資源簡介

專題1.1 集合【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 集合中元素個(gè)數(shù)問題】 2
【題型2 子集的個(gè)數(shù)問題】 4
【題型3 與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】 5
【題型4 集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】 6
【題型5 與集合的運(yùn)算有關(guān)的含參問題】 7
【題型6 集合的新定義問題】 8
1、集合
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)集合的概念
(2)集合間的基本關(guān)系
(3)集合的基本運(yùn)算 2020年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分 2021年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分 2022年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分 2023年I卷：第1題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分 集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，高考對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算，偶爾涉及集合的符號(hào)辨識(shí)，一般出現(xiàn)在高考的第1題，以簡單題為主.
【知識(shí)點(diǎn)1 集合】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數(shù)集的記法
集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
符號(hào) N N*(或N＋) Z Q R
2．集合的基本關(guān)系
(1)子集：若對(duì)于任意的x∈A都有x∈B，則A B；
(2)真子集：若A B，且A≠B，則A B；
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B；
(4) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運(yùn)算
表示 運(yùn)算 文字語言 集合語言 圖形語言 記法
交集 屬于A且屬于B的所有元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集 屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
補(bǔ)集 全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于集合U的補(bǔ)集 {x|x∈U，x A} UA
4．集合的運(yùn)算性質(zhì)
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【常用結(jié)論】
(1)若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【題型1 集合中元素個(gè)數(shù)問題】
【例1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）若集合中有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用一元二次方程及根的判別式列式求解即得.
【解答過程】依題意，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則且，解得且，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為且.
故選：C.
【變式1-1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【解題思路】
根據(jù)題意得到，再結(jié)合求解即可.
【解答過程】，，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，共有個(gè)元素.
當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，
此時(shí)，共有個(gè)元素.
當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，
此時(shí)，有重復(fù)數(shù)字，去掉，共有個(gè)元素.
綜上中元素的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B.
【變式1-2】（2023·四川南充·模擬預(yù)測）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)集合的新定義求得，從而確定正確答案.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，
故中元素的個(gè)數(shù)為.
故選：B.
【變式1-3】（2023·河北·模擬預(yù)測）若集合U有71個(gè)元素，且各有14，28個(gè)元素，則的元素個(gè)數(shù)最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【解題思路】根據(jù)集合中的元素以及交并補(bǔ)運(yùn)算的性質(zhì)即可求解.
【解答過程】設(shè)中有個(gè)元素，則,
所以中的元素個(gè)數(shù)為，因此中的元素個(gè)數(shù)為中的元素減去中的元素個(gè)數(shù)，即為，
由于，所以，故當(dāng)時(shí)，有最小值14
故選：A.
【題型2 子集的個(gè)數(shù)問題】
【例2】（2024·寧夏·一模）已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【解題思路】先求出集合B，再求真子集個(gè)數(shù)即可.
【解答過程】由題意得，
故集合B的真子集個(gè)數(shù)為.
故選：B.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合 ，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系確定中的元素后可得正確的選項(xiàng)．
【解答過程】由可得且，根據(jù)為的真子集，
可得或或，故滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為3.
故選：A.
【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．16 C．31 D．63
【解題思路】根據(jù)題意，利用列舉法求化簡集合，從而求得集合的真子集個(gè)數(shù).
【解答過程】依題意，得；；；
；；；
；；，故，
其真子集的個(gè)數(shù)為：．
故選：C.
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【解題思路】根據(jù)集合的描述法確定集合中的元素，根據(jù)交集的概念可得，從而根據(jù)其元素個(gè)數(shù)得子集個(gè)數(shù).
【解答過程】因?yàn)?，
，
所以，所以的子集個(gè)數(shù)為．
故選：D．
【題型3 與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．或0 C． D．2
【解題思路】根據(jù)子集關(guān)系結(jié)合集合中元素的互異性求解出的值.
【解答過程】根據(jù)集合中元素的互異性，可得，所以，
根據(jù)，可得，則或，解得，
故選：C．
【變式3-1】（2023·全國·高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【解題思路】
根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【解答過程】因?yàn)?，則有：
若，解得，此時(shí)，，不符合題意；
若，解得，此時(shí)，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
【變式3-2】（2024·四川德陽·三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系求解即得.
