資源簡介

單元教學(xué)方案
基本信息：單元名稱： 人教版八年級(jí)下冊第18章《平行四邊形》 科目名稱： 初中數(shù)學(xué) 課程類型： 必修課 課時(shí)： 12課時(shí) 日期：
課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.2.探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分；探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.3.了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.4.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直；以及它們的判定定理：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì).5.探索并證明三角形的中位線定理.教材分析：平行四邊形是常見的幾何圖形，既有豐富的性質(zhì)，又在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛的應(yīng)用，尤其矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的性質(zhì)更加豐富、應(yīng)用更加廣泛.學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)學(xué)行四邊形，本學(xué)段八年級(jí)上冊“三角形”一章研究了多邊形及內(nèi)角和等內(nèi)容，包括四邊形及其內(nèi)角和，“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等角形的性質(zhì)，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)本章的重要基礎(chǔ).本章先研究平行四邊形，在平行四邊形的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形這些特殊平行四邊形.第18.1節(jié)主要研究平行四邊形的概念、性質(zhì)定理和判定定理；在平行四邊形概念和性質(zhì)定的基礎(chǔ)上，介紹兩條平行線之間距離的概念；作為性質(zhì)定理和判定定理的一個(gè)應(yīng)用，探索并證明三角形中位線定理.第18.2節(jié)首先研究特殊的平行四邊形——矩形和菱形，它們分別是有一個(gè)角是直角和有一組鄰邊相等的特殊平行四邊形，第18.2.1小節(jié)和第18.2.2小節(jié)分別研究矩形和菱形的概念、性質(zhì)定理和判定定理，在矩形和菱形的基礎(chǔ)上，再研究它們的特殊情況，即同時(shí)具有兩個(gè)特殊條件的平行四邊形——正方形，它是有一個(gè)角是直角的特殊菱形，或者是有一組鄰邊相等的特殊矩形.由此得出，正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).第18.2.3小節(jié)給出了正方形的概念，并讓學(xué)生自己研究它的性質(zhì)定理和判定定理.本章重點(diǎn)是平行四邊形的概念、性質(zhì)定理和判定定理.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的性質(zhì)定理和判定定理的研究方法，與平行四邊形性質(zhì)定理和判定定理的研究方法一脈相承，兩條平行線之間的距離相等、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等結(jié)論的探索與證明，都以平行四邊形、矩形的概念和有關(guān)定理為依據(jù)，是平行四邊形、矩形知識(shí)的綜合應(yīng)用，另外，平行四邊形的性質(zhì)定理，也常常是證明兩條線段相等、兩角相等以及兩條直線平行或垂直的重要依據(jù).掌握平行四邊形的概念、性質(zhì)定理和判定定理，并能應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，是學(xué)好本章的關(guān)鍵.本章教學(xué)內(nèi)容之間聯(lián)系比較緊密，研究問題的思路和方法類似，推理論證的難度不大.相對(duì)來說，平行四邊形與矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別，是本章教學(xué)難點(diǎn)，因?yàn)楦鞣N平行四邊形概念交錯(cuò)，容易混淆.在應(yīng)用它們的性質(zhì)定理和判定定理的時(shí)候，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)用、多用、少用條件的問題.教學(xué)中要注意結(jié)合教科書中的結(jié)構(gòu)圖，分清這些平行四邊形的從屬關(guān)系，梳理它們的性質(zhì)定理和判定定理，克服難點(diǎn).基本問題：1.你能概述一下研究平行四邊形的思路和方法嗎？2.平行四邊形有哪些性質(zhì)？如何判定一個(gè)四邊形是平行四邊形？3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，分別還具有哪些性質(zhì)？如何判定一個(gè)四邊形是矩形、菱形、正方形？你能總結(jié)一下研究這些性質(zhì)和判定的方法嗎？4.本章我們利用平行四邊形的性質(zhì)，得出了三角形的中位線定理.你能仿照這一過程，再得出一些其他幾何結(jié)論嗎？驅(qū)動(dòng)性問題：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是正方形A′B′C′O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的，想一想這是為什么？學(xué)情分析：在小學(xué)已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)平行四邊形、了解平行四邊形的定義.七年級(jí)學(xué)習(xí)了相交線與平行線、三角形、全等三角形的相關(guān)知識(shí).八年級(jí)儲(chǔ)備了軸對(duì)稱和勾股定理的相關(guān)知識(shí)和動(dòng)手操作的意識(shí)和能力，分析問題和知識(shí)的遷移的能力有了也有了一定的提高.但合理運(yùn)用輔助線的能力還欠缺，而平行四邊形的研究內(nèi)容、過程與方法與三角形有極大的可類比性，所以應(yīng)把平行四邊形作為培養(yǎng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)能力的載體，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更大的自.主學(xué)習(xí)空間，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，整體構(gòu)建平行四邊形的研究框架，在一般觀念的引領(lǐng)下，經(jīng)歷完整的“概念——性質(zhì)——判定——應(yīng)用”的過程，理解平行四邊形的概念內(nèi)涵、組成要素和相關(guān)要素等，再通過對(duì)內(nèi)涵、要素、相關(guān)要素等之間關(guān)系的探索，或通過建立相關(guān)概念的聯(lián)系而發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提出猜想，最后通過邏輯推理證明結(jié)論、得出定理.同時(shí)，要通過適當(dāng)?shù)那榫常龑?dǎo)學(xué)生從一般到特殊，逐步提出值得研究的新對(duì)象、新問題，最終形成“四邊形——平行四邊形——矩形——菱形——正方形”的完整知識(shí)體系.資源分析：《義務(wù)教育社會(huì)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》；人教版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)課本、同步練習(xí)冊；自制導(dǎo)學(xué)案、課件。
單元目標(biāo)：1.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、通過觀察、歸納、猜想、證明得出性質(zhì)與判定定理，會(huì)應(yīng)用其進(jìn)行與線段、角有關(guān)的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系的證明，會(huì)證明一個(gè)四邊形是否為平行四邊形與特殊平行四邊形；2.經(jīng)歷平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)與判定定理的探究過程，體會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，積累研究四邊形和研究圖形定義、性質(zhì)、判定的思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；3.通過對(duì)平行四邊形及特殊平行四邊形的探究，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)追求嚴(yán)密、系統(tǒng)、一般、統(tǒng)一的理性精神，養(yǎng)成批判質(zhì)疑和勇于創(chuàng)新的品質(zhì)。
重難點(diǎn)：1．類比三角形的研究過程，得出四邊形研究路線.2．根據(jù)平行四邊形及特殊平行四邊形定義推導(dǎo)得出性質(zhì)，利用性質(zhì)進(jìn)行簡單應(yīng)用.3.類比平行線性質(zhì)與判定的互逆關(guān)系得出平行四邊形及矩形、菱形、正方形的判定定理.4.根據(jù)性質(zhì)及判定進(jìn)行計(jì)算、證明解決簡單的問題.
