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第十八章平行四邊形
《平行四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)目標(biāo)
1.助力學(xué)生構(gòu)建條理清晰、系統(tǒng)完整的平行四邊形及特殊平行四邊形的知識(shí)框架，確保學(xué)生對(duì)相關(guān)概念、性質(zhì)及判定定理爛熟于心。
2.著重培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用平行四邊形及特殊平行四邊形判定方法解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的解題技巧與速度。
3.引領(lǐng)學(xué)生全面回顧平行四邊形、矩形、菱形、正方形等相關(guān)知識(shí)，通過(guò)深入思考與討論，促使學(xué)生自主梳理知識(shí)脈絡(luò)，加深對(duì)知識(shí)的理解與記憶。
4.系統(tǒng)地幫助學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形與各種特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定方法，引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)把握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力與歸納總結(jié)能力。
核心素養(yǎng)目標(biāo)
1.在學(xué)生反思與交流知識(shí)的過(guò)程中，逐步引導(dǎo)學(xué)生建立起科學(xué)、高效的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣與自主學(xué)習(xí)能力。
2.鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極獨(dú)立思考，通過(guò)參與歸納、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛(ài)。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)
對(duì)平行四邊形及各種特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定進(jìn)行全面、細(xì)致的梳理與深度理解，使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題。
難點(diǎn)
幫助學(xué)生清晰、準(zhǔn)確地理解平行四邊形及各種特殊平行四邊形之間的細(xì)微區(qū)別，避免在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)混淆，提升學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。
三、教學(xué)過(guò)程
（一）知識(shí)梳理 ——“知識(shí)拼圖大整合”
一、幾種特殊四邊形的性質(zhì)
設(shè)計(jì)意圖：表格化的呈現(xiàn)方式簡(jiǎn)潔明了，便于學(xué)生對(duì)比記憶，快速掌握不同四邊形性質(zhì)的異同點(diǎn)，構(gòu)建清晰的知識(shí)框架。
幾種特殊四邊形的常用判定方法：同樣以表格形式羅列，分別闡述平行四邊形、矩形、菱形、正方形的多種判定途徑。
二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：
設(shè)計(jì)意圖：系統(tǒng)梳理判定方法，讓學(xué)生明確不同四邊形判定的依據(jù)，為后續(xù)解題提供理論支撐，增強(qiáng)學(xué)生解題時(shí)的邏輯思維。
三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
設(shè)計(jì)意圖：直觀的圖形展示，能讓學(xué)生一目了然地理解各種特殊四邊形之間的從屬關(guān)系，加深對(duì)知識(shí)體系的整體認(rèn)知，有助于學(xué)生在解題時(shí)快速調(diào)用相關(guān)知識(shí)。
其他重要概念及性質(zhì)
四、其他重要概念及性質(zhì)
1.兩條平行線間的距離：
兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做兩條平行線間的距離.
2.三角形的中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
3.直角三角形斜邊上的中線：
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)多種直觀手段，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，將理論知識(shí)具象化，便于學(xué)生記憶和應(yīng)用。
（二）考點(diǎn)講練 ——“知識(shí)應(yīng)用大闖關(guān)”
考點(diǎn)一 平行四邊形的性質(zhì)與判定
例1 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)E、F分別為AG、CD的中點(diǎn)，連接DE、FG.
(1)求證：四邊形DEGF是平行四邊形；
(2)如果點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，且BC＝12，CD＝10，求四邊形AGCD的面積.
(1)證明：∵ AG∥CD，AD∥BC
∴ 四邊形AGCD是平行四邊形
∴ AG=CD
∵ E、F分別為AG、CD的中點(diǎn)
∴ EG=AG，DF=CD
∴ EG=DF且EG∥DF
∴ 四邊形DEGF是平行四邊形
(2)解：∵ 點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，BC=12
∴ BG=CG=BC=6
∵ 四邊形AGCD是平行四邊形
∴ AG=CD=10
在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理=8
∴ S四邊形AGCD=6×8=48
例2 如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊DA的延長(zhǎng)線上，且AF＝CE，EF與AB交于點(diǎn)G.
