△ABC的相似比為2∶1,這時△DEF中點D的坐標是 . 4.某學習小組在討論“ 變化的魚 ”時,知道大魚與小魚是位似圖形(如圖所示), 則小魚上的點 (a,b)對應大魚上的點( ) A.(-2a,-2b) B.(-a ,-2b) C.(-2b,-2a) D.(-2a,-b )
5.如圖所示,圖中的小方格都是邊長為1的正方形,△ABC 與△A′B′C′是以O為位似中心的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的頂點上. (1) 畫出位似中心點O; (2) 直接寫出△ABC與△A′B′C′的相似比; (3) 以位似中心O為坐標原點,以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,畫出△A′B′C′關于點O中心對稱的△A″B″C″,并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標．
備注
中考鏈接
第 27 章 相似三角形
備注
28.1.1 銳角三角函數(正弦函數)
知識點 1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90 ,銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦(sine). 即
例題 例1.如圖,已知AB是☉O的直徑,CD是弦,且CD⊥AB,AC=8,BC=6,求的值. 【活動一】如圖,☉O的半徑為3,弦AB的長為4,求sinA的值.
【活動二】如圖：在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=10,,求BC的長. 【活動三】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4, ,求AB的長.
練習 【活動四】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AB=2∶3,求sinA. 1.在Rt△ABC中,銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍,sinA的值( ). A.擴大100倍 B.縮小 C.不變 D.不能確定 2.判斷對錯. 如圖(1) sinA= ( ) (2) sinB= ( ) (3) sinA=0.6m ( ) (4) SinB=0.8 ( ) 3.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,圖中sinB可由哪兩條線段比求得.
備注
28.1.2 銳角三角函數 (余弦和正切函數)
知識點 1.余弦:在RtABC中,銳角A的鄰邊和斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine),記作cosA. 2.正切:在RtABC中,銳角A的對邊和鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent),記作tanA. 3.在RtABC中,對于任意銳角α,有cosα=sin(90°-α) sinα=cos(90°-α) .
例題 1.如圖1,BC=8,AC=6,則： , . 2.如圖2, . 例1.如圖3,在RtABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA和tanA的值.
練習 1.P65課本練習1(1)求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值,余弦值和正切值. 2.在RtABC中,∠C=90°,a=6,b=8,則sinA=_______,cosA=_______,tanA=______. 3.若tan(65°-∠A)=1,則∠A=________. 4.如圖1,在RtABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,,BC=2, 求tan∠BCD的值. 5.如圖2,直徑為10的⊙A經過點C(0,5)和點O(0,0),B是y軸右側⊙A優弧上一點,則cos∠OBC 的值為___________. 6.如圖3,ABC中的各個頂點都在格點上,則sinA=_____,cosB=______, tanC=______. 7.在RtABC中,∠C=90°,,AC=12,求tanB的值.
備注
28.1.3 銳角三角函數 (特殊角的三角函數值)
知識點 1.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 2. 3.在RtABC中,對于任意銳角α,有cosα=sin(90°-α) sinα=cos(90°-α) .
例題 例 1 求下列各式的值： 例2.已知△ABC中的∠A與∠B滿足,試判斷△ABC的形狀． 例3.已知:,求∠A,∠B的度數 . 例4.已知α為銳角,且tanα是方程 x2 +2x-3=0的一個根,求 的值．
練習 計算. sin30°+cos45°； (2) sin230°+ cos230°－tan45°. 如圖,在Rt△ABC中,∠C= 90°,,,求∠A的度數； 3.求滿足下列條件的銳角α. (1)2sinα－=0； (2)tanα－1=0. 4.tan(α+15°)＝1,銳角α的度數應是( ) . A．40° B．30° C．20° D．10° 5.在△ABC中,若,則∠C= . 6.求下列各式的值： 7.若規定sin(α-β)=sinαcosβ－cosαsinβ,求sin15°的值.
備注
28.2.1 解直角三角形及其應用 (解直角三角形)
知識點 解直角三角形的依據 (1) 三邊之間的關系:a2＋ b2＝c2(勾股定理)； (2) 銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90 ； (3) 邊角之間的關系: (4)面積公式：
例題 例1.在Rt△ABC中,∠C= 90o,,,解這個直角三角形？ 例2.在Rt△ABC中,∠C= 90o,∠B= 35o,b=20,解這個直角三角形？
練習 1.在下列直角三角形中不能求解的是( ) . A、已知一直角邊一銳角 B、已知一斜邊一銳角 C、已知兩邊 D、已知兩角 2.Rt△ABC中,∠C=90°,若,AB=10,那么BC=______,tanB=______． 3.如圖,在Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊. (1)已知,,解這個直角三角形？ (2)已知,,解這個直角三角形？ 4.如圖,在Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊. (1)已知,,,解這個直角三角形？ (2)已知,, a=8,解這個直角三角形？ 5.如圖,在Rt△ABC中∠C=90o,∠A=30o,a=5,求∠B,b,c.
備注
28.2.2 解直角三角形及其應用 (俯角、仰角)
知識點 1.解直角三角形的依據 (1) 三邊之間的關系:a2＋ b2＝c2(勾股定理)； (2) 銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90 ； (3) 邊角之間的關系: 2.解直角三角形的技巧：有弦(斜邊)用弦,無弦用切. 3.解法:只要知道五個元素中的兩個元素(至少有一個是邊),就可以求出余下的三個未知元素.
例題 例1.2012年6月18日,“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在 離地球表面343km的圓形軌道上運行,如圖,當組合體運行到地球表面P點的正上方時,從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少(地球半徑約為6400km,π取3.142,結果取整數)？ 例2.熱氣球的探測器顯示,從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°,看這棟樓底部的俯角為60°,熱氣球與樓的水平距離為120m,這棟樓有多高(結果取整)？
練習 1.建筑物BC上有一旗桿AB,由距 BC 40m的 D 處觀察旗桿頂部A的仰角54°,觀察底部 B 的仰角為45°,求旗桿的高度(精確到0.1m) 2.如圖,沿AC方向開山修路．為了加快施工進度,要在小山的另一邊同時施工,從AC上的一點B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那么開挖點E離D多遠正好能使A,C,E成一直線(精確到0.1m). ( ) 3.如圖,為固定電線桿AC,在離地面高度為6m的A處引拉線AB,使拉線AB與地面上的BC的夾角為48°,則拉線AB的長度約為 (　　) (結果精確到0.1m,sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)
備注
28.2.3 解直角三角形及其應用(方向角、坡度)
知識點 1.方向角的定義：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方位角. 2.利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是： (1)將實際問題轉化為幾何問題(畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問題)； (2)根據條件的特點,選用適當銳角三角函數去解直角三角形； (3)得到數學問題的答案； (4)得到實際問題的答案． 3.坡角:坡面與水平面的夾角叫做坡角,用字母α表示. 4.坡度比(坡比):坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度,用字母i表示,如圖,坡度比通常寫成的形式.
例題 例1.如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向,距離燈塔80海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處,這時,海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(結果取整數)？ 例2.如圖,防洪大堤的橫截面是梯形ABCD,其中AD∥BC,α=60°,汛期來臨前對其進行了加固,改造后的背水面坡角β=45°．若原坡長AB=20m,求改造后的坡長AE．(結果保留根號)