【解答過程】集合，，又，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
【變式3-3】（2024·遼寧撫順·三模）設(shè)集合，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據(jù)題意，得到或，求得的值，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.
【解答過程】由集合，
因?yàn)?，所以或，解得或?br/>當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意．
故選：C．
【題型4 集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】
【例4】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用集合的交集運(yùn)算求解.
【解答過程】解：因?yàn)榧希?br/>所以 ，
故選：C.
【變式4-1】（2024·云南紅河·二模）設(shè)集合，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)集合的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【解答過程】由得，
所以， .
故選：A.
【變式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，則=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由并集和補(bǔ)集的定義求解即可.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>故 ，所以 .
故選：D.
【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分析集合A可知或，結(jié)合并集和補(bǔ)集的定義與運(yùn)算即可求解.
【解答過程】對(duì)于集合中的元素，
當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，
所以或或，
故.
故選：B．
【題型5 與集合的運(yùn)算有關(guān)的含參問題】
【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合，若，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
【解題思路】由題意可求出B中可能的元素，討論a的取值，驗(yàn)證是否符合題意，即可得答案.
【解答過程】由題意知：對(duì)于集合B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
又，故，則，
若，則，此時(shí)，
不滿足；
若，此時(shí)，滿足，
故，
故選：C.
【變式5-1】（2024·安徽阜陽·一模）設(shè)集合或，集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
根據(jù)并集的定義列出不等式，進(jìn)而可得出答案.
【解答過程】
因?yàn)榛颍?，且?br/>所以，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B．
【變式5-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知集合，，，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意得，求解即可
【解答過程】因?yàn)椋?，解得，又a是正實(shí)數(shù)，
所以則正實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：A.
【變式5-3】（2024·廣東梅州·一模）已知集合，，，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出，根據(jù)并集結(jié)果得到答案.
【解答過程】或，，，
故，則的取值范圍為.
故選：D.
【題型6 集合的新定義問題】
【例6】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)．
A．16 B．15 C．14 D．13
【解題思路】
先確定集合有四個(gè)元素，則可得其非空子集的個(gè)數(shù).
【解答過程】根據(jù)題意，，
則集合的非空子集的個(gè)數(shù)是.
故選：B.
【變式6-1】（2023·云南保山·二模）定義集合運(yùn)算：，設(shè)，，則集合的所有元素之和為（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【解題思路】由集合的新定義計(jì)算即可.
【解答過程】由題設(shè)知，
所有元素之和為，
故選：A.
【變式6-2】（2023·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分析可知，求出集合、、，即可得集合.
【解答過程】由韋恩圖可知，，
因?yàn)椋?br/>則，，因此，.
故選：D.
【變式6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結(jié)合新定義可知，求得，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.
【解答過程】結(jié)合新定義可知，又，
所以．
故選：A.
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
【解題思路】令分別為選項(xiàng)中不同值，求出的值進(jìn)行判定.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)或時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】借助元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【解答過程】由題意可得，解得.
故選：A.
3．（2024·陜西寶雞·一模）若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【解題思路】分類討論，確定方程有一解時(shí)滿足的條件求解.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，由可得，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由只有一個(gè)根需滿足，
解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值為0或1.
故選：D.
4．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以可以是，共8個(gè)，
故選：D.
5．（2024·山東聊城·一模）已知集合，，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
計(jì)算出集合、后借助集合間的關(guān)系計(jì)算即可得.
【解答過程】由，可得，故，
由，可得，故，
由，則有.
故選：C.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）集合，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)代入法求得集合，再根據(jù)集合交集的定義求得結(jié)果；
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以．
故選：D．
7．（2024·天津·二模）設(shè)全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出，再求出即可.
【解答過程】因?yàn)椋裕?br/>所以 ，
故選：A.
8．（2024·安徽·二模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由得出，再根據(jù)自己概念即可得解.
【解答過程】由已知，所以，又，所以，
故選:C.
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則下列判斷中，正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
【解題思路】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】
對(duì)于A，假設(shè)，則令，則，
令，則，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A對(duì)；
對(duì)于B，由題，，則
∴，故B對(duì)；
對(duì)于C，∵，，，
∵故C對(duì)；
對(duì)于D，∵，，若，則，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
10．（23-24高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則或
D．若 ，則或或
【解題思路】解一元二次方程求得集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念即可逐一判斷．
【解答過程】依題意可得，
對(duì)于A，若，則，解得，故A正確；
對(duì)于B，若，則，解得，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，解得或，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
11．（2023·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.