(1)求證：AC∥EF；
(2)若點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，BE＝6，求邊AD的長(zhǎng).
(1)證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ AD∥BC
∴ AF∥CE
又∵ AF=CE
∴ 四邊形AFEC是平行四邊形
∴ AC∥EF
(2)解：∵ AD∥BC，∴ ∠F=∠BEG，∠FAG=∠B
∵ 點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴ AG=BG
∴ △AGF≌△BGE (AAS)
∴ AF=BE=6
∴ CE=AF=6
∴ BC=BE+CE=12
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ AD=BC=12
針對(duì)訓(xùn)練
1.如圖，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，則BC的長(zhǎng)為( )
A.4cm B.5cm
C.6cm D.8cm
2.如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝28cm，則
△BOC的周長(zhǎng)是( )
A.45cm B.59cm
C.62cm D.90cm
3.如圖①是某公交汽車擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖②.雨刷EF⊥AD，垂足為A，
AB＝CD，AD＝BC，這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終垂直于玻璃窗下沿BC，請(qǐng)證明這一結(jié)論.
證明：∵ AB=CD，AD=BC
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ AD∥BC
∵ EF⊥AD
∴ EF⊥BC
4.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)0，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF.求證：(1)△BEO≌△DFO；(2)四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：(1) △BEO和△DFO中，
∴ △BEO≌△DFO (ASA)
(2)由(1)可知△BEO≌△DFO，∴ OE=OF
∵ AE=CF
∴ OE+AE=OF+CF
即 0A=0C
又∵ OB=OD
∴ 四邊形ABCD為平行四邊形
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題的講解和針對(duì)性訓(xùn)練，讓學(xué)生熟練掌握平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，學(xué)會(huì)從已知條件出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)定理進(jìn)行推理和計(jì)算，提高學(xué)生的解題能力和邏輯思維能力。在講解過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件，尋找解題思路，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。
考點(diǎn)二 三角形的中位線與 Rt△斜邊上的中線
例3 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高.
(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
(2)求證：∠DHF＝∠DEF.
證明：(1)∵ 點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)
∴ DE、EF都是△ABC的中位線
∴ DE∥AC，EF∥AB
∴ 四邊形ADEF是平行四邊形
(2)∵ 四邊形ADEF是平行四邊形
∴ ∠DEF=∠BAC
∵ D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高
∴ DH、FH分別是Rt△ABH和Rt△ACH斜邊上的中線
∴ DH=AD，F(xiàn)H=AF
∴ ∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA
∵ ∠DAH+∠FAH=∠BAC
∠DHA+∠FHA=∠DHF
∴ ∠DHF=∠BAC
∴ ∠DHF=∠DEF
針對(duì)訓(xùn)練
5.如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則∠DEC的度數(shù)為( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
6.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為斜邊作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，則∠EDF＝_____.
7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝BC.若AB＝12，求EF的長(zhǎng)．
解：連接CD
∵ 點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，且∠ACB=90°
∴ DE∥BC，DE=BC，DC=AB
∵ CF=BC
∴ DE=CF且DE∥CF
∴ 四邊形DEFC是平行四邊形
∴ DC=EF
∴ EF=AB=6
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)該考點(diǎn)的例題和練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角形中位線定理和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的理解與運(yùn)用。讓學(xué)生學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中識(shí)別出相關(guān)的三角形和線段關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和推理能力。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)此類問(wèn)題的解題規(guī)律，提高學(xué)生解決同類問(wèn)題的能力。
考點(diǎn)三 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定
例4 如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，過(guò)點(diǎn)D作
DE∥AC，兩線相交于點(diǎn)E.