單元評(píng)價(jià)：評(píng)價(jià)任務(wù)1.探索平行四邊形定義、邊角性質(zhì).學(xué)習(xí)目標(biāo)：16-1-1通過平行四邊形定義的學(xué)習(xí)，能用文字語言、圖形語言、符號(hào)語言來描述平行四邊形的定義.知道平行四邊形的研究是以定義為出發(fā)點(diǎn)的，會(huì)用定義識(shí)別平行四邊形.16-1-2探索并掌握平行四邊形邊、角的性質(zhì).能利用平行四邊形的定義證明其邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進(jìn)行基本的計(jì)算或證明；初步學(xué)會(huì)分別從題設(shè)或結(jié)論出發(fā)尋求論證思路.16-1-3進(jìn)一步體會(huì)幾何研究的一般思路和方法.在探究過程中，能夠體會(huì)對(duì)圖形性質(zhì)的研究實(shí)際上就是揭示圖形中各幾何要素之間的關(guān)系知道觀察、度量、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明是幾何研究的基本活動(dòng)，體會(huì)“用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論這一幾何研究的基本思考方式16-1-4能將平行線間的距離”轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離,體會(huì)“三種距離”之間的轉(zhuǎn)化.評(píng)價(jià)任務(wù)：教師出示問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后組內(nèi)交流，由小組長和教師記錄并填寫評(píng)價(jià)結(jié)果.評(píng)價(jià)量規(guī)1：水平劃分水平一水平二水平三水平四平行四邊形的表示不能說出平行四邊形的定義 能說出平行四邊形的定義能準(zhǔn)確說出平行四邊形的定義，能用圖形語言和符號(hào)語言表示平行四邊形能準(zhǔn)確說出平行四邊形的定義，能用圖形語言和符號(hào)語言表示平行四邊形，并能自主舉例平行四邊形的性質(zhì)的證明不會(huì)證明平行四邊形的性質(zhì)定理能在教師的指導(dǎo)下或通過小組合作證明平行四邊形的性質(zhì)定理能獨(dú)立完成平行四邊形的性質(zhì)定理的證明不僅能獨(dú)立證明性質(zhì)，還能主動(dòng)分享自己的見解平行四邊性質(zhì)的應(yīng)用能說出部分性質(zhì)能說出全部性質(zhì)，但不會(huì)用能通過與同學(xué)合作，用性質(zhì)解決邊角的證明和求解能熟練應(yīng)用性質(zhì)分析問題，并解決問題具體實(shí)施：學(xué)習(xí)完學(xué)習(xí)活動(dòng)4后，實(shí)施此任務(wù)，6人為一小組，由小組長評(píng)價(jià)組員，教師評(píng)價(jià)小組長。教學(xué)活動(dòng)： 第1課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)一：明確單元學(xué)習(xí)目標(biāo)教師：出示單元學(xué)習(xí)目標(biāo)，并做出解釋。學(xué)生：閱讀學(xué)習(xí)目標(biāo)，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)活動(dòng)二：類比三角形學(xué)習(xí)路線，得出平行四邊形整章的學(xué)習(xí)路線教師：根據(jù)三角形構(gòu)成要素關(guān)系的特殊化，我們應(yīng)該先研究哪一種特殊的四邊形？如何研究呢？學(xué)生：類比三角形學(xué)習(xí)路線，從一般到特殊的研究思路得出平行四邊形整章學(xué)習(xí)路線，得出本章的研究對(duì)象、研究內(nèi)容、研究方法.學(xué)習(xí)活動(dòng)三：學(xué)習(xí)平行四邊形的定義、表示方法、符號(hào)語言教師：回顧小學(xué)平行四邊形的定義，類比三角形的表示方法怎樣表示一個(gè)平行四邊形？四邊形具備了什么條件我們就說這個(gè)四邊形就是平行四邊形？用符號(hào)怎樣表達(dá)？學(xué)生：根據(jù)定義和圖形得出符號(hào)表示學(xué)習(xí)活動(dòng)四：探索平行四邊形的性質(zhì)教師：平行四邊形除去具有一般四邊形的性質(zhì)，它還有哪些自己特有的性質(zhì)？從組成圖形的元素考慮（邊、角、對(duì)角線）學(xué)生：經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、證明的過程，并在小組交流的基礎(chǔ)上得出平行四邊形的性質(zhì)學(xué)習(xí)活動(dòng)五：兩條平行線之間的距離教師：兩條平行線之間的距離是如何定義的？兩條平行線之間的距離和點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離有何聯(lián)系與區(qū)別？學(xué)生：根據(jù)平行四邊形定義性質(zhì)得出兩條平行線之間的距離學(xué)習(xí)活動(dòng)六：小結(jié)歸納學(xué)生：每組推薦一名代表，匯報(bào)本組的發(fā)現(xiàn)和收獲。教師：教師及時(shí)給予評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出（1）通過觀察、猜想、驗(yàn)證、證明發(fā)現(xiàn)問題；（2）研究問題要從一般逐步到特殊；學(xué)習(xí)活動(dòng)七：性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)生：完成下列練習(xí)：1.已知□ABCD中，∠A=40°，∠B=_____ ,∠C=___，∠D=______ .2.已知□ABCD中，AB=8cm,周長等于24cm，則BC=_______，CD=_____ ，DA=___.3.已知□ABCD中,∠A+∠C=200°，∠B=___.4如圖，在□ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列說法，錯(cuò)誤的是（ ）．（A）OA＝OC （B）∠BAD＝∠BCD （C）AC⊥BD （D）∠BAD＋∠ABC＝180°5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的長． 【變式拓展】平行四邊形的一條角平分線分對(duì)邊為3和4兩部分，求平行四邊形的周長.【收獲與反思】 評(píng)價(jià)任務(wù)2.探索平行四邊形的判定.學(xué)習(xí)目標(biāo)：16-2-1通過經(jīng)歷平行四邊形判定定理的探索過程，豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展合情推理能力.16-2-2.通過平行四邊形判定定理以及相關(guān)問題的證明和計(jì)算，一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.具體任務(wù)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比等腰三角形、直角三角形性質(zhì)判定的互逆關(guān)系，學(xué)生獨(dú)立思考，證明判定，組內(nèi)交流.評(píng)價(jià)量規(guī)2：水平劃分水平一水平二水平三水平四平行四邊形的判定不能探究出平行四邊形的性質(zhì) 能在同學(xué)的幫助下探究平行四邊形的判定能自主探究出平行四邊形的性質(zhì)，并能在合作中學(xué)會(huì)應(yīng)用能自主探究判定，并熟練應(yīng)該用判定解決問題具體實(shí)施：6人為一小組，由小組長根據(jù)小組互評(píng)1號(hào)與3號(hào)互評(píng)，2號(hào)和4號(hào)互評(píng)，5號(hào)和6號(hào)互評(píng)）作出評(píng)價(jià)。小組長記錄。學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第2課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)一：探索平行四邊形的判定.教師：類比平行線、直角三角形等圖形的性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系，你認(rèn)為平行四邊形的判定應(yīng)該怎樣研究？學(xué)生:獨(dú)立思考后，說出平行四邊形性質(zhì)的逆命題.學(xué)生：小組派一名代表板書解題過程，并進(jìn)行講解。學(xué)習(xí)活動(dòng)二：平行四邊形判定的證明教師：怎樣證明的？用的方法是什么？你是如何想到的？學(xué)生：寫出證明過程，最終得出平行四邊形的判定填一填：四邊形ABCD中，（1）若AB∥CD，補(bǔ)充條件 ，使四邊形ABCD為平行四邊形.（理由： ）.（2）若AB=CD，補(bǔ)充條件 ，使四邊形ABCD為平行四邊形.（理由： ）.（3）若對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OA=OC=3，OB=5，補(bǔ)充條件 ，使四邊形ABCD為平行四邊形.（理由： ）.學(xué)習(xí)活動(dòng)三：判定的應(yīng)用1.如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45 ，則∠EDF的度數(shù)是_______度.2.在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，已知AB∥CD，那么以下四個(gè)說法中，正確的有（ ）．①如果再加上條件“AD∥BC”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；②如果再加上條件“AB＝CD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；③如果再加上條件“BC＝AD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；④如果再加上條件“AO＝CO”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形.（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)3.如圖，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O,點(diǎn)F、G分別是BO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)AO.若AO=6cm，BC=8cm，則四邊形DEFG的周長是________.4.已知：如圖，□ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求證：AE=CF．【收獲與反思】18-1-3探索中位線定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過經(jīng)歷平行四邊形判定定理的探索過程，豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展合情推理能力.2.通過平行四邊形判定定理以及相關(guān)問題的證明和計(jì)算，一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.具體任務(wù)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比等腰三角形、直角三角形性質(zhì)判定的互逆關(guān)系，學(xué)生獨(dú)立思考，證明判定，組內(nèi)交流.評(píng)價(jià)任務(wù)：能說出三角形中位線的概念，能在老師啟發(fā)下證明中位線定理.評(píng)價(jià)量表：水平劃分水平一水平二水平三水平四中位線的概念不能說出中位線的定義 能說出中位線的定義，并能認(rèn)識(shí)中位線與中線的區(qū)別能準(zhǔn)確說出中位線定義，能準(zhǔn)確區(qū)分中位線與中線，并認(rèn)識(shí)到構(gòu)造三角形形的中位線的方法 能準(zhǔn)確說出中位線定義，能準(zhǔn)確區(qū)分中位線與中線，并認(rèn)識(shí)到構(gòu)造三角形形的中位線的方法，并能初步猜想中位線與第三邊的關(guān)系證明中位線定理.不會(huì)證明三角形中位線定理能在教師提示下做出輔助線，在同學(xué)或老師幫助下完成證明能在教師提示下做出輔助線，自己獨(dú)立完成中位線定理的證明能獨(dú)立做出輔助線，準(zhǔn)確完整的完成中位線定理的證明評(píng)價(jià)實(shí)施：學(xué)習(xí)完學(xué)習(xí)活動(dòng)4后，實(shí)施此任務(wù)，6人為一小組，由小組長評(píng)價(jià)組員，教師評(píng)價(jià)小組長.學(xué)習(xí)活動(dòng) 第3課時(shí) 學(xué)習(xí)活動(dòng)一：明確三角形的中位線概念.1.結(jié)合圖形說出三角形中位線的定義；2.結(jié)合圖形說出三角形的中線與三角形中位線的區(qū)別.【思考】：（1）（三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？ 一個(gè)三角形的中位線共有三條；三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點(diǎn)不同．