練習 1.海中有一個小島A,它周圍8海里內有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航行,在B點測得小島A在北偏東60°方向上,航行12海里到達C點,這時測得小島A在北偏東30°方向上,如果漁船不改變航線繼續向東航行,有沒有觸礁的危險？ 2.如圖1,完成下列填空： (1)斜坡的坡度是,則坡角a= ； (2)斜坡的坡角是45°,則坡比是 ； (3)斜坡長是12米,坡高6米,則坡比是 ； 4.如圖2,一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發,沿山坡向上走了240m到達點B.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米(角度精確到0.01°,長度精確到0.1m)？ 5.如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據圖中給出的數據,求壩高和壩底寬(精確到0.1m).
備注
中考鏈接
第 28章 銳角三角函數 (2021)23．如圖,A,B是海面上位于東西方向的兩個觀測點,有一艘海輪在C點處遇險發出求救信號,此時測得C點位于觀測點A的北偏東45°方向上,同時位于觀測點B的北偏西60°方向上,且測得C點與觀測點A的距離為海里． （1）求觀測點B與C點之間的距離； （2）有一艘救援船位于觀測點B的正南方向且與觀測點B相距30海里的D點處,在接到海輪的求救信號后立即前往營救,其航行速度為42海里/小時,求救援船到達C點需要的最少時間． (2022)23．如圖,海中有兩小島C,D,某漁船在海中的A處測得小島C位于東北方向,小島D位于南偏東30°方向,且A,D相距10 nmile．該漁船自西向東航行一段時間后到達點B,此時測得小島C位于西北方向且與點B相距8 nmile．求B,D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）． (2023)22．如圖,某數學興趣小組為了測量古樹DE的高度,采用了如下的方法：先從與古樹底端D在同一水平線上的點A出發,沿斜面坡度為的斜坡AB前進m到達點B,再沿水平方向繼續前進一段距離后到達點C．在點C處測得古樹DE的頂端E的俯角為37°,底部D的俯角為60°,求古樹DE的高度（參考數據：,,,計算結果用根號表示,不取近似值）． (2024)22．（8分）如圖,海中有一個小島C,某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上,該漁船由西向東航行一段時間后到達B點,測得小島C位于北偏西方向上,再沿北偏東方向繼續航行一段時間后到達D點,這時測得小島D位于北偏西方向上．已知A,C相距30n mile．求C,D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）．
備注
29.1.1 投影(平行投影與中心投影)
知識點 1.平行投影:由平行光線形成的投影是平行投影. 2.平行投影的光源為平行光線,一般有探照燈、太陽光. 3.中心投影:由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影. 4.中心投影的光源為點光源,一般有燈泡、蠟燭,其光線相交于一點.
例題 例1.某校墻邊有甲、乙兩根木桿.已知乙桿的高度為1.5m.某一時刻甲木桿在陽光下的影子如下圖所示,你能畫出此時乙木桿的影子嗎？ 例2.確定下圖路燈燈泡所在的位置.
例3.下面兩幅圖分別是兩棵小樹在同一時刻的影子.你能判斷出哪幅圖是燈光下形成的,哪幅圖是太陽光下形成的嗎？ 例4.如圖,路燈(P點)距地面8米,身高1.6米的小明從距路燈的底部(O點)20米的A點沿OA所在的直線行走14米到B點時,影子的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？
練習 1.下列物體的影子中,不正確的是( ). 2.高4米的旗桿在水平地面上的影子長6米,此時測得附近一個建筑物的影子長30米,則此建筑物的高度為( ). A.45 B.35 C.20 D.10
3.如圖所示,表示兩棵小樹在同一時刻陽光下的影子的圖形是( ). 4.如圖所示,夜晚路燈下同樣高的旗桿,離路燈越近,它的影子( ). A.越長 B.越短 C.一樣長 D.無法確定
5.下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子,將它們按時間先后順序排列正確的是 ( ). 6.一位同學想利用樹影測樹高,已知在某一時刻直立于地面的長1.5m的竹竿的影長為3m,但當他馬上測量樹影時,發現樹的影子有一部分落在墻上.經測量,留在墻上的影高CD=1.2m,地面部分影長BD=5.4m,求樹高AB.
備注
29.1.2 投影(正投影)
知識點 1.平行投影:由平行光線形成的投影是平行投影. 2.平行投影的光源為平行光線,一般有探照燈、太陽光. 3.中心投影:由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影. 4.中心投影的光源為點光源,一般有燈泡、蠟燭,其光線相交于一點. 5.線段：平行長相等,傾斜長縮短,垂直成一點. 6.平行四邊形：平行形不變,傾斜形改變,垂直成線段.
例題 例 畫出如圖擺放的正方體在投影面P上的正投影． (1) 正方體的一個面ABCD平行于投影面P； (2) 正方體的一個面ABCD傾斜于投影面P,底面ADEF垂直于投影面P,并且其對角線AE垂直于投影面P．
練習 1.球的正投影是( ). A.圓面 B.橢圓面 C.點 D.圓環 2.木棒長為 1.2m ,則它的正投影的長一定( ). A.大于1.2m B.小于1.2m C.等于1.2m D.小于或等于1.2m 3.小明在操場上練習雙杠時,在練習的過程中他發現在地上雙杠的兩橫杠的影子( ). A.相交 B.平行 C.垂直 D.無法確定 4.下圖水杯的杯口與投影面平行,投影線的方向如箭頭所示,它的正投影圖是( ). 5.畫出下列立體圖形投影線從上方射向下方的正投影． 6.一個長8cm的木棒AB,已知AB平行于投影面α,投影線垂直于α. (1)求影子A1B1的長度 (如圖①)； (2)若將木棒繞其端點A逆時針旋轉30°,求旋轉后木棒的影長A2B2(如圖②)．
備注
29.2.1 三視圖(簡單的三視圖)
知識點 1.在正面得到的由前向后觀察物體的視圖,叫主視圖(從前面看). 2.在側面內得到由左向右觀察物體的視圖,叫左視圖(從左面看). 3.在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖,叫俯視圖(從上面看). 4.三視圖是主視圖、俯視圖、左視圖的統稱. 注意：看得見的輪廓線畫實線,看不見的輪廓線畫虛線.
例題 例1.畫出圖中基本幾何體的三視圖. 例2.畫出如圖所示的支架的三視圖,其中支架的兩個臺階的高度和寬度相等．
例3.如圖,分別根據三視圖(1)(2)說出立體圖形的名稱. 例4.根據物體的三視圖描述物體的形狀.
例5.如圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖,則搭成這個幾何體的小正方體的個數是 個.
練習 1.畫出如圖所示的正三棱柱、圓錐、半球的三視圖. 2.如下圖幾何體,請畫出這個物體的三視圖.
3、圖是一根鋼管的直觀圖,畫出它的三視圖． 4.畫出幾何體的三視圖.
5.根據下列物體的三視圖,填出幾何體的名稱： (1)如圖①所示的幾何體是__________； (2)如圖②所示的幾何體是__________. 6.請根據下面提供的三視圖,畫出幾何圖形.
7.根據下面三視圖請說出建筑物是什么樣子的 共有幾層 一共需要多少個小正方體
備注
29.2.2 三視圖(復雜圖形的三視圖)
知識點 1.在正面得到的由前向后觀察物體的視圖,叫主視圖(從前面看). 2.在側面內得到由左向右觀察物體的視圖,叫左視圖(從左面看). 3.在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖,叫俯視圖(從上面看). 4.三視圖是主視圖、俯視圖、左視圖的統稱. 注意：看得見的輪廓線畫實線,看不見的輪廓線畫虛線.
例題 例1.某工廠要加工一批密封罐,設計者給出了密封罐的三視圖,請按照三視圖確定制作每個密封罐所需鋼板的面積.(結果可保留根號,圖中單位尺寸:mm)
練習 1.如圖是一個幾何體的三視圖,根據圖中所示數據,求這個幾何體的側面積為(　　) . 2.如圖,已知某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　　) .
3.如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖,請你根據圖中數據,計算這個密封紙盒的表面積為 cm2(結果可保留根號) 4.2019年6月17日四川省長寧縣發生6.0級地震,救災人員臨 時搭建了很多帳篷,帳篷的三視圖如圖所示(單位:m),根據三視圖可 以得出每頂帳篷(無底)的表面積為(　　) . A.6πm2 B.9πm2 C.12πm2 D.18πm2
如圖,一個幾何體的三視圖分別是兩個矩形、一個扇形,則這個幾何體的體積為 　； 表面積為 　.
備注
中考鏈接
第 29 章 投影 (2018)4.如圖是一個由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形,它的俯視圖是(　　) A． B． C． D． (2019)4.下列立體圖形中,俯視圖是三角形的是(　　). A． B． C． D． (2020)3.如圖所示的幾何體的主視圖是(　　). A． B． C． D． (2021)3.下列立體圖形中,主視圖是圓的是(　　). A． B． C． D． (2022)3.如圖是一個由6個大小相同的正方體組成的幾何體,它的俯視圖是(　　). A． B． C． D． (2023)4.一個立體圖形的三視圖如圖所示,則該立體圖形是(　　). A．圓柱 B．圓錐 C．長方體 D．三棱柱 (2024)3.下列幾何體中,其三視圖的主視圖和左視圖都為矩形的是(　　). A． B． C． D．
備注人民教育出版社(2012 版)
學
習
資
九年級下冊
料
班級：
姓名：
2024 年 9 月
第 1 頁
26.1.1 反比例函數
1.一次函數:y=kx+b(k,b是常數,且 k≠0)
知
2.正比例函數:y=kx(k是常數,且 k≠0)