(1)求證：四邊形AODE是菱形；
(2)連接BE，交AC于點(diǎn)F.若BE⊥DE于點(diǎn)E，求∠AOD的度數(shù).
(1)證明：∵ AE∥BD，DE∥AC
∴ 四邊形AODE是平行四邊形
∵ 四邊形ABCD是矩形
∴ AC=BD，OA=AC，OD=BD
∴ OA=OD
∴ 四邊形AODE是菱形
(2)解：連接OE.
由(1)得，四邊形AODE是菱形，∴ AE=AO=BO
∵ AE∥BO，∴ 四邊形AEOB是平行四邊形
∵ BE⊥DE，DE∥AC，∴ BE⊥AO
∴ 四邊形AEOB是菱形
∴ AE=AB=BO
∴ AB=BO=AO
∴ △AOB是等邊三角形
∴ ∠AOB=60°
∴ ∠AOD=180°-60°=120°
例5 如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF＝AE.
(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.
解：(1)四邊形BECF是菱形.理由如下：
∵ EF垂直平分BC，∴ BF=CF，BE=CE
∴ ∠3=∠1
∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°
∴ ∠2=∠A，∴ CE=AE
∴ BE=AE
∵ CF=AE
∴ BE=CE=CF=BF
∴ 四邊形BECF是菱形
(2)當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECF是正方形.
證明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°
∴ ∠CBA=45°
∵ 四邊形BECF是菱形
∴ ∠EBF=2∠CBA=90°
∴ 菱形BECF是正方形
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這部分的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深入理解特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)與判定之間的聯(lián)系與區(qū)別。通過(guò)具體例題和大量練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握特殊平行四邊形的判定方法和性質(zhì)應(yīng)用，能夠根據(jù)題目條件準(zhǔn)確選擇合適的定理進(jìn)行推理和計(jì)算。在講解過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的關(guān)鍵信息，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。同時(shí)，通過(guò)方法總結(jié)，幫助學(xué)生梳理解題思路，提高解題效率。
四、教學(xué)總結(jié)
同學(xué)們，在今天這場(chǎng)充實(shí)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之旅中，我們一同穿梭于平行四邊形的奇妙世界。從平行四邊形最基礎(chǔ)的定義出發(fā)，逐步拓展到矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形領(lǐng)域。我們?cè)敿?xì)梳理了它們各自獨(dú)特的邊、角、對(duì)角線性質(zhì)，也深入探究了多種判定方法，這些知識(shí)如同緊密相連的拼圖，共同構(gòu)建起平行四邊形完整的知識(shí)體系。
在考點(diǎn)講練環(huán)節(jié)，我們通過(guò)一道道精心挑選的例題與練習(xí)題，將所學(xué)知識(shí)投入實(shí)戰(zhàn)。面對(duì)平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，大家學(xué)會(huì)從已知條件中抽絲剝繭，找到解題的關(guān)鍵線索；在三角形中位線與直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的運(yùn)用中，同學(xué)們逐漸培養(yǎng)起敏銳的幾何直覺(jué)，能夠在復(fù)雜圖形中精準(zhǔn)識(shí)別關(guān)鍵元素；而特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的難題，更是鍛煉了大家的邏輯思維，讓大家學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评砼c論證。