中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線；中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線． 學(xué)習(xí)活動(dòng)二：探索三角形的中位線定理1.思考問題：如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，猜想DF與BC有何位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？2.學(xué)生借助右圖中兩個(gè)完全相同的圖形，發(fā)現(xiàn)DF與BC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.教師引導(dǎo)學(xué)生借助拼圖，如何將發(fā)現(xiàn)的問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題.3.學(xué)生獨(dú)立嘗試解決問題，然后組內(nèi)討論，小組代表進(jìn)行展示.4.師生歸納解決該問題用到的轉(zhuǎn)化的思想方法.學(xué)習(xí)活動(dòng)三：應(yīng)用中位線定理解決問題1.思考問題：已知：如圖（1），在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．2.學(xué)生復(fù)習(xí)總結(jié)平行四邊形的方法有哪些？3.學(xué)生獨(dú)立嘗試解決，然后分組討論.4.開展小組競賽，看看小組解決問題的辦法多.5.師生歸納其中方法和思想.學(xué)習(xí)活動(dòng)四：中位線定理鞏固練習(xí)1．（填空）如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N，如果測得MN=20 m，那么A、B兩點(diǎn)的距離是 m，理由是 ．2．已知：三角形的各邊分別為8cm 、10cm和12cm ，求連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長．3．如圖，△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，（1）若EF=5cm，則AB= cm；若BC=9cm，則DE= cm；（2）中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想．18-2-1-1探索矩形定義、性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷矩形概念的形成及性質(zhì)、判定的探索過程，發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力.2.通過靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、判定解決有關(guān)問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問題和解決問題的能力.評(píng)價(jià)任務(wù)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比平行四邊形定義、性質(zhì)判定的得出矩形的定義、性質(zhì)過程，并會(huì)根據(jù)定義推導(dǎo)性質(zhì)和判定.水平劃分水平一水平二水平三水平四矩形的定義不能說出矩形的定義 能說出矩形的定義，并能認(rèn)識(shí)矩形的定義既是矩形的性質(zhì)又是矩形的判定能準(zhǔn)確矩形定義，認(rèn)識(shí)矩形的定義既是矩形的性質(zhì)又是矩形的判定，并能運(yùn)用定義解決一些基本問題 能準(zhǔn)確矩形定義，認(rèn)識(shí)矩形的定義既是矩形的性質(zhì)又是矩形的判定，并能運(yùn)用定義解決一些基本問題，并能認(rèn)識(shí)矩形是一種特殊的平行四邊形，它的研究方式可以類比平行四邊形進(jìn)行矩形的性質(zhì)能猜想矩形的性質(zhì)，但是不全，也不夠準(zhǔn)確能在教師提示下完整地猜想出矩形的性質(zhì)能完整地猜想出矩形的性質(zhì)，并能根據(jù)定義對(duì)性質(zhì)進(jìn)行證明能類比平行四邊形的研究方法完整地猜想出矩形的性質(zhì)，并能根據(jù)定義和全等的知識(shí)對(duì)性質(zhì)進(jìn)行證明評(píng)價(jià)實(shí)施：學(xué)習(xí)完學(xué)習(xí)活動(dòng)4后，實(shí)施此任務(wù)，6人為一小組，由小組長評(píng)價(jià)組員，教師評(píng)價(jià)小組長.學(xué)習(xí)活動(dòng) 第4課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)一：歸納矩形的定義操作、觀察教學(xué)具從平行四邊形變?yōu)榫匦蔚奶攸c(diǎn)，思考如何在平行四邊的基礎(chǔ)上得出矩形的概念.嘗試給出矩形的概念并逐步精確規(guī)范.學(xué)習(xí)活動(dòng)二：歸納矩形的性質(zhì)1.回憶平行四邊形從哪幾個(gè)方面總結(jié)性質(zhì)，分別有哪些性質(zhì).2.學(xué)生借助學(xué)具或畫出圖形，猜想平行四邊形從邊、角、對(duì)角線等方面有哪些性質(zhì),哪些是四邊形不具有的。歸納出矩形的性質(zhì).3.獨(dú)立嘗試證明這些性質(zhì)，先小組討論，再展示.學(xué)習(xí)活動(dòng)三：矩形性質(zhì)的推論1.觀察矩形圖形，說出它的性質(zhì). 2.剪掉△ACD后，剩余的圖形是什么圖形，有何特點(diǎn)？學(xué)習(xí)活動(dòng)三：矩形性質(zhì)的應(yīng)用1.思考問題：已知：如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形對(duì)角線的長.2.獨(dú)立嘗試解決，先小組討論，再展示，教師訂正.學(xué)習(xí)活動(dòng)四：矩形性質(zhì)的鞏固1．（填空）（10分）（1）矩形的定義中有兩個(gè)條件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角為30°，則矩形兩條對(duì)角線相交所得的四個(gè)角的度數(shù)分別為 、 、 、 ．（3）已知矩形的一條對(duì)角線長為10cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為120°，則矩形的邊長分別為 cm， cm， cm， cm．2、（10分）如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°（1）求∠2的度數(shù)．（2）求證：BO＝BE．18-2-1-2矩形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過類比平行四邊形判定定理的研究過程，能從矩形性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)，證明矩形的判定定理，并能應(yīng)用于實(shí)際問題。評(píng)價(jià)任務(wù)：知道矩形的判定定理，能發(fā)現(xiàn)和證明矩形判定定理，并能應(yīng)用于實(shí)際問題。評(píng)價(jià)量規(guī)：水平劃分水平一水平二水平三水平四矩形的判定定理不能類比平行四邊形的判定定理發(fā)現(xiàn)和證明矩形的判定定理，不能說出判定定理內(nèi)容。在教師的引導(dǎo)下可以完成矩形判定定理的發(fā)現(xiàn)和證明，會(huì)用文字語言準(zhǔn)確表達(dá)矩形判定定理。自主的發(fā)現(xiàn)和證明矩形判定定理，并能用文字語言和符號(hào)語言表達(dá)矩形判定定理。自主的發(fā)現(xiàn)和證明矩形的判定定理，對(duì)于判定定理的不同描述能進(jìn)行判斷和應(yīng)用。能用矩形判定定理解決實(shí)際問題不能用矩形的判定定理解決課本例題在教師或同伴引導(dǎo)下能用矩形判定定理完成例題。能獨(dú)立完成課本例題的求解和證明，且過程較規(guī)范。能獨(dú)立準(zhǔn)確的完成課本例題，并能找出矩形判定定理在生活中的實(shí)例。學(xué)習(xí)活動(dòng) 第5課時(shí)一、導(dǎo)入新知（活動(dòng)1）、你能說出矩形的定義和性質(zhì)嗎？類比平行四邊形的判定，矩形的判定定理有那些？二、探究新知（活動(dòng)2）說一說：矩形的對(duì)角線相等，矩形的四個(gè)角是直角，它們的逆命題是什么？證一證：1.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（嘗試自己寫出已知和求證，畫出圖形）2.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（同證明判定定理1嘗試自己寫出已知和求證，畫出圖形）想一想：工人師傅在做門窗時(shí)或矩形零件時(shí)，為何要測量兩組對(duì)邊的長度和對(duì)角線的長度？3.木匠師傅制作矩形踏板時(shí)，在一個(gè)對(duì)邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的地方鋸了兩次，就能得到矩形踏板。為什么？三.精講例題（活動(dòng)3）例2 已知：如圖,在ABCD中，AC 、DB是它的兩條對(duì)角線, AC=DB.求證：ABCD是矩形.四．鞏固應(yīng)用1、下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？（1）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （）（2）有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （）（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形； （）（4）對(duì)角線相等的四邊形是矩形； （）（5）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形； （）2、已知：如圖，ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．求證：四邊形EFGH是矩形．思考應(yīng)該用哪種方法判定。學(xué)生不同的方法展示，并一步歸納各種矩形的判定方法。五、課堂小結(jié)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定 判定定理 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形. 運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明18-2-2-1菱形定義及性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實(shí)例，理解菱形的概念，明確菱形與矩形與平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別；在教師的引導(dǎo)下，通過小組討論，能從邊、角、對(duì)角線三方面進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)和證明菱形的性質(zhì)，并用菱形的相關(guān)性質(zhì)解決問題；通過具體例題，能用不同的方法計(jì)算菱形面積，并總結(jié)出菱形面積和對(duì)角線的關(guān)系式。評(píng)價(jià)任務(wù)：理解菱形的概念，能證明菱形的性質(zhì)，并用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明。水平劃分水平一水平二水平三水平四菱形的概念 不能說出菱形的概念能準(zhǔn)確地說出菱形的概念，并能舉出生活中的例子能準(zhǔn)確地說出菱形的概念，在教師引導(dǎo)下能說出菱形和矩形、平行四邊形的聯(lián)系和區(qū)別。能準(zhǔn)確地說出菱形的概念，并能舉出生活中的例子，能明確說出菱形和矩形、平行四邊形的聯(lián)系和區(qū)別。菱形的性質(zhì)不能發(fā)現(xiàn)和證明菱形的性質(zhì)能說出菱形的性質(zhì)但不能完成菱形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明 在教師的引導(dǎo)下，能發(fā)現(xiàn)和證明菱形的性質(zhì)能獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)和證明菱形的性質(zhì)，用文字和符號(hào)語言表達(dá)菱形的性質(zhì)菱形面積的計(jì)算不能計(jì)算菱形面積通過小組合作能完成菱形面積的計(jì)算自主完成菱形面積的計(jì)算，并能得出菱形面積等于對(duì)角線乘積一半能用多種方法完成菱形面積的計(jì)算，并能解決課本例題和習(xí)題。學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第6課時(shí)課堂導(dǎo)入操作、觀察教學(xué)具從平行四邊形變?yōu)榫匦蔚奶攸c(diǎn)，思考如何在平行四邊的基礎(chǔ)上得出菱形的概念二、探索性質(zhì)探:1：將一張矩形的紙對(duì)折再對(duì)折，然后沿著圖中的虛線剪下，再打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)什么樣的圖形呢？從對(duì)稱性角度，它有什么性質(zhì)？ 