識 3.反比例函數:y= (k是常數,且 k≠0)

點 -14.反比例函數的三種表達方式:y= y=kx x y=k(注意 k≠0)
問題.你能用等式來表示嗎？
(1)京滬線鐵路全程長1463km,某次列車的平均速度為 v(單位:km/h)隨此次列車的全程運行時
間 t(單位:h)的變化而變化；
2
(2)某住宅小區要種植一塊面積為 1000m 的矩形草坪,草坪的長 y(單位:m)隨寬 x(單位:m)的
變化而變化；
例 2 2(3)已知北京市的總面積為 km ,人均占有面積 S(單位:km /人)隨全市總人口 n(單位:人)的變
化而變化；
題 例 1.已知 y是 x的反比例函數,并且當 x=2 時,y=6.
(1)寫出 y關于 x的函數解析式.
(2)當 x=4 時,求 y的值.
1.y是 x的反比例函數,下表給出了 x與 y的一些值.
1 1x -2 -1 - 1 3
2 2
2
y 2 -1
3
(1)寫出這個反比例函數的表達式;
(2)根據函數表達式完成上表.

2.點(4,6)滿足反比例函數 y= ,則下面點滿足這個函數的是( ).

A.(-4,6) B.(3,-8) C.(-3,-8) D.(-2,12)
m 4
練 4.若 y= 是反比例函數關系式,則 m應滿足的條件是_____.
習 5.已知函數是反比例函數 y xm 9 ,則 m=_____；
6.已知函數,當 x＝1時,y＝－3,當 x=-3 時,y=_____.
2 2
7.已知函數 y=(m -2m) + 1
(1)若 y是 x的正比例函數,求 m的值；
(2)若 y是 x的反比例函數,求其函數解析式.
8.已知 y＝y1＋y2,y1與 x成正比例,y2與(x-2)成反比例,當 x＝1時,y＝2；當 x＝3時,y＝10.求:
(1)y關于 x的關系式；
(2)當 x＝－1時,y的值.
備
注
第 2 頁
26.1.2.1 反比例函數的圖象和性質(K的幾何意義)
知
識
點
6 12
例 1.畫出反比例函數 y= 和 y= 的圖象.

6 12
(1)觀察反比例函數 y= 和 y= 的圖象,有哪些性質呢？

k
(2)對于反比例函數 y= (k>0)你能得出同樣的結論嗎？
例
6
(3)函數圖象在哪幾個象限？與 y= 中的函數圖象有什么不同？為什么會有這樣的變化？
題
1.請將下列函數圖象是哪些函數？
圖 1
2.已知反比例函數的圖象如圖1所示,則 k 0,在圖象的每一分支上,y隨 x的增大而 .
練 k3.已知反比例函數 y= 的圖象過點(2,1),則它的圖象在 象限,k 0．

習 34.y=- (x>0)的圖象叫 ,圖象位于象限 .

5.寫出一個圖象在二、四象限內的反比例函數 .
m
6.反比例函數 y= 的圖象兩支分布在第二、四象限,則點(m,m-2)在第 象限.

y m2 27.已知函數 =( -2m) + 1是反比例函數,且圖象經過一、三象限,求 m的值.
備
注
第 3 頁
26.1.2.2 反比例函數的圖象和性質
1. 待定系數法求反比例函數解析式步驟:
知 k（1）設:設反比例函數解析式為 y= (k≠0)

識 （2）列:代入點坐標列出方程
（3）解:解方程
點 （4）還原:還原反比例函數解析式
例 3.已知反比例函數的圖象經過點 A(2,6)．
(1)這個函數的圖象位于哪些象限？y隨 x的增大如何變化？
(2)你能求出它的表達式嗎？
例
題
y m 51.如圖 1,它是反比例函數 = 圖象的一支,根據圖象,回答問題:
圖 1
(1)圖象的另一支位于哪個象限？常數 m的取值范圍是什么？
(2)在這個函數圖象的某一支上任取 A(x1,y1)和點 B(x2,y2),如果 x1＞x2,
那么 y1和 y2有怎樣的關系？
2.如圖 2,是反比例函數 y 1 k= 的圖象,則 k的值可以是( ) 圖 2

練 A．－1 B．3 C．1 D．0
k
習 3.已知反比例函數 y= 的圖象經過點 A(2,－4).
(1)求 k的值；
(2)這個函數的圖象分布在哪些象限？y隨 x的增大如何變化
(3)畫出該函數的圖象；
(4)點 B(1,－8),C(－3,5)是否在該函數的圖象上
備
注
第 4 頁
26.1.2.3 反比例函數中幾何性質
y k k知 1.反比例函數 = 圖象任一 2.反比例函數 y= 圖象中三
點向坐標軸作垂線圍成的
識 角形的面積:S
1
三角形= |k|
矩形的面積 S =|k|. 2矩形
點
k
例 1.如圖,點 A在反比例函數 y= 的圖象上,AC垂直 x軸于點 C,且△AOC的面積為 2,求該反

比例函數的表達式．
例
題
k
1.如圖,過反比例函數 y= 圖象上的一點 P,作 PA⊥x軸于 A,若△

POA的面積為 6,則 k= .
2.若點 P是反比例函數圖象上的一點,過點 P分別向 x軸、y軸作垂線,垂足分別
為點 M,N,若四邊形 PMON的面積為 3,則這個反比例函數的關系式是 .
4
3.如圖,P,C是函數 y= (x>0)圖像上的任意兩點,PA,CD垂直于 x軸.設 S
△POA
為 S1,
練
則 S1= ；
習
若 S 梯形 CEAD為 S2,則 S1 S2；
若 S△POE為 S3,那么 S2 S3
4
4.如圖,點 A 是反比例函數 y= (x>0)的圖象上任意一

6
點,AB//x軸交反比例函數 y=- (x>0)的圖象于點 B,C在 x軸

上,則 S△ABC= .
備
第 5 頁
注
26.2.1 實際問題與反比例函數
1.待定系數法求反比例函數解析式步驟:
知 (1)設:設反比例函數解析式為 y k= (k≠0)