經(jīng)過(guò)這堂課，相信大家不僅在知識(shí)儲(chǔ)備上更加豐富，在數(shù)學(xué)思維與解題能力上也實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。但請(qǐng)記住，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就像一場(chǎng)永無(wú)止境的攀登，每一次課堂學(xué)習(xí)都是向更高處邁進(jìn)的一步。希望大家能將今天所學(xué)的知識(shí)深深扎根于腦海，在未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，憑借扎實(shí)的基礎(chǔ)、敏銳的思維和不懈的努力，去攻克更多的難題，發(fā)現(xiàn)更多數(shù)學(xué)之美。愿大家在數(shù)學(xué)的星辰大海中，繼續(xù)勇敢探索，收獲更多的知識(shí)寶藏 。
五、教學(xué)反思
一、教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況
從課堂反饋與課后作業(yè)完成情況來(lái)看，多數(shù)學(xué)生能夠理解并構(gòu)建起平行四邊形及特殊平行四邊形的知識(shí)框架，在簡(jiǎn)單題目中可熟練運(yùn)用性質(zhì)與判定解題，達(dá)成了知識(shí)與技能目標(biāo)。在過(guò)程與方法方面，通過(guò)引導(dǎo)回顧、思考及討論，部分學(xué)生能梳理知識(shí)脈絡(luò)，但仍有學(xué)生缺乏自主歸納能力，需在后續(xù)加強(qiáng)培養(yǎng)。在情感態(tài)度與價(jià)值觀上，多數(shù)學(xué)生積極參與課堂，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性與系統(tǒng)性，然而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)的熱情方面，仍有提升空間。
二、教學(xué)方法運(yùn)用
知識(shí)梳理環(huán)節(jié)：采用表格與圖形相結(jié)合的方式，直觀清晰，有助于學(xué)生對(duì)比記憶。但對(duì)于基礎(chǔ)薄弱學(xué)生，理解韋恩圖或樹(shù)形圖中圖形關(guān)系存在困難，后續(xù)應(yīng)增加引導(dǎo)步驟。
考點(diǎn)講練環(huán)節(jié)：例題講解注重思路分析，引導(dǎo)學(xué)生從條件出發(fā)推導(dǎo)結(jié)論，學(xué)生參與度較高。但部分復(fù)雜例題，學(xué)生跟不上節(jié)奏，今后應(yīng)把控講解速度，增加互動(dòng)提問(wèn)。針對(duì)性訓(xùn)練中，學(xué)生在熟悉題型上表現(xiàn)較好，但遇到變形題或綜合題時(shí)，靈活應(yīng)變能力不足，需在今后練習(xí)中強(qiáng)化思維拓展。
三、學(xué)生表現(xiàn)分析
課堂上，大部分學(xué)生積極參與討論與答題，但仍有少數(shù)學(xué)生較為被動(dòng)，依賴教師講解。小組討論時(shí)，部分小組存在個(gè)別學(xué)生主導(dǎo)，部分學(xué)生參與度低的情況。后續(xù)應(yīng)優(yōu)化小組分組，鼓勵(lì)每位學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)，關(guān)注學(xué)習(xí)困難學(xué)生，給予更多指導(dǎo)與鼓勵(lì)。
四、教學(xué)內(nèi)容安排
教學(xué)內(nèi)容涵蓋全面，重點(diǎn)突出，但在特殊平行四邊形區(qū)別的講解上，雖多次強(qiáng)調(diào)，部分學(xué)生仍易混淆。如矩形與菱形判定條件的應(yīng)用，學(xué)生常出現(xiàn)錯(cuò)誤。在今后教學(xué)中，可增加更多對(duì)比練習(xí)，通過(guò)實(shí)例強(qiáng)化理解。同時(shí)，在時(shí)間把控上，考點(diǎn)三的練習(xí)時(shí)間略顯緊張，導(dǎo)致部分學(xué)生未能充分思考，后續(xù)應(yīng)合理分配各環(huán)節(jié)時(shí)間。
五、展示評(píng)價(jià)
評(píng)價(jià)維度 評(píng)價(jià)要點(diǎn) 評(píng)價(jià)等級(jí)（A. 優(yōu)秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學(xué)生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問(wèn)題，主動(dòng)參與探究活動(dòng)
知識(shí)掌握 能否準(zhǔn)確理解平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算
思維能力 在觀察、猜想、證明過(guò)程中，思維的敏捷性、邏輯性和創(chuàng)新性表現(xiàn)如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻(xiàn)自己的想法，傾聽(tīng)他人意見(jiàn)

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