探究2：回憶平行四邊形從哪幾個(gè)方面總結(jié)性質(zhì)，分別有哪些性質(zhì)。學(xué)生借助學(xué)具或畫出圖形，猜想平行四邊形從邊、角、對(duì)角線等方面有哪些性質(zhì),哪些是四邊形不具有的。歸納出矩形的性質(zhì)。探究3：思考平行四邊形面積的計(jì)算方法觀察菱形對(duì)角線之間的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化兩個(gè)三角形的面積，總結(jié)出菱形面積另一種計(jì)算方法：三、 精講例題例3 如圖，菱形花壇 ABCD 的邊長為 20m，∠ABC=60 ，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路 AC 和 BD. 求兩條小路的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.四、性質(zhì)鞏固1.若菱形的邊長等于一條對(duì)角線的長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為 ．2．已知菱形的兩條對(duì)角線分別是6cm和8cm ，求菱形的周長和面積．3．已知菱形ABCD的周長為20cm，且相鄰兩內(nèi)角之比是1∶2，求菱形的對(duì)角線的長和面積．4．已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE．五、課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？還有哪些疑問？18-2-2-2菱形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：在教師的引導(dǎo)下，類比平行四邊形、矩形判定定理的研究過程，從性質(zhì)定理的逆定理出發(fā)，推導(dǎo)出菱形的兩種判定方法。評(píng)價(jià)任務(wù)1：在理解與掌握菱形定義的前提下，知道菱形的兩種判定方法。評(píng)價(jià)量規(guī)：水平劃分水平一水平二水平三水平四菱形的判定方法不能說出菱形的判定方法以及菱形判定的幾何語言在教師的引導(dǎo)下說出菱形的判定方法，會(huì)用幾何語言描述菱形的判定方法，完成例題自主準(zhǔn)確說出菱形的判定方法，會(huì)用幾何語言描述菱形的判定方法，獨(dú)立完成課本例題自主準(zhǔn)確說出菱形的判定方法，會(huì)自主推導(dǎo)出菱形的兩種判定方法并會(huì)用幾何語言表示，會(huì)對(duì)P58練習(xí)3有自己的認(rèn)識(shí)，獨(dú)立完成課本例題。學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第7課時(shí)活動(dòng)一.回顧知識(shí)問題一：菱形的定義是什么？除此之外還有其他的判定菱形的方法嗎？有一組鄰邊相等的平行四邊行是菱形。有活動(dòng)二探究新知問題二：類比研究平行四邊行、矩形的判定方法，菱形的性質(zhì)定理的逆命題是什么？命題1.四條邊相等的四邊行是菱形。命題2.對(duì)角線相互垂直的平形四邊形是菱形。問題三：結(jié)合菱形的定義，你能證明上述逆命題是否成立嗎？將命題1轉(zhuǎn)化為以下證明題：已知：在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD求證：四邊形ABCD是菱形2.將命題2轉(zhuǎn)化為以下證明題：已知：在□ABCD中，AC⊥BD求證：□ABCD是菱形 【總結(jié)】通過以上證明，得到菱形的兩種判定定理：四邊相等的四邊形是菱形.對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形.三、精講例題（課本P57 例4）如圖，□ABCD的對(duì)角線AC,BD相較于點(diǎn)O，且AB=5,AO=4,BO=3.求證：□ABCD是菱形.證明：∵AB=5,AO=4,BO=3∴=+∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD∴□ABCD是菱形四、課堂小結(jié)菱形的判定方法：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。判定定理:四邊相等的四邊形是菱形。判定定理：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形。18-2-3正方形學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握正方形的概念，理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別，探索正方形的性質(zhì)。評(píng)價(jià)任務(wù)：通過老師的引導(dǎo)，知道正方形的概念，總結(jié)出正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而探索正方形的性質(zhì)。水平劃分水平一水平二水平三水平四正方形的概念不能說出正方形的概念在教師的引導(dǎo)下說出正方形的概念自主準(zhǔn)確說出正方形的概念根據(jù)矩形和菱形的定義，結(jié)合正方形的特點(diǎn)獨(dú)立自主的準(zhǔn)確總結(jié)出正方形的概念正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別不能說出正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別能說出部分正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別能完整說出正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別，完成例題。能自主總結(jié)出正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別，獨(dú)立完成例題。正方形的性質(zhì)不能說出正方形的性質(zhì)在教師的引導(dǎo)下說出正方形的性質(zhì)自主準(zhǔn)確說出正方形的性質(zhì)，獨(dú)立完成例題自主準(zhǔn)確說出正方形的性質(zhì)，獨(dú)立完成例題，并能舉一反三學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第8課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)一：正方形概念回顧矩形和菱形的定義，結(jié)合正方形的特點(diǎn)，嘗試給出定義，在教師引導(dǎo)下逐步給出準(zhǔn)確定義。思考正方形、菱形、矩形之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)活動(dòng)二：探索正方形的性質(zhì)回顧平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)，思考正方形與以上三者的關(guān)系；課本P58思考，歸納出正方形的性質(zhì)。正方形的性質(zhì)：（1）一般性質(zhì)： （2）特殊性質(zhì)： 例題1:正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ）A、 四條邊相等 B、對(duì)角線互相垂直平分C、對(duì)角線相等 D、每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角嘗試變式：例題2：求證：正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形18-8-2學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握正方形的判定方法，并會(huì)用他們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算。評(píng)價(jià)任務(wù)：在老師的引導(dǎo)下，總結(jié)正方形的判定方法，并會(huì)用他們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算。水平劃分水平一水平二水平三水平四正方形的判定方法不能說出正方形的判定方法，不會(huì)做題。在教師的引導(dǎo)下說出正方形的判定方法，做題不熟悉。自主準(zhǔn)確說出正方形的判定方法，獨(dú)立完成例題自主總結(jié)出正方形的判定方法，獨(dú)立完成例題，并會(huì)舉一反三。學(xué)習(xí)活動(dòng)一：探索正方形的判定方法?；仡櫰叫兴倪呅巍⒕匦?、菱形的判定，思考正方形與以上三者的關(guān)系；歸納正方形的判定方法。例題3:在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（ ） （A）AC=BD，AB∥CD，AB=CD （B）AD∥BC，∠A=∠C（C）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD （D）AO=CO，BO=DO，AB=BC18-8-3學(xué)習(xí)目標(biāo)：熟練掌握正方形的性質(zhì)和判定方法，并會(huì)用他們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算。評(píng)價(jià)任務(wù)：熟練掌握正方形的性質(zhì)和判定方法，用性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算水平劃分水平一水平二水平三水平四正方形的性質(zhì)和判定方法不能說出正方形的性質(zhì)和判定方法在教師的引導(dǎo)下說出能說出正方形的性質(zhì)和判定方法，不夠熟練自主準(zhǔn)確說出正方形的性質(zhì)和判定方法。自主準(zhǔn)確說出正方形的性質(zhì)和判定方法，能獨(dú)立完成例題。用性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算不能說出正方形的性質(zhì)和判定方法，不會(huì)做題能說出正方形的性質(zhì)和判定方法，做題不熟練會(huì)利用正方形的性質(zhì)和判定方法做簡單的應(yīng)用題熟知正方形的性質(zhì)和判定方法，獨(dú)立的應(yīng)用性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第9課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)一：正方形判定與性質(zhì)的應(yīng)用例1.如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)．求證：四邊形PQMN是正方形．2.分析正方形的特點(diǎn)和題目中的已知條件，鼓勵(lì)一題多解。學(xué)習(xí)活動(dòng)二：正方形判定與性質(zhì)的鞏固1．正方形的四條邊____ __，四個(gè)角___ ____，兩條對(duì)角線____ ____．2．下列說法是否正確，并說明理由．①對(duì)角線相等的菱形是正方形；（ ）②對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（ ）③對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形；（ ）④四條邊都相等的四邊形是正方形；（ ）⑤四個(gè)角相等的四邊形是正方形．（ ）3.已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為CD、CB延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF．求證：∠AFE＝∠AEF．4．如圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且△EBC是等邊三角形，求∠EAD與∠ECD的度數(shù)． 學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第10課時(shí)一、以題代綱，梳理知識(shí)（一）開門見山，直奔主題同學(xué)們，今天我們一起來復(fù)行四邊形》的相關(guān)知識(shí)，先請(qǐng)同學(xué)們迅速地完成下面幾道練習(xí)題，請(qǐng)看大屏幕。（二）診斷練習(xí)1、根據(jù)條件判定它是什么圖形，并在括號(hào)內(nèi)填出，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O：（1）AB＝CD,AD＝BC （平行四邊形）（2）∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ） （3）AB＝BC，四邊形ABCD是平行四邊形 （ 菱形 ） （4）OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ） （5）AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )2、菱形的兩條對(duì)角線長分別是6厘米和8厘米，則菱形的邊長為 5 厘米。3、順次連結(jié)矩形ABCD各邊中點(diǎn)所成的四邊形是 菱形 。4、若正方形ABCD的對(duì)角線長10厘米，那么它的面積是 50 平方厘米。5、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，軸對(duì)稱圖形有： 矩形、菱形、正方形 ，中心對(duì)稱圖形的有： 平行四邊形、矩形、菱形、正方形 ，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是： 矩形、菱形、正方形 。