識 (2)列:代入點坐標列出方程
(3)解:解方程
點 (4)還原:還原反比例函數解析式
3
例 1.市煤氣公司要在地下修建一個容積為 104m 的圓柱形煤氣儲存室.
2
(1)儲存室的底面積 S(單位:m )與其深度 d(單位:m)有怎樣的函數關系
2
(2)公司決定把儲存室的底面積 S定為 500m ,施工隊施工時應該向下掘進多深
(3)當施工隊按(2)中的計劃掘進到地下 15m時,公司臨時改變計劃,把儲存室的深度改為 25m.
相應地,儲存室的底面積應改為多少
例 例 2.碼頭工人每天往一艘輪船上裝載 30 噸貨物,裝載完畢恰好用了 8天時間
(1)輪船到達目的地后開始卸貨,平均卸貨速度 v(單位:噸/天)與卸貨天數 t之間有怎樣的函數
題 關系？
(2)由于遇到緊急情況,要求船上的貨物不超過 5 天卸載完畢,那么平均每天至少要卸載多少
噸？
例 3.一司機駕駛汽車從甲地去乙地,他以 80 千米/時的平均速度用 6小時達到乙地.
(1)甲、乙兩地相距多少千米？
(2)當他按原路勻速返回時,汽車的速度 v與時間 t有怎樣的函數關系？
3
1.某鄉鎮要在生活垃圾存放區建一個老年活動中心,這樣必須把 1200m 的生活垃圾運走．
3
(1)假如每天能運 xm ,所需時間為 y天,寫出 y與 x之間的函數關系式；
3
(2)若每輛拖拉機一天能運 12m ,則 5 輛這樣的拖拉機要用多少天才能運完？
(3)在(2)的情況下,運了 8 天后,剩下的任務要在不超過 6 天的時間內完成,那么至少需要增加
多少輛這樣的拖拉機才能按時完成任務？
2.面積為 2 的直角三角形一直角邊為 x,另一直角邊長為 y,則 y與 x的變化規律用圖象可大致
表示為()
練
習 3.學校鍋爐旁建有一個儲煤庫,開學時購進一批煤,現在知道:按每天用煤 0.6 噸計算,一學期
(按 150 天計算)剛好用完.若每天的耗煤量為 x噸,那么這批煤能維持 y天.
(1)則 y與 x之間有怎樣的函數關系？
(2)若每天節約 0.1 噸,則這批煤能維持多少天？
4.王強家離工作單位的距離為 3600 米,他每天騎自行車上班時的速度為 v米/分,所需時間為 t
分鐘.
(1)速度 v與時間 t之間有怎樣的函數關系？
(2)若王強到單位用 15 分鐘,那么他騎車的平均速度是多少？
(3)如果王強騎車的速度最快為 300 米/分,那他至少需要幾分鐘到達單位？
備
第 6 頁
注
中考鏈接
(2020)22．如圖,在平面直角坐標系 xOy中,已知一次函數 y＝ x+b的圖象與反比例函數 y＝ 的圖象相交
于 A,B兩點,且點 A的坐標為(a,6)．
(1)求該一次函數的解析式；
(2)求△AOB的面積．
(2021)22．一次函數 y＝kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數 y＝ 的圖象相交于A(2,3),B(6,n)
兩點．(1)求一次函數的解析式；
(2)將直線 AB沿 y軸向下平移 8 個單位后得到直線 l,l與兩坐標軸分別相交于M,N,與反比例函數的
圖象相交于點 P,Q,求 的值．
第
22 , = 3 + = 12(2022) ．如圖 直線 與反比例函數 的圖象相交于點 , ,已知點 的縱坐標為 6
26 2
章 (1)求 的值；
(2)若點 是 軸上一點,且△ 的面積為 3,求點 的坐標．
反
比 (2023)23．如圖,在平面直角坐標系 xOy中,直線 l:y＝kx+2 與 x,y軸分別相交于點 A,B,
例 與反比例函數 y＝ (x＞0)的圖象相交于點 C,已知 OA＝1,點 C 的橫坐標為
函 2．
(1)求 k,m的值；
數
(2)平行于 y 軸的動直線與 l 和反比例函數的圖象分別交于點 D,E,若以
B,D,E,O為頂點的四邊形為平行四邊形,求點 D的坐標．
(2024)23．(8 分)如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,一次函數 y kx b與 x軸相交于點 A( 2,0) ,與反比例函數
y a 的圖象相交于點 B(2,3) ．
x
(1)求一次函數和反比例函數的解析式；
(2) x m(m 2) y a (x 0) y 2直線 與反比例函數 和 (x 0) 的圖象
x x
分別交于點C ,D ,且 S OBC 2S OCD ,求點C的坐標．
備
注
第 7 頁
第 8 頁
27.1.1 圖形的相似
1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫相似圖形.
知 2.如果 a,b,c,d a c四條線段是比例線段,那么 .
b d
識 3.判斷已知的四條線段是否成比例:按從小到大的順序排列,用最短的線段長度乘以最長的線
段長度,再計算中間兩條線段長度的乘積,如果積相等,一定成比例,如果積不相等,一定不成比
點
例.
例 1.判斷下列線段 a、b、c、d 是否是成比例線段：
(1) a＝4,b＝6,c＝5,d ＝10；
(2) a ＝2 ， b ＝ 5 ， c ＝2 15 ， d ＝5 3 ；
例
題
例 2.在比例尺為 1:10000000 的地圖上,量得甲乙兩地的距離是 30cm,求兩地的實際距離.
1.如圖是一個女孩從平面鏡和哈哈鏡里看到的 2.如圖,圖形(a)～(f )中,哪些與圖形(1)或
自己的形象,這些鏡中的形象相似嗎？ (2)相似？
3.一把矩形米尺 1,長 1m,寬 3cm,則這把米尺的長和寬的比為( ) .
練 A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3
4.甲、乙兩地相距 35km,圖上距離為 7cm,則這張圖的比例尺為( ) .
習 A.5:1 B.1:5 C.1:500000 D.500000:1
5.甲、乙兩地相距 200km,這張圖的比例 1:10000000,則兩地的圖上距離是 cm.
6.已知線段 a、b、c a b滿足關系式 ,且 b=4,那么 ac= .
b c
7. a 3 a b b已知 ,那么 、 各等于多少？
b 2 b a b
備
注
第 9 頁
27.1.2 圖形的相似
1.相似多邊形的特征：對應角相等,對應邊的比相等.
2.相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個
多邊形叫做相似多邊形.
知
識
點
例 1.如圖所示的兩個三角形相似嗎？為什么？
例 例 2.如圖,四邊形 ABCD和 EFGH相似,求角α,β的大小和 EH的長度 x．
題
例 3.如圖,點 E、F分別是矩形 ABCD的邊 AD、BC的中點,若矩形 ABCD
與矩形 EABF相似,AB=1,求矩形 ABCD的面積.
1.如圖所示的兩個五邊形相似,求 a,b,c,d的值.
2.在兩個相似的五邊形中,一個五邊形各邊長分別為 1,2,3,4,5,另一個五邊形最大邊為 10,則
最短的邊為 .
練 3.△ABC與△DEF相似,且相似比是 k,則△DEF與△ABC的相似比是 .
4.將矩形 ABCD沿兩條較長邊的中點的連線對折,得到的矩形 EADF與矩形 ABCD相似,確定
習 矩形 ABCD長與寬的比.
備
注
第 10 頁
27.2.1 .1 平行線分線段成比例
1.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例.
說明：①定理的條件是“ 三條平行線截兩條直線 ”.
②是“對應線段成比例”,注意“對應”兩字.
知
識
點
2.推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的對應線段成比例.
例 1.如圖,在△ABC中,EF∥BC.
(1) 如果 E、F分別是 AB和 AC上的點,AE=BE=7,FC=4,那么 AF的長是多少？
(2) 如果 AB=10,AE=6,AF=5,那么 FC的長是多少？
例 例 2.如圖所示,如果 D,E,F分別在 OA,OB,OC上,且 DF∥AC,EF∥BC．
求證：OD∶OA＝OE∶OB
題
1. 如圖,F 為□ABCD 的邊 AD 延長線上一點,BF 2. 如圖,在△ABC中,D為 AC上一點,E為 CB
GE BE 的延長線上一點,連接 ED交 AB于點 F.且
分別交 CD,AC于點 G,E. 求證:
EB EF AC EF ,DG//AB.
BC FD
求證:AD=EB.
練
3. 如圖,在△ABC中,AM 是 BC邊上的中線, 4. 如圖,在△ABC中,∠ACB的平分線 CD交
習
直線 DN//AM ,交 AB于點 D,交 CA的延長線 AB 于點D,過 B作 BE//CD
于點 E BC AD AE 交 AC于點 E.,交 于點 N.求證: .
AB AC AD AC
求證: .
BD BC
備
注
第 11 頁
27.2.1.2 相似三角形的判定(SSS、SAS)
1.三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．(SSS)
知
識