【解答過程】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)榍?，所以，則，故選項(xiàng)正確；
由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
三、填空題
12．（2024·遼寧丹東·一模）若為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為 ．
【解題思路】由題意設(shè)，進(jìn)一步得，分析得到與必然都是偶數(shù)，從而考慮80的分解方式得數(shù)組的可能情況即可進(jìn)一步求解.
【解答過程】由題意設(shè)，則，
注意到是偶數(shù)，所以與的奇偶性相同，
（否則若和中，有一個(gè)是奇數(shù)，有一個(gè)是偶數(shù)，則它們的和是奇數(shù)，這與是偶數(shù)矛盾），
注意到是偶數(shù)，所以與必然都是偶數(shù)，
考慮80的分解方式，
滿足題意的數(shù)組只可能是三種情況，
所以x的取值可能是.
故答案為：.
13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為 ．
【解題思路】
根據(jù)，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【解答過程】由題意，所以或，則或，
所以實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【解題思路】根據(jù)交集的運(yùn)算及集合中的元素的個(gè)數(shù)，列不等式求解即可.
【解答過程】因?yàn)椋?，若中?個(gè)元素，
所以，所以，解得，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合，其中.
(1)若集合中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.
(2)若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）分類討論當(dāng)、時(shí)方程根的個(gè)數(shù)，即可求解；
（2）由（1）可得或，再討論當(dāng)時(shí)的情況即可.
【解答過程】（1）若，方程化為，此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；
若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時(shí)，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)集合A中有且僅有一個(gè)元素，
∴所求集合；
（2）集合A中至多有一個(gè)元素包括有兩種情況，
①A中有且僅有一個(gè)元素，由（1）可知此時(shí)或，
②A中一個(gè)元素也沒有，即，此時(shí)，且，解得，
綜合①②知的取值范圍為或.
16．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合
(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；
(2)若 ，求的值組成的集合．
【解題思路】（1）當(dāng)時(shí)求出集合A與B，再判斷關(guān)系；
（2）求出集合B，注意對(duì)與分類討論，根據(jù)，列方程求解．
【解答過程】（1）
當(dāng)時(shí)，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，則，是真子集成立；
若，則，因?yàn)槭茿真子集，
或，所以或．
所以的值組成的集合．
17．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）已知集合，或．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解題思路】
（1）根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得；
（2）分和兩種情況討論，分別得到不等式（組），求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.
【解答過程】（1）當(dāng)時(shí)，，
又或，所以，
所以.
（2）因?yàn)?，又且?br/>當(dāng)，即時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18．（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知集合，，定義兩個(gè)集合P，Q的差運(yùn)算：．
(1)當(dāng)時(shí)，求與；
(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解題思路】（1）用集合的新定義求解即可；
（2）由“”是“”的必要條件得到，再利用范圍求出即可.
【解答過程】（1），
當(dāng)時(shí)，，
所以，
．
（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，
所以，
故，
解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
19．（23-24高一上·北京密云·期末）對(duì)于正整數(shù)集合（，）如果去掉其中任意一個(gè)元素.之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.
(1)判斷集合是否是“和諧集”，并說明理由；
(2)求證：若集合是“和諧集”.則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；
(3)若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.
【解題思路】（1）根據(jù)集合中這5個(gè)數(shù)字的特征,可以去掉2即可判斷出集合不是“和諧集”；
（2）判斷任意一個(gè)元素（）的奇偶性相同，分類討論，可以證明出若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；
（3）由（2）知為奇數(shù)，根據(jù)的取值討論后求解.
【解答過程】（1）當(dāng)集合去掉元素2時(shí)，剩下元素組成兩個(gè)集合的交集為空集有以下幾種情況：
,
經(jīng)過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)每給兩個(gè)集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和諧集”；
（2）設(shè)正整數(shù)集合（，）所有元素之和為，由題意可知
均為偶數(shù)，因此任意一個(gè)元素（）的奇偶性相同.