（三）歸納整理，形成體系1、性質(zhì)判定，列表歸納平行四邊形矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定1、兩組對(duì)邊分別平行；2、兩組對(duì)邊分別相等；3、一組對(duì)邊平行且相等;4、兩組對(duì)角分別相等；5、兩條對(duì)角線互相平分.1、有三個(gè)角是直角的四邊形;2、有一個(gè)角是直角的平行四邊形;3、對(duì)角線相等的平行四邊形.1、四邊相等的四邊形；2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；3、有一組鄰邊相等的平行四邊形。4、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形。1、有一個(gè)角是直角的菱形；2、對(duì)角線相等的菱形；3、有一組鄰邊相等的矩形；4、對(duì)角線互相垂直的矩形；對(duì)稱性只是中心對(duì)稱圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形面積S= ahS=abS=S= a22、基礎(chǔ)練習(xí)：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（　　C　　）　　 A.對(duì)角線相等　（距、正）　 B. 對(duì)角線平分一組對(duì)角 （菱、正）　　 C.對(duì)角線互相平分 　　　D. 對(duì)角線互相垂直 （菱、正）（2）正方形具有，矩形也具有的性質(zhì)是（　　A　　）　 A.對(duì)角線相等且互相平分　　 B. 對(duì)角線相等且互相垂直　 C. 對(duì)角線互相垂直且互相平分　 D.對(duì)角線互相垂直平分且相等（3）如果一個(gè)四邊形是中心對(duì)稱圖形，那么這個(gè)四邊形一定（ D　 ）　 A.正方形　　　B.菱形　　　C.矩形　 D.平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形，A、B、C都是平行四邊形（4）矩形具有，而菱形不一定具有的性質(zhì)是（　 B ?。? A. 對(duì)角線互相平分　　　 B. 對(duì)角線相等　 C. 對(duì)邊平行且相等　　 D. 內(nèi)角和為3600問：菱形的對(duì)角線一定不相等嗎？錯(cuò)，因?yàn)檎叫我彩橇庑?。?）正方形具有而矩形不具有的特征是（　　D　　）　 A. 內(nèi)角為3600　 B. 四個(gè)角都是直角　 C. 兩組對(duì)邊分別相等 D. 對(duì)角線平分對(duì)角問：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？對(duì)角線相等2、集合表示，突出關(guān)系二、查漏補(bǔ)缺，講練結(jié)合（一）一題多變，培養(yǎng)應(yīng)變能力〖例題1〗已知：如圖1，□ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O， EF過點(diǎn)O與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F．求證：OE=OF． 變式1．在圖1中，連結(jié)哪些線段可以構(gòu)成新的平行四邊形？為什么？ 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。變式2．在圖1中，如果過點(diǎn)O再作GH，分別交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四邊形？為什么？對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。變式3．在圖1中，若EF與AB、CD的延長線分別交于點(diǎn)E、F，這時(shí)仍有OE=OF嗎？你還能構(gòu)造出幾個(gè)新的平行四邊形？對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。變式4．在圖1中，若改為過A作AH⊥BC，垂足為H，連結(jié)HO并延長交AD于G，連結(jié)GC，則四邊形AHCG是什么四邊形？為什么？可由變式1可知四邊形AHCG是平行四邊形，再由一個(gè)直角可得四邊形AHCG是矩形。變式5．在圖1中，若GH⊥BD，GH分別交AD、BC于G、H，則四邊形BGDH是什么四邊形？為什么？ 可由變式1可知四邊形BGDH是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂直可得四邊形BGDH是菱形。變式6．在變式5中，若將“□ABCD”改為“矩形ABCD”，GH分別交AD、BC于G、H，則四邊形BGDH是什么四邊形？若AB=6，BC=8，你能求出GH的長嗎？（這一問題相當(dāng)于將矩形ABCD對(duì)折，使B、D重合，求折痕GH的長。）略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。 設(shè)OG = x，則BG = GD=． 在Rt△ABG中，則勾股定理得：AB2 + AG2 = BG2 ，即， 解得 ． ∴GH = 2 x = 7.5． （二）一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維〖例題2〗已知：如圖，在正方形ABCD，E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，且AE = DC + CE． 求證：AF平分∠DAE． 證法一：（延長法）延長EF，交AD的延長線于G（如圖2-1）。 ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四邊相等，四個(gè)角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF 在△EFC和△GFD中 ∴△EFC≌△GFD（ASA） ∴CE=DG，EF=GF ∵AE = DC + CE， ∴AE = AD + DG = AG， ∴AF平分∠DAE．證法二：（延長法）延長BC，交AF的延長線于G（如圖2-2） ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90° （正方形對(duì)邊平行，四邊相等，四個(gè)角都是直角） ∴∠3=∠G，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D 在△FCG和△FDA中 ∴△△FCG和△FDA（ASA） ∴CG=DA ∵AE = DC + CE， ∴AE = CG + CE = GE， ∴∠4 =∠G， ∴∠3 =∠4， ∴AF平分∠DAE．思考：如果用“截取法”，即在AE上取點(diǎn)G，使AG=AD，再連結(jié)GF、EF（如圖2-3），這樣能證明嗎？三、綜合訓(xùn)練，總結(jié)規(guī)律綜合練習(xí)，提高解題能力1.在例2中，若將條件“AE = DC + CE”和結(jié)論“AF平分∠DAE”對(duì)換， 所得命題正確嗎？為什么？你有幾種證法？ 2.已知：如圖，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， G、H分別是BC、AD的中點(diǎn)． 求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（用兩種方法） （二）課堂小結(jié)，領(lǐng)悟思想方法 1.一題多變，舉一反三。 經(jīng)常在解題之后進(jìn)行反思——改變命題的條件，或?qū)⒚}的結(jié)論延伸，或?qū)l件和結(jié)論互換，往往會(huì)有意想不到的收獲。也只有這樣，才能做到舉一反三，提高應(yīng)變能力。 2.一題多解，觸類旁通。 在平時(shí)的作業(yè)或練習(xí)中，通過一題多解，你不僅可以從中對(duì)比選出最優(yōu)方法，提高自己在應(yīng)考中的解題效率，而且還能開闊你的思維，達(dá)到觸類旁通的目的。 3.善于總結(jié)，領(lǐng)悟方法。數(shù)學(xué)題目本身蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想方法，只要你善于總結(jié)，就能真正掌握、提煉出其中的數(shù)學(xué)方法，才能不斷提高自己分析問題、解決問題的能力。 第11課時(shí) 單元測試一．選擇題（共10小題，滿分24分）1．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（　　）A．4 B．4.5 C．4.8 D．52．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。〢．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD3．（3分）如圖， ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)圖中共有（　?。﹤€(gè)平行四邊形．A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）下列能夠判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（　?。〢．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC5．（3分）點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）BC∥AD，（4）BC＝AD，這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法種數(shù)是（　　）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如圖，在 ABCD中，AB＝BC，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。〢．四邊形ABCD是菱形 B．AB＝AD C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC7．（3分）已知四邊形ABCD為平行四邊形，要使四邊形ABCD為矩形，則可增加條件為（　?。〢．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD8．（3分）已知 ABCD的周長是64，AB＝8，則BC的長為（　　）A．8 B．24 C．48 D．569．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BC，連接AF，DF，AF分別交CD，BD于點(diǎn)G，O，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。〢．四邊形ACFD是平行四邊形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD D．面積關(guān)系：S△GEO＝S△ADO10．如圖，在邊長為4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，連接DE，BF，BD，則DE2+BF2＝（　?。〢．10 B．20 C．30 D．40二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是　 　．（填一個(gè)即可）12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，若BF＝6，則DE＝　 　．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，過B作一直線與CD相交于點(diǎn)E，過A作AF垂直BE于點(diǎn)F，過C作CG垂直BE于點(diǎn)G，在FA上截取FH＝FB，再過H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為　 ?。?4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥AB于點(diǎn)E，MF⊥AC于點(diǎn)F，N為EF的中點(diǎn)，則MN的最小值為 　 ?。?5．（3分）如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若測得A，C之間的距離為6cm，點(diǎn)B，D之間的距離為8cm，則線段AB的長為 　 ?。?6．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，則∠AEO＝　 　度．17．（3分）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對(duì)的銳角為30°．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD＝BC，則△ABC底角的度數(shù)為 　 　．18．（3分）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，連接AD，DE，DF，有下列結(jié)論：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形．其中正確的有 　 ?。ㄌ钚蛱?hào)）三．解答題（共8小題，滿分76分）19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC與BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的長．