2.兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．(SAS)
點
例 1.圖中的兩個三角形是否相似？為什么？
例 例 2.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為 4,5,6.另一個
三角形框架的一邊長為 2,它的別外兩條邊長應當是多少？你有幾種答案？
題
例 3.如圖,AB AE=AD AC,且∠1=∠2,求證：△ABC∽△AED．
1.如圖,D,E分別是△ABC的邊 AC、AB上的 2.如圖,在△ABC 中,CD 是邊 AB 上的高且
點 ,AE=1.5,AC=2,BC=3,
CD2AD 3 AD BD ,求證:∠ACB=90°．
且 ,求 DE的長.
AB 4
練
3.已知：如圖,在正方形 ABCD中,P是 BC上 4.如圖,在正方形 ABCD中,E是 AD的中點,
習 的點,且BP=3PC,Q是CD的中點.ΔADQ與Δ 點 F在 CD上,且 CF=3FD.
QCP 是否相似？為什么？ (1)求證：△ ABE ∽△ DEF ．
(2)△ABE與△DEF相似嗎？為什么？
備
注
第 12 頁
27.2.1.3 相似三角形的判定(AA、HL)
1.利用兩組角判定兩個三角形相似的定 2.“直角邊、斜邊”定理:如果一個直角三角形的
知 理：兩角分別相等的兩個三角形相似(AA). 斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和
一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相
識 似(HL).
點
例 1.如圖,△ABC和△DEF中,∠A=40°, 例 2.如圖,弦 AB和 CD相交于⊙O內一點 P,
∠B=80°,∠E =80°,∠F=60°. 求證:PA·PB=PC·PD.
求證:△ABC∽△DEF. 證明:連接 AC,DB.
∵∠A和∠D都是弧 CB所對
的圓周角,
∴∠A= _______ ,
同理 ∠C = _______ ,
例 ∴ △PAC∽△PDB ,
∴ 即 PA·PB= PC·PD.
題 例 3.如圖,已知∠ACB=∠ADC= 90°,AD=2, 例 4.已知：在 RtΔABC中, CD是斜邊 AB上
的高．求證:
CD = 2 ,當 AB 的長為多少時,△ACB 與△
AC 2 AD AB;CD2 AD BD;BC 2 BD AB
ADC相似．
圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5
1.如圖 1,已知 AB∥DE,∠AFC＝∠E,則圖中相 似三角形共有( ).
A. 1 對 B. 2 對 C. 3 對 D. 4 對
2.如圖 2,△ABC中, AE交 BC于點 D,∠C =∠E, AD:DE =3:5,AE=8,BD=4 ,則 DC的長等
于( ) .
練 3.如圖 3,點 D在 AB上,當∠ ＝∠ (或∠ =∠ )時,△ACD∽△ABC.
4.如圖 4,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于點 D.若 AB=6,AD=2,
習 則 AC= ,BD= ,BC= . 圖 6 圖 7
5.如圖 5,△ABC的高 AD、BE交于點 F．
AF EF
求證：
BF FD
6.如圖 6,∠1=∠2=∠3 ,求證:△ABC∽△ADE．
7.如圖 7,BE是△ABC的外接圓 O的直徑,CD是△ABC的高,求證：AC·BC=BE·CD.
備
注
第 13 頁
27.2.2 相似三角形的性質
知 相似三角形的性質：
1.相似三角形對應高線(角平分線、中線)的比等于相似比.
識 2.相似三角形對應線段的比等于相似比.
3.相似三角形(多邊形)周長的比等于相似比.
點 4.相似三角形(多邊形)面積的比等于相似比的平方.
例 1.如圖在△ABC和△DEF 例 2.如圖,△ABC 的面積為 100,周長為 80,
中,AB=2DE,AC=2DF,∠A =∠D．若△ABC的 AB=20,點 D 是 AB 上一點,BD=12,過點 D 作
DE∥BC,交 AC于點 E．
邊 BC上的高是6,面積為12 5 ,求△DEF的邊
(1)求△ADE的周長和面積；
例 EF上的高和面積． (2)過點 E作 EF∥AB,EF交 BC于點 F ,求△
EFC和四邊形 DBFE的面積．
題
1.填空：
(1)已知ΔABC與ΔDEF的相似比為2：3,則對應中線的比為 ,對應角平分線的比為 ,
周長比為 ,面積比為 .
(2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′面積之比為 16：9,則相似比為 ,對應高之比為 ,周
長之比為 .
(3)已知ΔABC ∽ΔA′B′C′它們對應中線的比為 1:3,ΔABC 的面積為 2,周長為 4,則
ΔA′B′C′的面積等于 ,周長等于 .
2.如圖,DE∥BC,DE=1,BC=4,
(1)△ADE與△ABC相似嗎？如果相似,求它們的相似比.
(2)△ADE的周長:C△ABC＝ .
S
(3) ADE
練 S ABC
3.如圖,在 ABCD中,若 E是 AB的中點,則
習 (1) AEF與 CDF的相似比為多少？
(2)若 AEF 2的面積為 5cm ,則 CDF的面積為多少？
4.蛋糕店制作兩種圓形蛋糕,一種半徑15cm,一種半徑是30cm,如果半徑是15cm的蛋糕夠2個
人吃,徑是 30cm的蛋糕夠多少人吃？(假設兩種蛋糕高度相同)
5. 在一張復印出來的紙上,一個多邊形的一條邊由原圖中的 2cm變成了 6cm,這次復印的放縮
比例是多少？這個多邊形的面積發生了怎樣的變化？
備
注
第 14 頁
27.2.3 相似三角形應用舉例
1. 利用相似三角形測量高度:物 1高:物 2高=影 1長:影 2長 .
2.求樹高常用的輔助線：
知
作垂直,作平行,延長兩條直線相交,構造相似三角形.
3.相似三角形的性質：
識
(1)三角對應相等,三邊對應成比例.
(2)對應線段的比等于相似比(對應中線、高線、角平分線的比都等于相似比) .
點
(3)周長的比等于相似比.
(4)面積的比等于相似比的平方.
例 1.如圖,木桿 EF長 2m,它的影長 例2.如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一
FD為 3m,測得 OA為 201m,求金字 個目標點 P,在近岸取點 Q和 S,使點 P、Q、S共線且直
塔的高度 BO. 線 PS與河垂直,接著在過點 S且
與 PS垂直的直線 a上選擇適當
的點T,確定PT與過點Q 且垂直
PS的直線 b的交點 R．如果測得
QS＝45m,ST＝90m,QR＝60m,
例 求河的寬度 PQ．
題
例 3.已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是 AB＝8m和 CD＝12m,兩樹
底部的距離 BD＝5m．一個人估計自己眼睛距地面 1.6m.她沿著正對這兩
棵樹的一條水平直路 l從左向右前進,當她與左邊較低的樹的距離小于多
少時,就不能看到右邊較高的樹的頂端點 C了？
1.如圖,測得 BD=200m,DC=50m, 2.小明要測量一座古塔的高度,從距他 2 米的一小塊積
EC=70m,求河寬 AB． 水處 C看到塔頂的倒影,已知小明的眼部離地面的高度
DE是1.5米,塔底中心 B到積水處 C的距離是40米.求
塔高 AB？
練
習 3.如圖,教學樓旁邊有一棵樹,數學小組的同學們想利用樹影測量樹高.課外活動時在陽光下他
們測得一根長為1米的竹桿的影長是0.9米,當他們馬上測量樹的影子
長時,發現樹的影子不全落在地面上,于是他們測得落在地面上的影子
長 2.7 米,落在墻壁上的影長 1.2 米,求樹的高度.
備
注
第 15 頁
27.3 .1 位似圖形的概念及畫法
1.位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,那么這樣的兩個
知 圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心．
2.位似的特征：
識 ⑴位似圖形一定是相似圖形,反之相似圖形不一定是位似圖形．
⑵判斷位似圖形時,要注意它們必須是相似圖形,其次每一對對應點所在直線都經過同一點．
點 3.位似的性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.
位似圖形的位似比等于相似比 .
1
例 1.把四邊形 ABCD縮小到原來的 .
2
(1) 在四邊形外任選一點 O ；
' ' ' '
(2) 分別在線段 OA、OB、OC、OD 上取點 A'、B'、C'、D',使得OA OB OC OD 1 ；
OA OB OC OD 2
例 (3) 順次連接點 A'、B'、C'、D',所得四邊形 A'B'C'D'就是所要求的圖形．
題
1.下列說法不正確的是( ) .