若是奇數(shù)，所以（）也都是奇數(shù)，由于，顯然為奇數(shù)；
若是偶數(shù)，所以（）也都是偶數(shù).此時(shí)設(shè)（）,
顯然也是“和諧集”，重復(fù)上述操作有限次，便可以使得各項(xiàng)都為奇數(shù)的“和諧集”，
此時(shí)各項(xiàng)的和也是奇數(shù)，集合中元素的個(gè)數(shù)也是奇數(shù)，
綜上所述：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).
（3）由（2）知集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)，顯然時(shí)，集合不是“和諧集”，
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若A為“和諧集”，去掉后，得，去掉后，得，兩式矛盾，故時(shí)，集合不是“和諧集”，
當(dāng)，設(shè)，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和諧集”，元素個(gè)數(shù)的最小值為7.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題1.1 集合【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 集合中元素個(gè)數(shù)問題】 2
【題型2 子集的個(gè)數(shù)問題】 3
【題型3 與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】 3
【題型4 集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】 4
【題型5 與集合的運(yùn)算有關(guān)的含參問題】 4
【題型6 集合的新定義問題】 5
1、集合
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)集合的概念
(2)集合間的基本關(guān)系
(3)集合的基本運(yùn)算 2020年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分 2021年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分 2022年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分 2023年I卷：第1題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分 集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，高考對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算，偶爾涉及集合的符號(hào)辨識(shí)，一般出現(xiàn)在高考的第1題，以簡單題為主.
【知識(shí)點(diǎn)1 集合】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數(shù)集的記法
集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
符號(hào) N N*(或N＋) Z Q R
2．集合的基本關(guān)系
(1)子集：若對(duì)于任意的x∈A都有x∈B，則A B；
(2)真子集：若A B，且A≠B，則A B；
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B；
(4) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運(yùn)算
表示 運(yùn)算 文字語言 集合語言 圖形語言 記法
交集 屬于A且屬于B的所有元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集 屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
補(bǔ)集 全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于集合U的補(bǔ)集 {x|x∈U，x A} UA
4．集合的運(yùn)算性質(zhì)
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【常用結(jié)論】
(1)若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【題型1 集合中元素個(gè)數(shù)問題】
【例1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）若集合中有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【變式1-2】（2023·四川南充·模擬預(yù)測）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·河北·模擬預(yù)測）若集合U有71個(gè)元素，且各有14，28個(gè)元素，則的元素個(gè)數(shù)最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【題型2 子集的個(gè)數(shù)問題】
【例2】（2024·寧夏·一模）已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合 ，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．16 C．31 D．63
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【題型3 與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．或0 C． D．2
【變式3-1】（2023·全國·高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【變式3-2】（2024·四川德陽·三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·遼寧撫順·三模）設(shè)集合，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【題型4 集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】
【例4】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2024·云南紅河·二模）設(shè)集合，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，則=（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型5 與集合的運(yùn)算有關(guān)的含參問題】
【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合，若，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
【變式5-1】（2024·安徽阜陽·一模）設(shè)集合或，集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知集合，，，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2024·廣東梅州·一模）已知集合，，，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 集合的新定義問題】
【例6】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)．
A．16 B．15 C．14 D．13
【變式6-1】（2023·云南保山·二模）定義集合運(yùn)算：，設(shè)，，則集合的所有元素之和為（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【變式6-2】（2023·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西寶雞·一模）若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
4．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．（2024·山東聊城·一模）已知集合，，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）集合，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·天津·二模）設(shè)全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽·二模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則下列判斷中，正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
10．（23-24高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則或
D．若 ，則或或
11．（2023·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（2024·遼寧丹東·一模）若為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為 ．
13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為 ．
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合，其中.
(1)若集合中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.
(2)若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合
(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；
(2)若 ，求的值組成的集合．
17．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）已知集合，或．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知集合，，定義兩個(gè)集合P，Q的差運(yùn)算：．
(1)當(dāng)時(shí)，求與；
(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（23-24高一上·北京密云·期末）對(duì)于正整數(shù)集合（，）如果去掉其中任意一個(gè)元素.之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.
(1)判斷集合是否是“和諧集”，并說明理由；
(2)求證：若集合是“和諧集”.則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；
(3)若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.
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