（簡述過程）20．（9分）在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AD，CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，請(qǐng)直接寫出AE的長為　 ?。?1．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，EF與AC相交于點(diǎn)O，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）已知sin∠ACF＝，CF＝5，AB＝6，請(qǐng)你直接寫出sinB的值．22．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，E是邊BC的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：2EF＝CD；（2）當(dāng)EF與BC滿足　 　時(shí)，四邊形ABCD是矩形；（3）當(dāng)EF與BC滿足　 　時(shí)，四邊形ABCD是菱形，并證明你的結(jié)論；（4）當(dāng)EF與BC滿足　 　時(shí)，四邊形ABCD是正方形．23．（9分）如圖，在 ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，E是邊長AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①當(dāng)AE＝　 　時(shí)，四邊形CEDF是矩形；②當(dāng)AE＝　 　時(shí)，四邊形CEDF是菱形．24．（10分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的長度．25．（10分）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC，CD上，連結(jié)AE、AF．（1）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥AF交AD于點(diǎn)M，求證：AF＝EM；（2）如圖2，若AE平分∠BAF，求證：AF＝BE+DF．26．（12分）如圖，點(diǎn)D是等腰△ABC底邊BC上任意一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，求證：DE+DF＝AB． 學(xué)習(xí)活動(dòng)： 第12課時(shí)一．選擇題（共10小題，滿分24分）1．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（　?。〢．4 B．4.5 C．4.8 D．5【分析】由中位線定理可得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，再由垂線段最短可得當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值，連接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，則BP的最小值為BP′的長，P2Q是△EAD的中位線，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的長，由三角形中位線定理得出P1P2的長，設(shè)P′P2＝x，則P′P1＝﹣x，由勾股定理得BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，解得x＝，即可得出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1＝DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP＝FP，由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，如圖所示：∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∴CP1＝CD＝3，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝AB＝3，連接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，則BP的最小值為BP′的長，P2Q是△EAD的中位線，∴P2Q＝AD＝2，QE＝AQ＝AE＝，∴BQ＝BE+QE＝3+＝，在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：BP2＝＝＝，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，∴P1P2＝CE＝，在Rt△BCP1中，由勾股定理得：BP1＝＝＝5，設(shè)P′P2＝x，則P′P1＝﹣x，由勾股定理得：BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，即（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得：x＝，∴BP′2＝（）2﹣（）2＝，∴BP′＝4.8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、垂線段最短等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。〢．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，可以得到選項(xiàng)A中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以得到選項(xiàng)B中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以得到選項(xiàng)D中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；選項(xiàng)C中的條件，無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；∵AB∥DC，AD＝BC，則無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C中的條件，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確平行四邊形的判定方法．3．（3分）如圖， ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)圖中共有（　?。﹤€(gè)平行四邊形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析可得共有四對(duì)，分別是 AECG， BFDH， OPMN， ABCD．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴AE＝CG，∴四邊形AECG是平行四邊形，同理：四邊形BFDH是平行四邊形，四邊形OPMN是平行四邊形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的理解及運(yùn)用能力．4．（3分）下列能夠判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（　?。〢．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC【分析】直接利用平行四邊形的判定方法分別判斷得出答案．【解答】解：如圖所示：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不符合“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，不符合“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，不符合“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，符合“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．5．（3分）點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）BC∥AD，（4）BC＝AD，這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法種數(shù)是（　?。〢．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)平行四邊形的判定在四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有4種．【解答】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚呐卸ǚ椒ㄓ校簝山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可選①③；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可選②④；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可選①②或③④；故選法有四種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形共有五種判定方法，記憶時(shí)要注意技巧；這五種方法中，一種與對(duì)角線有關(guān)，一種與對(duì)角有關(guān)，其他三種與邊有關(guān)．6．（3分）如圖，在 ABCD中，AB＝BC，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）A．四邊形ABCD是菱形 B．AB＝AD C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO，AD∥BC，則∠BAD+∠ABC＝180°，再由AB＝BC得平行四邊形ABCD是菱形，則AB＝AD，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，故選項(xiàng)A、B、C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵．7．（3分）已知四邊形ABCD為平行四邊形，要使四邊形ABCD為矩形，則可增加條件為（　　）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，增加AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠BAD，可判定四邊形ABCD是菱形，由AC＝BD，即可判定四邊形ABCD是矩形．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故B符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴四邊形ABCD是菱形，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．8．（3分）已知 ABCD的周長是64，AB＝8，則BC的長為（　?。〢．8 B．24 C．48 D．56【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，進(jìn)而可得AB+BC＝32，然后可得BC的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵ ABCD的周長為64，∴AB+BC＝32，∵AB＝8，∴BC＝24，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)邊相等．9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BC，連接AF，DF，AF分別交CD，BD于點(diǎn)G，O，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）A．四邊形ACFD是平行四邊形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD D．面積關(guān)系：S△GEO＝S△ADO【分析】由菱形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，可得CF＝BC，由平行四邊形的判定可證四邊形ACFD是平行四邊形，可得BD⊥DF，由勾股定理可得BD2+FD2＝BF2，由相似三角形的性質(zhì)可得S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，∵CF＝BC，∴CF＝AD，∴四邊形ACFD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不合題意；∴AC∥DF，DG＝GC，∴BD⊥DF，∴BD2+FD2＝BF2，故選項(xiàng)B不合題意；∵DG＝GC，AE＝EC，∴EG∥AD，AD＝2EG，∴△EGO∽△DAO，∴＝（）2＝4，，∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故選項(xiàng)C符合題意，選項(xiàng)D不合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．10．如圖，在邊長為4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，連接DE，BF，BD，則DE2+BF2＝（　?。