A. 位似圖形一定是相似圖形 B. 相似圖形不一定是位似圖形
C. 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離 之比等于相似比
D. 位似圖形中每組對應點所在的直線必相互平行
2.用作位似圖形的方法,可以將一個圖形放大或縮小,位似中心( ).
A. 只能選在原圖形的外部 B. 只能選在原圖形的內部
C. 只能選在原圖形的邊上 D. 可以選擇任意位置
3.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比為 2∶3,已知 AB=4,則 DE的長等于( ).
A.6 B 8.5 C.9 D.
3
練 4.如圖,正方形 EFGH,IJKL都是正方形 ABCD的位似圖形,點 P是位似中心.
(1)如果相似比為 3,正方形 ABCD的位似圖形是哪一個？
習 (2)正方形 IJKL是正方形 EFGH 的位似圖形嗎？如果是,求相似比；
(3)如果由正方形 EFGH得到它的位似圖形正方形 ABCD,求相似比.
5.如圖,△ABC與△A′B′C′是位似圖形,點 A,B,A′,B′,O共線, 點 O為位似中心.
(1)AC與 A′C′平行嗎 請說明理由;
(2)若 AB＝2A′B′,OC′=5,求 CC′的長.
備
注
第 16 頁
27.3.2 平面直角坐標系中的位似
知
位似圖形的坐標規律:
識 在平面直角坐標系中,以原點為位似中心,新圖形與原圖形的相似比為 k,那么與原圖形上
的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為原點同側(kx,ky)或原點異側(-kx,-ky).
點
例 如圖,△ABO三個頂點的坐標分別為 A(-2,4), B(-2,0), O(0,0).以原點 O為位似中心,
3
畫出一個三角形,使它與△ABO的相似比為 .
2
例
題
1.如圖表示△AOB和把它縮小后得到的 2.如圖,△ABO三個頂點的坐標分別為 A(4,-5), B
△OCD,求△AOB (6,0), O(0,0).以原點 O為
與△COD的相似 位似中心,把這個三角形放大
比. 為原來的2倍,得到△A′B′
O′.寫出△A′B′O′三個
頂點的坐標.
4.某學習小組在討論“ 變化的魚 ”時,知道大魚
3.△ABC三個頂點坐標分別為 A(-2,-2), 與小魚是位似圖形(如圖所示), 則小魚上的點
B(-4,-2),C(-6,-4),以原點為位似中心, (a,b)對應大魚上的點( )
練 將△ABC放大后得到的△DEF與△ABC A.(-2a,-2b)
的相似比為 2∶1,這時△DEF中點 D的坐 B.(-a ,-2b)
習 標是 . C.(-2b,-2a)
D.(-2a,-b )
5.如圖所示,圖中的小方格都是邊長為 1 的正方形,△ABC 與△A′B′C′是以 O為位似中心
的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的頂點上.
(1) 畫出位似中心點 O;
(2) 直接寫出△ABC與△A′B′C′的相似比;
(3) 以位似中心 O為坐標原點,以格線所在直線為坐標軸建
立平面直角坐標系,畫出△A′B′C′關于點 O中心對稱的
△A″B″C″,并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標．
備
注
第 17 頁
中考鏈接
第
27
章
相
似
三
角
形
備
注
第 18 頁
第 19 頁
28.1.1 銳角三角函數(正弦函數)
1.如圖,在 Rt△ABC中,∠C=90 ,銳角 A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦(sine).
知
即 sinA A的對邊 a
識 斜邊 c
點
例1.如圖,已知 AB是☉O的直徑,CD是弦,且 【活動一】如圖,☉O的半徑為 3,弦 AB的長
CD⊥AB,AC=8,BC=6,求 sin ABD的值. 為 4,求 sinA的值.
例
題 【活動二】如圖：在 Rt△ABC中,∠C=90°, 【活動三】在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,
AB sinB 3 BC sinA 2=10, ,求 的長. ,求 AB的長.
5 3
【活動四】如圖,在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AB=2∶3,求 sinA.
1.在 Rt△ABC中,銳角 A的對邊和斜邊同時擴大 100 倍,sinA的值( ).
A 1.擴大 100 倍 B.縮小 C.不變 D.不能確定
100
2.判斷對錯.
BC
如圖(1) sinA= ( )
練 AB
(2) sinB BC= ( )
習 AB
(3) sinA=0.6m ( )
(4) SinB=0.8 ( )
3.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,圖中 sinB可由哪兩條線段比求得.
備
注
第 20 頁
28.1.2 銳角三角函數 (余弦和正切函數)
1.余弦:在 RtABC中,銳角 A的鄰邊和斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine),記作 cosA.
2.正切:在 RtABC中,銳角 A的對邊和鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent),記作 tanA.
知
cos A A的鄰邊 b tan A A的對邊 a tan A sin A
識 斜邊 c A的鄰邊 b cos A
點 sin2 A cos2 A 1 sin2 B cos2 B 1
3.在 RtABC中,對于任意銳角α,有 cosα=sin(90°-α) sinα=cos(90°-α) .
圖 1 圖 2 圖 3
例 1.如圖 1,BC=8,AC=6,則： sin B , sin ACD .
2.如圖 2, sin B .
題 例 1.如圖 3,在 RtABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求 sinA,cosA和 tanA的值.
1.P65 課本練習 1(1)求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值,余弦值
和正切值.
2.在 RtABC中,∠C=90°,a=6,b=8,則 sinA=_______,cosA=_______,tanA=______.
3.若 tan 圖 1(65°-∠A)=1,則∠A=________.
4.如圖 1,在 RtABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB, AC 5 ,BC=2,
練 求 tan∠BCD的值.
圖 2
習
5.如圖 2,直徑為10的⊙A經過點 C(0,5)和點 O(0,0),B是 y軸右側⊙A優
弧上一點,則 cos∠OBC 的值為___________.
6.如圖 3,ABC中的各個頂點都在格點上,則 sinA=_____,cosB=______,
tanC=______. 圖 3
7.在 RtABC C sinA= 3中,∠ =90°, ,AC=12,求 tanB的值.
5
備
注
第 21 頁
28.1.3 銳角三角函數 (特殊角的三角函數值)
1.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
知
sin2 A cos2 A 1 sin22. B cos
2 B 1
識
3.在 RtABC 中,對于任意銳角α,有 cosα=sin(90°-α)
點 sinα=cos(90°-α) .
例 1 求下列各式的值：
o
(1)cos2 60o sin 2 60o (2) cos 45o tan 45
o
sin 45
2 2
例 例 2.已知△ABC中的∠A與∠B滿足 1－tanA ＋ sinB－ ＝0 ,試判斷△ABC的形狀．
2
題
例 3.已知: 3 tan B－ 3 ＋ 2sinA－ 3 2＝0 ,求∠A,∠B的度數 .
例 4.已知α為銳角,且 tanα是方程 x2 +2x-3=0的一個根,求 2sin2 cos2 3tan（ 15 ）的
值．
1. 計算.
(1) sin 2 230°+cos45°； (2) sin 30°+ cos 30°－tan45°.
2. 如圖,在 Rt△ABC中,∠C= 90°, AB 6 ,BC 3 ,求∠A的度數；
3.求滿足下列條件的銳角α.
(1)2sinα－ 3 =0； (2)tanα－1=0.
練 4.tan(α+15°)＝1,銳角α的度數應是( ) .
A．40° B．30° C．20° D．10°
習
1 3
5.在△ABC中,若 sin A cos B 2 2
0 ,則∠C= .

