資源簡介

人教A版高一（下）數學必修第二冊6.2.3向量的數乘運算教學設計
課題 6.2.3 向量的數乘運算
課型 新課型 課時 1課時
學習目標 1.掌握實數與向量的積的定義以及實數與向量積的三條運算律，會利用實數與向量積的運算律進行有關的計算；?2.通過實例分析、掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義.3.了解平面向量線性運算的性質及其幾何意義.4.理解兩個向量平行的充要條件，能根據條件兩個向量是否平行；
學習重點 教學重點：實數與向量的積的定義、運算律，向量平行的充要條件；
學習難點 教學難點：理解實數與向量的積的定義，向量平行的充要條件。
學情分析 學生在學習本節內容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、減運算，并且初步體會了研究向量運算的一般方法，即先由特殊模型抽象出概念，然后再從概念出發，還在與實數運算類比的基礎上研究了向量加法的運算律.這為學生學習向量的數乘運算做了很好的鋪墊，使學生更容易接受.
核心知識 1.了解向量數乘的概念.2.理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算.3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法．
教學內容及教師活動設計（含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
問題1：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則各是什么？問題2：向量減法的幾何意義是什么？【師生互動】師生共同回顧前面所學過的向量加法和減法的相關知識.【設計意圖】學習新知識前的簡單復習，不僅能喚起學生的記憶，而且為學習新課做好了知識上的準備.◆探究已知非零向量，作出和．它們的長度和方向分別是怎樣的？如圖6.2-14，．類比數的乘法，我們把記作，即．顯然的方向與的方向相同，的長度是的長度的3倍，即|．類似地，由圖6.2-14可知，，我們把記作，即．顯然的方向與的方向相反，的長度是的長度的3倍，即．一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘(multiplication of vector by sca lar)，記作，它的長度與方向規定如下：(1)；(2)當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反．由(1)可知，當時，．由(1)(2)可知， ．一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，其長度與方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.2λaa≠0的方向特別地，當λ＝0時，λa＝0．當λ＝－1時，(－1)a＝－a.注意點：(1)數乘向量仍是向量．(2)實數λ與向量不能相加．你對零向量、相反向量有什么新的認識？思考如果把非零向量的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量，之間的關系怎樣？根據實數與向量的積的定義，可以驗證下面的運算律是成立的．設，為實數，那么（1）；（2）；（3）．特別地，我們有，．向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．向量線性運算的結果仍是向量．對于任意向量，，以及任意實數，μ1，μ2，恒有總結：數乘運算的運算律設λ，μ為實數，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.應用新知例5 計算：（1）； （2）；（3）．解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝．【變式】已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實數 .【答案】【知識點】已知向量共線（平行）求參數【分析】利用向量共線的充要條件建立方程組進行計算求解.【詳解】因為與是共線向量，所以存在實數，使得，所以，即，又因為是兩個不共線的向量，所以，解得故答案為：.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.注意點：(1)向量共線定理中規定a≠0．(2)λ的值是唯一存在的．例6 如圖6.2-15，□ABCD的兩條對角線相交于點，且，，用，表示，，和．解：在□ABCD中，，．由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得，，，．【變式】在△ABC中，點D滿足，點E滿足，則=（ ）A． B．C． D．【答案】C【知識點】向量的線性運算的幾何應用【分析】由平面向量的線性運算法則求解．【詳解】如圖1，.故選：C用已知向量表示未知向量的求解思路將待表示的向量通常放在三角形或平行四邊形中，利用向量的加法、減法、數乘的幾何意義向已知向量轉化．　例7 如圖6.2-16，已知任意兩個非零向量，，試作，，．猜想，，三點之間的位置關系，并證明你的猜想．分析：判斷三點之間的位置關系，主要是看這三點是否共線，為此只要看其中一點是否在另兩點所確定的直線上．在本題中，應用向量知識判斷，，三點是否共線，可以通過判斷向量，是否共線，即是否存在，使成立．解：分別作向量，，，過點，作直線(圖6.2-17)．觀察發現，不論向量，怎樣變化，點始終在直線上，猜想，，三點共線．事實上，因為，，所以．因此，，，三點共線．【變式】已知，是兩個不共線的向量.(1)若，，，求證：A，B，D三點共線；(2)若和共線，求實數的值．【答案】(1)證明見解析；(2)【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題、已知向量共線（平行）求參數【分析】（1）求出，找到使成立的即可證明；（2）通過平行，必存在實數使，列方程組求出實數的值.【詳解】（1），又，，，又， A，B，D三點共線；（2）向量和共線，存在實數使，又，是不共線，，解得.例8 已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，求實數的值．解：由，不共線，易知向量為非零向量．由向量，共線，可知存在實數，使得，即．由，不共線，必有．否則，不妨設，則．由兩個向量共線的充要條件知，，共線，與已知矛盾．由，解得．因此，當向量，共線時，．【變式】已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，則實數t的值為 .【答案】2【知識點】已知向量共線（平行）求參數【分析】根據向量共線定理即可求解.【詳解】向量，共線，所以存在實數，使得，由于，是兩個不共線的向量，所以 且，所以，故答案為：2關于向量共線定理(1)向量共線定理中規定向量a≠0，因為如果a＝0，當b＝0時，0＝λ0，λ可以是任意實數；當b≠0時，b＝λ0，λ值不存在．當向量a，b同向時，λ>0，當向量a，b反向時，λ<0.課堂總結1．知識清單：(1)向量的數乘及運算律．(2)向量共線定理．(3)三點共線的常用結論．2．方法歸納：數形結合法、分類討論法．3．常見誤區：忽視零向量這一個特殊向量．
板書設計
作業設計教材第15頁練習第1 3題. 習題6.2 8.（2）（3）（4）,9題
教學反思

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