〢．10 B．20 C．30 D．40【分析】連接BE，DF交于點(diǎn)O，由題意可證△AEB≌△AFD，可得∠AFD＝∠AEB，可證∠EOF＝90°，由勾股定理可求解．【解答】解：連接BE，DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°∴∠EAB＝∠DAF，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEF+∠AFE＝90°＝∠AEB+∠BEF+∠AFE＝∠BEF+∠AFE+∠AFD＝∠BEF+∠EFD＝90°，∴∠EOF＝90°，∴EO2+FO2＝EF2，DO2+BO2＝DB2，EO2+DO2＝DE2，OF2+BO2＝BF2，∴DE2+BF2＝EF2+DB2＝2AE2+2AD2＝2×22+2×42＝40．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是　AC＝BD且AC⊥BD或AB＝BC且AB⊥BC等?。ㄌ钜粋€(gè)即可）【分析】本題是開放題，可以針對(duì)正方形的判定方法，由給出條件四邊形ABCD為平行四邊形，加上條件AC＝BD根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，得到ABCD為矩形，再加上對(duì)角線AC與BD垂直，根據(jù)對(duì)角線垂直的矩形是正方形即可得證；或加上鄰邊AB與BC相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得到ABCD為菱形，再加上AB垂直BC，即有一個(gè)角是直角的菱形為正方形，即可得證．【解答】解：如圖所示：添加的條件是AC＝BD且AC⊥BD，或AB＝BC且AB⊥BC，平行四邊形ABCD為正方形；理由如下：添加的條件時(shí)AC＝BD且AC⊥BD時(shí)；∵四邊形ABCD是平行四邊形．又AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是正方形；添加的條件是AB＝BC且AB⊥BC時(shí)；∵四邊形ABCD是平行四邊形．AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AB⊥BC，即∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；故答案為：AC＝BD且AC⊥BD或AB＝BC且AB⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道開放型題目，主要考查矩形、菱形及正方形的判定；熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，若BF＝6，則DE＝　6?。痉治觥扛鶕?jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF＝AC，根據(jù)三角形中位線定理得到DE＝AC，根據(jù)題意計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)F是邊CA的中點(diǎn)，則BF＝AC，∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∴DE＝BF，∵BF＝6，∴DE＝6，故答案是：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，過B作一直線與CD相交于點(diǎn)E，過A作AF垂直BE于點(diǎn)F，過C作CG垂直BE于點(diǎn)G，在FA上截取FH＝FB，再過H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為　9?。痉治觥糠?：由四邊形ABCD為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又根據(jù)CG與BE垂直得到∠BCG+∠CBG＝90°，根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，又根據(jù)一對(duì)直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG與三角形FBA全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF與BG相等，又因?yàn)镕H＝FB，從而得到AH＝FG，然后由垂直得到一對(duì)直角相等，加上一個(gè)公共角，得到三角形APH與三角形ABF相似，根據(jù)相似得比例，設(shè)AH＝FG＝x，用x表示出PH，由四邊形PHFB一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行得到此四邊形為梯形，根據(jù)梯形的面積公式，由上底PH，下底為BF＝3，高FH＝3，表示出梯形的面積；然后在三角形BCG與三角形ECG中，根據(jù)同角的余角相等，再加上一對(duì)直角得到兩三角形相似，根據(jù)相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG＝3，利用表示出的GE，利用三角形的面積公式表示出直角三角形CGE的面積，把表示出的兩面積相加，化簡即可得到值；法2：作出相應(yīng)的輔助線，如圖所示，易得三角形BPQ與三角形CGE全等，利用轉(zhuǎn)化思想求出所求即可．【解答】解：法1：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又CG⊥BE，即∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，又AF⊥BG，∴∠AFB＝∠BGC＝90°，∴△ABF≌△BCG，∴AF＝BG，BF＝CG＝FH＝3，又∵FH＝BF，∴AH＝FG，設(shè)AH＝FG＝x，∵PH⊥AF，BF⊥AF，∴∠AHP＝∠AFB＝90°，又∠PAH為公共角，∴△APH∽△ABF，∴＝，即PH＝，∵PH∥BF，BP不平行FH，∴四邊形BFHP為梯形，其面積為＝+；又∵∠BCG+∠ECG＝90°，∠ECG+∠BEC＝90°，∴∠BCG＝∠BEC，又∠BGC＝∠CGE＝90°，∴△BCG∽△CEG，∴＝，即GE＝，故Rt△CGE的面積為×3×，則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為++＝+＝9．法2：延長AF交BC于點(diǎn)K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形對(duì)應(yīng)高相等），∴BF＝FH＝3，作射線QH，過B作BQ⊥HQ于點(diǎn)Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四邊形QBFH為正方形，且面積為32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四邊形BPHF＝S△BPQ+S四邊形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，此題的綜合性比較強(qiáng)，常常綜合了多個(gè)考點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，因而解答時(shí)需“分解題意”，即將一個(gè)大問題分解為一個(gè)一個(gè)的小問題，從而解決問題．14．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥AB于點(diǎn)E，MF⊥AC于點(diǎn)F，N為EF的中點(diǎn)，則MN的最小值為 　　．【分析】過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M′，根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由三角形的面積公式求出AM′的長．然后證四邊形AEMF是矩形，得出AM＝EF，MN＝AM，當(dāng)MN最小時(shí)，AM最短，此時(shí)M與M′重合，據(jù)此可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵M(jìn)E⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四邊形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM與EF互相平分，∵N為EF的中點(diǎn)，∴MN＝AM，∴當(dāng)MN最小時(shí)，AM最短，此時(shí)點(diǎn)M與M′重合，∴MN＝AM′＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，垂線段最短等知識(shí)，證明四邊形AEMF為矩形是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若測得A，C之間的距離為6cm，點(diǎn)B，D之間的距離為8cm，則線段AB的長為 　5cm?。痉治觥孔鰽R⊥BC于R，AS⊥CD于S，根據(jù)題意先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再由AR＝AS得平行四邊形ABCD是菱形，再根據(jù)勾股定理求出AB即可．【解答】解：如圖，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，連接AC，BD交于點(diǎn)O，由題意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵兩張紙條等寬，∴AR＝AS．∵AR BC＝AS CD，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3cm，OB＝4cm，∴AB＝＝5（cm）．故答案是：5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，證得四邊形ABCD是菱形是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，則∠AEO＝　30　度．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠AEC＝45°，得到∠B＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO＝BO＝AO＝AB，推出△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠B＝30°，求得AC＝OC＝CE，于是得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，∴CO＝BO＝AO＝AB，∴△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠B＝30°，∴AC＝OC＝CE，∴∠COE＝∠CEO＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠AEO＝∠CEO﹣∠AEC＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．（3分）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對(duì)的銳角為30°．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD＝BC，則△ABC底角的度數(shù)為 　45°或15°或75°?。痉治觥扛鶕?jù)題意畫出符合的三種情況，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：分為三種情況：①如圖，△ABC中，AB＝AC，AD＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∴AD＝BD＝DC，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°；②如圖，△ABC中，AC＝BC，∵AD＝BC，AD⊥BC，∴∠D＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵∠B+∠BAC＝∠ACD，∴∠B＝∠BAC＝15°，③如圖，AD＝BC，∠C＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝75°；故答案為：45°或15°或75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，連接AD，DE，DF，有下列結(jié)論：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形．其中正確的有 ?、佗冖堋。ㄌ钚蛱?hào)）【分析】兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【解答】解：①∵點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，∴DE、DF為△ABC的中位線，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，故正確；②若∠BAC＝90°，則平行四邊形AEDF是矩形，故正確；③若AD平分∠BAC，則∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，∴不能判定四邊形AEDF是正方形，故錯(cuò)誤；④若AD⊥BC，則AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中位線定理和平行四邊形、矩形、正方形、菱形的判定定理．