6.求下列各式的值：
0
2 sin 1 45o 1 cos 1 60o 1 2005 1 2
2
7.若規定 sin(α-β)=sinαcosβ－cosαsinβ,求 sin15°的值.
備
注
第 22 頁
28.2.1 解直角三角形及其應用 (解直角三角形)
解直角三角形的依據
知 2 2 2(1) 三邊之間的關系:a＋ b＝c (勾股定理)；
(2) 銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90 ；
識 sinA a b a(3) 邊角之間的關系: ＝ cosA＝ tanA＝
c c b
點 1 1
(4)面積公式： S ABC a b c h2 2
例 1.在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90o, AC 2 , BC 6 ,解這個直角三角
形？
例
例 2.在 Rt△ABC中,∠C= 90o,∠B= 35o,b=20,解這個直角三角形？
題
1.在下列直角三角形中不能求解的是( ) .
A、已知一直角邊一銳角 B、已知一斜邊一銳角 C、已知兩邊 D、已知兩角
2.Rt△ABC 4中,∠C=90°,若 sinA ,AB=10,那么 BC=______,tanB=______．
5
3.如圖,在 Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊.
(1)已知 c 2 5 , a 15 ,解這個直角三角形？
(2)已知 a 3 3 ,b 3 1 ,解這個直角三角形？
練 4.如圖,在 Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊.
(1)已知, B 45o , c 2 4 ,解這個直角三角形？
習 (2)已知, A 45o , a=8,解這個直角三角形？
5.如圖,在 Rt△ABC中∠C=90o,∠A=30o,a=5,求∠B,b,c.
備
注
第 23 頁
28.2.2 解直角三角形及其應用 (俯角、仰角)
1.解直角三角形的依據
2 2 2
知 (1) 三邊之間的關系:a＋ b＝c (勾股定理)；
(2) 銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90 ；
識 a b a(3) 邊角之間的關系: sinA＝ cosA＝ tanA＝
c c b
點 2.解直角三角形的技巧：有弦(斜邊)用弦,無弦用切.
3.解法:只要知道五個元素中的兩個元素(至少有一個是邊),就可以求出余下的三個未知元素.
例 1.2012 年 6 月 18 日,“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現交會
對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在 離地球表面 343km的圓形軌道上運行,如圖,
當組合體運行到地球表面 P點的正上方時,從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？
最遠點與 P點的距離是多少(地球半徑約為 6400km,π取 3.142,結果取整數)？
例
題
例2.熱氣球的探測器顯示,從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°,看這棟樓底部
的俯角為 60°,熱氣球與樓的水平距離為 120m,這棟樓有多高(結果取整)？
1.建筑物 BC上有一旗桿 AB,由距 BC 40m的 D 處觀察旗桿頂部 A的仰角 54°,觀察底部 B
的仰角為 45°,求旗桿的高度(精確到 0.1m)
2.如圖,沿 AC方向開山修路．為了加快施工進度,要在小山的另一邊同時施工,
從 AC上的一點 B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那么開挖點 E離 D
多遠正好能使 A,C,E成一直線(精確到 0.1m).
練 ( sin 50o 0.766 cos50o 0.643 tan 50o 1.19 )
習
3.如圖,為固定電線桿 AC,在離地面高度為6m的 A處引拉線 AB,使拉線 AB與地
面上的 BC的夾角為 48°,則拉線 AB的長度約為 ( )
(結果精確到 0.1m,sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)
備
注
第 24 頁
28.2.3 解直角三角形及其應用(方向角、坡度)
1.方向角的定義：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于 90°的角叫做方位角.
2.利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：
(1)將實際問題轉化為幾何問題(畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問
知 題)；
(2)根據條件的特點,選用適當銳角三角函數去解直角三角形；
識 (3)得到數學問題的答案；
(4)得到實際問題的答案．
點 3.坡角:坡面與水平面的夾角叫做坡角,用字母α表示.
4.坡度比(坡比):坡面的鉛直高度 h和水平距離 l的比叫做坡度,用字母 i
h
表示,如圖,坡度比通常寫成 i tan a 的形式.
l
例 1.如圖,一艘海輪位于燈塔 P的北偏東 65°方向,距離燈塔 80 海里的 A處,
它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔 P的南偏東 34°方向上的 B處,
這時,海輪所在的 B處距離燈塔 P有多遠(結果取整數)？
例
題 例 2. 如圖 ,防洪大堤的橫截面是梯形 ABCD, 其中 AD∥
BC,α=60°,汛期來臨前對其進行了加固,改造后的背水面坡角
β=45°．若原坡長 AB=20m,求改造后的坡長 AE．(結果保留根號)
1.海中有一個小島 A,它周圍 8海里內有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航
行,在 B點測得小島 A在北偏東 60°方向上,航行 12 海里到達 C點,這時
測得小島 A在北偏東 30°方向上,如果漁船不改變航線繼續向東航行,有
沒有觸礁的危險？
2.如圖 1,完成下列填空：
練 (1)斜坡的坡度是1 3 ,則坡角 a= ；
習 (2)斜坡的坡角是 45°,則坡比是 ； 圖 2
(3)斜坡長是12米,坡高 6米,則坡比是 ； 圖 1
4.如圖 2,一山坡的坡度為 i=1:2.小剛從山腳 A出發,沿山坡向上走了240m到達點 B.這座山坡
的坡角是多少度？小剛上升了多少米(角度精確到 0.01°,長度精確到 0.1m)？
5.如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據圖中給出的數據,求壩高和壩
底寬(精確到 0.1m).
備
注
第 25 頁
中考鏈接
(2021)23．如圖,A,B是海面上位于東西方向的兩個觀測點,有一艘海輪在 C點處遇險發出求救
信號,此時測得 C點位于觀測點 A的北偏東 45°方向上,同時位于觀測點 B的北偏西 60°方向
上,且測得 C點與觀測點 A的距離為 25 2 海里．
（1）求觀測點 B與 C點之間的距離；
（2）有一艘救援船位于觀測點 B的正南方向且與觀測點 B相距 30 海里
的 D點處,在接到海輪的求救信號后立即前往營救,其航行速度為 42 海
里/小時,求救援船到達 C點需要的最少時間．
(2022)23．如圖,海中有兩小島 C,D,某漁船在海中的 A處測得小島 C位于東北方向,小島 D位
于南偏東 30°方向,且 A,D相距 10 nmile．該漁船自西向東航行一段
第
時間后到達點 B,此時測得小島 C 位于西北方向且與點 B 相距 8 2
28
nmile．求 B,D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）．
章
銳
(2023)22．如圖,某數學興趣小組為了測量古樹 DE的高度,采用了如下的方法：先從與古樹底
角 端D在同一水平線上的點 A出發,沿斜面坡度為 i 1: 3 的斜坡 AB前進 20 7 m到達點 B,再沿