解題時(shí)注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．三．解答題（共8小題，滿分76分）19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC與BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的長．（簡述過程）【分析】（1）連接BE，DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE＝DE，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)題意計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：連接BE，DE，在△ABC和△ADC中，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E為AC中點(diǎn)，∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∵F為BD中點(diǎn)，∴EF⊥BD；（2）在Rt△BFE中，EF＝3，BF＝BD＝4，由勾股定理得：BE＝＝＝5，∴AC＝2BE＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．20．（9分）在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AD，CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，請(qǐng)直接寫出AE的長為　?。痉治觥浚?）證△AEF≌△CED（AAS），得FE＝DE，再由AE＝CE，即可得出四邊形ADCF是平行四邊形；（2）先證AE＝DE，再證平行四邊形ADCF是矩形，得∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，然后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．【解答】（1）證明：∵E是AC邊的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴FE＝DE，又∵AE＝CE，∴四邊形ADCF是平行四邊形；（2）解：∵∠FEA＝∠ADE+∠DAE，∠FEA＝2∠ADE，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，由（1）得：四邊形ADCF是平行四邊形，AE＝CE，F(xiàn)E＝DE，∴AC＝DF，∴平行四邊形ADCF是矩形，∴∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，∴AC＝＝＝3，∴AE＝AC＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，EF與AC相交于點(diǎn)O，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）已知sin∠ACF＝，CF＝5，AB＝6，請(qǐng)你直接寫出sinB的值．【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得OA＝OC．EA＝EC，再證△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，則四邊形AECF是平行四邊形，然后由EA＝EC，即可得出結(jié)論；（2）過A作AM⊥BC于M，由銳角三角函數(shù)定義得OF＝，則OC＝2，AC＝2OC＝4，再由勾股定理求出FM＝3，則AM＝4，即可解決問題．【解答】（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．EA＝EC，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EA＝EC∴平行四邊形AECF是菱形；（2）解：過A作AM⊥BC于M，如圖所示：∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∵sin∠ACF＝＝，CF＝5，∴OF＝，∴OC＝＝＝2，∴AC＝2OC＝4，由（1）得：四邊形AECF是菱形，∴AF＝CF＝5，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∴AM2＝AF2﹣FM2＝AC2﹣CM2，即52﹣FM2＝（4）2﹣（FM+5）2，解得：FM＝3，∴AM＝＝＝4，∴sinB＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，E是邊BC的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：2EF＝CD；（2）當(dāng)EF與BC滿足　EF⊥BC　時(shí)，四邊形ABCD是矩形；（3）當(dāng)EF與BC滿足　BC＝2EF　時(shí)，四邊形ABCD是菱形，并證明你的結(jié)論；（4）當(dāng)EF與BC滿足　EF⊥BC且BC＝2EF　時(shí)，四邊形ABCD是正方形．【分析】（1）利用三角形中位線定理以及其性質(zhì)判斷得出即可；（2）利用矩形的判定方法得出即可；（3）利用菱形的判定方法得出即可；（4）利用正方形的判定方法得出即可．【解答】（1）證明：∵平行四邊形ABCD，∴點(diǎn)F為AC，BD的中點(diǎn)，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴EF為△DBC的中位線，∴2EF＝CD；（2）EF⊥BC；理由：∵EF為△DBC的中位線，EF⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形；故答案為：EF⊥BC；（3）BC＝2EF，理由：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且BC＝2EF∴EF＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠EFC＝∠ECF又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF＝180°∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝90°，∴平行四邊形ABCD是菱形；故答案為：BC＝2EF；（4）EF⊥BC且BC＝2EF．理由：由（2）（3）可得：當(dāng)EF與BC滿足EF⊥BC且BC＝2EF時(shí)，四邊形ABCD是正方形．故答案為：EF⊥BC且BC＝2EF．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形中位線定理以及菱形和矩形以及正方形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題關(guān)鍵．23．（9分）如圖，在 ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，E是邊長AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①當(dāng)AE＝　6　時(shí)，四邊形CEDF是矩形；②當(dāng)AE＝　4　時(shí)，四邊形CEDF是菱形．【分析】（1）證△DEG≌△CFG（AAS），得EG＝FG，再由DG＝CG，即可得出四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①過A作AM⊥BC于M，證△MBA≌△EDC（SAS），得∠CED＝∠AMB＝90°，即可得出結(jié)論；②證△CDE是等邊三角形，得CE＝DE，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEG＝∠CFG，∵G是CD的中點(diǎn)，∴DG＝CG，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG，∵DG＝CG，∴四邊形CEDF是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)AE＝6時(shí)，四邊形CEDF是矩形，理由如下：過A作AM⊥BC于M，如圖所示：∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，∵∠B＝60°，∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDE＝∠B＝60°，CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，∵AE＝6，∴DE＝2＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形，故答案為：6；②當(dāng)AE＝4時(shí)，四邊形CEDF是菱形，理由如下：∵AD＝8，AE＝4，∴DE＝4，∵CD＝4，∠CDE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是菱形，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定和菱形的判定，證明△DEG≌△CFG和△MBA≌△EDC是解題的關(guān)鍵．24．（10分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的長度．【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∵CE＝，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴四邊形DECG是正方形，∴CG＝CE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證得△EQF≌△EPD．25．（10分）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC，CD上，連結(jié)AE、AF．（1）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥AF交AD于點(diǎn)M，求證：AF＝EM；（2）如圖2，若AE平分∠BAF，求證：AF＝BE+DF．【分析】（1）如圖1，過M作MN⊥BC于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D＝∠C＝90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，由全等三角形的性質(zhì)即可得到AF＝EM；（2）如圖2，延長CB到G，使BG＝DF，連接AG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，求得∠GAE＝∠DAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠AEB等量代換得到∠GAE＝∠AEB，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，過M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四邊形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵M(jìn)E⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF與△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）證明：如圖2，延長CB到G，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．26．（12分）如圖，點(diǎn)D是等腰△ABC底邊BC上任意一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，求證：DE+DF＝AB．【分析】首先根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形判定出四邊形AEDF是平行四邊形，進(jìn)而得到DF＝AE，然后證明DE＝CE，即可得到DE+DF＝AB．【解答】證明：如圖∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DF＝AE，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DF+DE＝AE+CE＝AC＝AB．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行且相等，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
A
C
B
D
O
B
A
C
D
A
BA
CA
DA
EA
FA
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A　
B　
C　
D　
O　
A
B
C
D
E
F
正方形
平行四邊形
矩形
菱形
1-2
1-1
變式2
2-3
2-1
2-2
變式3
3-1
3-2
A
B
D
C
O
H
G
變式4
A
B
C
D
O
G
H
變式5
O
B
H
C
A
G
D
變式6
B
A
D
C
F
E
例2
2-1
1
2
A
B
D
C
F
E
G
1
2
3
4
2-2
2-3
作2

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