水平方向繼續前進一段距離后到達點 C．在點 C處測得古樹 DE的頂端 E的俯角為 37°,底部
三
D 3 4 3的俯角為 60°,求古樹 DE的高度（參考數據：sin37 , cos37 , tan37 ,計算結果
5 5 4
角
用根號表示,不取近似值）．
函
數
(2024)22．（8分）如圖,海中有一個小島 C,某漁船在海中的 A點測得小島 C位于東北方向上,
該漁船由西向東航行一段時間后到達 B點,測得小島 C位于北偏西30 方向上,再沿北偏東60
方向繼續航行一段時間后到達D點,這時測得小島D位于北偏西60 方向上．已知 A,C相距30n
mile．求 C,D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）．
備
注
第 26 頁
第 27 頁
29.1.1 投影(平行投影與中心投影)
知
1.平行投影:由平行光線形成的投影是平行投影.
2.平行投影的光源為平行光線,一般有探照燈、太陽光.
識
3.中心投影:由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.
4.中心投影的光源為點光源,一般有燈泡、蠟燭,其光線相交于一點.
點
例 1.某校墻邊有甲、乙兩根木桿.已知乙桿的 例 2.確定下圖路燈燈泡所在的位置.
高度為1.5m.某一時刻甲木桿在陽光下的影子
如下圖所示,你能
畫出此時乙木桿的
影子嗎？
例
例 3.下面兩幅圖分別是兩棵小樹在同一時刻 例4.如圖,路燈(P點)距地面8米,身高 1.6米
題 的影子.你能判斷出哪幅圖是燈光下形成的, 的小明從距路燈的底部(O點)20 米的 A點沿
哪幅圖是太陽光下形成的嗎？ OA所在的直線行走 14 米到 B點時,影子的長
度是變長了還是變短了？變長或變短了多少
米？
1.下列物體的影子中,不正確的是( ). 2.高 4 米的旗桿在水平地面上的影子長 6 米,
此時測得附近一個建筑物的影子長30米,則此
建筑物的高度為( ).
A.45 B.35 C.20 D.10
3.如圖所示,表示兩棵小樹在同一時刻陽光下 4.如圖所示,夜晚路燈下同樣高的旗桿,離路
的影子的圖形是( ). 燈越近,它的影子( ).
A.越長
練 B.越短
C.一樣長
習 D.無法確定
5.下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的 6.一位同學想利用樹影測樹高,已知在某一時
影子,將它們按時間先后順序排列正確的是 刻直立于地面的長 1.5m的竹竿的影長為 3m,
( ). 但當他馬上測量樹影時,發現樹的影子有一部
分落在墻上 .經測量 ,留在墻上的影高
CD=1.2m,地面部分影長 BD=5.4m,求樹高
AB.
備
注
第 28 頁
29.1.2 投影(正投影)
1.平行投影:由平行光線形成的投影是平行投影.
知
2.平行投影的光源為平行光線,一般有探照燈、太陽光.
3.中心投影:由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.
識
4.中心投影的光源為點光源,一般有燈泡、蠟燭,其光線相交于一點.
5.線段：平行長相等,傾斜長縮短,垂直成一點.
點
6.平行四邊形：平行形不變,傾斜形改變,垂直成線段.
例 畫出如圖擺放的正方體在投影面 P上的正投影．
(1) 正方體的一個面 ABCD平行于投影面 P；
(2) 正方體的一個面 ABCD傾斜于投影面 P,底面 ADEF垂直于投影面 P,并且其對角線 AE垂
直于投影面 P．
例
題
1.球的正投影是( ).
A.圓面 B.橢圓面 C.點 D.圓環
2.木棒長為 1.2m ,則它的正投影的長一定( ).
A.大于 1.2m B.小于 1.2m C.等于 1.2m D.小于或等于 1.2m
3.小明在操場上練習雙杠時,在練習的過程中他發現在地上雙杠的兩橫杠的影子( ).
A.相交 B.平行 C.垂直 D.無法確定
4.下圖水杯的杯口與投影面平行,投影線的方向如箭頭所示,它的正投影圖是( ).
練 5.畫出下列立體圖形投影線從上方射向下方的正投影．
習
6.一個長 8cm的木棒 AB,已知 AB平行于投影面α,投影線垂直于α.
(1)求影子 A1B1的長度 (如圖①)；
(2)若將木棒繞其端點 A逆時針旋轉 30°,求旋轉后木棒的影長 A2B2(如圖②)．
備
注
第 29 頁
29.2.1 三視圖(簡單的三視圖)
知 1.在正面得到的由前向后觀察物體的視圖,叫主視圖(從前面看).
2.在側面內得到由左向右觀察物體的視圖,叫左視圖(從左面看).
識 3.在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖,叫俯視圖(從上面看).
4.三視圖是主視圖、俯視圖、左視圖的統稱.
點 注意：看得見的輪廓線畫實線,看不見的輪廓線畫虛線.
例 1.畫出圖中基本幾何體的三視圖. 例 2.畫出如圖所示的支架的三視圖,其中支架
的兩個臺階的高度和寬度相等．
例 3.如圖,分別根據三視圖(1)(2)說出立體圖 例 4.根據物體的三視圖描述物體的形狀.
例
形的名稱.
題
例 5.如圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖,
則搭成這個幾何體的小正方體的個數是 個.
1.畫出如圖所示的正三棱柱、圓錐、半球的三 2.如下圖幾何體,請畫出這個物體的三視圖.
視圖.
(1) (2)
3、圖是一根鋼管的直觀圖,畫出它的三視圖． 4.畫出幾何體的三視圖.
(1) (2)
練 5.根據下列物體的三視圖,填出幾何體的名 6.請根據下面提供的三視圖,畫出幾何圖形.
稱：
習 (1)如圖①所示的幾何體是__________；
(2)如圖②所示的幾何體是__________.
7.根據下面三視圖請說出建筑物是什么樣子的 共有幾層
一共需要多少個小正方體
備
注
第 30 頁
29.2.2 三視圖(復雜圖形的三視圖)
知 1.在正面得到的由前向后觀察物體的視圖,叫主視圖(從前面看).
2.在側面內得到由左向右觀察物體的視圖,叫左視圖(從左面看).
識 3.在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖,叫俯視圖(從上面看).
4.三視圖是主視圖、俯視圖、左視圖的統稱.
點 注意：看得見的輪廓線畫實線,看不見的輪廓線畫虛線.
例 1.某工廠要加工一批密封罐,設計者給出了密封罐的三視圖,請按照三視圖確定制作每個密
封罐所需鋼板的面積.(結果可保留根號,圖中單位尺寸:mm)
例
題
1.如圖是一個幾何體的三視圖,根據圖中所示 2.如圖,已知某幾何體的三視圖,則該幾何體
數據,求這個幾何體的側面積為( ) . 的表面積為( ) .
3.如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖,請你 4.2019 年 6 月 17 日四川省長寧縣發生 6.0 級
根據圖中數據,計算這個密封紙盒的表面積為 地震,救災人員臨 時搭建了很多帳篷,帳篷的
cm2(結果可保留根號) 三視圖如圖所示(單位:m),根據三視圖可 以
得出每頂帳篷(無底)的表面積為( ) .
A 2.6πm
練 B.9πm
2
C 2.12πm
2
習 D.18πm
5. 如圖,一個幾何體的三視圖分
別是兩個矩形、一個扇形,則這個
幾何體的體積為 ；
表面積為 .
備
注
第 31 頁
中考鏈接
(2018)4.如圖是一個由 5個完全相同的小正方體組成的立體圖形,它的俯視圖是( )
A． B． C． D．
(2019)4.下列立體圖形中,俯視圖是三角形的是( ).
A． B． C． D．
(2020)3.如圖所示的幾何體的主視圖是( ).
A． B． C． D．
第 (2021)3.下列立體圖形中,主視圖是圓的是( ).
29
章
投 A． B． C． D．
(2022)3.如圖是一個由 6個大小相同的正方體組成的幾何體,它的俯視圖是( ).
影
A． B． C． D．
(2023)4.一個立體圖形的三視圖如圖所示,則該立體圖形是( ).
A．圓柱 B．圓錐 C．長方體 D．三棱柱
(2024)3.下列幾何體中,其三視圖的主視圖和左視圖都為矩形的是( ).
A． B． C． D．
備
注
第 32 頁

展開更多......

收起↑