資源簡介

人教A版高一（下）數學必修第二冊6.2.1向量的加法運算教學設計
課題 6.2.1向量的加法運算
課型 新課型 課時 1課時
學習目標 1. 培養學生數學抽象的能力：能利用位移和力的合成將平面向量具體化2. 通過探究活動培養學生的邏輯推理的能力3. 培養學生數學建模的能力：掌握平面向量加法運算法則，利用加法法則解決問題
學習重點 1.向量加法的運算法則及其幾何意義；2.向量加法的三角形法則及平行四邊形法則、向量加法 的交換律與結合律.
學習難點 1.對向量加法運算法則的理解；2.向量加法的三角形法則及平行四邊形法則的拓展應用.
學情分析 本節課選自《普通高中課程標準數學教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應用》，本節課是本章第2課時，《向量的加法》是第六章平面向量的線性運算的第一節課。本節內容有向量加法的平行四邊形法則、三角形法則及應用,向量加法的運算律及應用,大約需要1課時。向量的加法是向量的線性運算中最基本的一種運算，向量的加法為后面學習減法運算、向量的數乘運算及其幾何意義奠定了基礎；其中三角形法則適用于求任意多個向量的和,在空間向量與立體幾何中有很普遍的應用。所以本課在平面向量及空間向量中有很重要的地位。
核心知識 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性
教學內容及教師活動設計（含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
我們知道，數能進行運算，因為有了運算而使數的威力無窮，那么，向量是否也能像數一樣進行運算呢？唐僧當年取經的路線是從東土大唐出發，先繞到新疆，再往天竺，若孫悟空單獨前往，可以直接飛往西天，兩種走法的位移相同嗎？如果把位移看成向量，我們就引入了向量的運算．1.向量加法法則概念的形成1.1背景引入，引發思考【物理背景】在物理學中，我們知道一個質點從點移動到點，再從點移動到點，與從點直接到點的位移結果相同.這說明位移這一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法運算的.我們知道，位移、力是向量，它們可以合成．能否從位移、力的合成中得到啟發，引進向量的加法呢？思考如圖6.2-1，某質點從點A經過點B到點C，這個質點的位移如何表示？問題1：(1) 物理中的矢量與我們所學的向量有什么區別和聯系？(2) 我們能不能把物理中位移的合成的有關方法和經驗用于向量的合成？物理知識告訴我們，這個質點兩次位移，的結果，與從點A直接到點C的位移結果相同．因此，位移可以看成是位移與合成的．數的加法啟發我們，從運算的角度看，可以看作與的和，即位移的合成可以看作向量的加法．【預設的答案】 聯系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量；區別：物理學中矢量通常是有作用點的，如：力、位移等，但是數學中向量是自由向量，可以任意平移的.即向量的應用范圍是更廣的. 能【設計意圖】對向量的加法運算這一概念并不是憑空產生的，在物理的學習中，其實學生已經認識到位移、力等矢量是可以進行合成的.同時我們可以將物理中矢量的合成的有關經驗和方法用于數學中向量的合成.1.2 探究典例，形成概念【數學情境】假設在平面內任取一點，做，，那么你能說出的和向量是什么嗎？如圖6.2-2，已知非零向量，，在平面內取任意一點A，作，，則向量叫做與的和，記作，即．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型．我們再來看力的合成問題．【設計意圖】創設數學實例，讓學生借助位移的合成的有關經驗，得出向量合成的一種方式——三角形法則.問題2：求上面兩個向量的和向量時 ，你發現了什么特征嗎？【活動預設】看這兩個向量(有向線段)以及和向量(有向線段)的書寫方式，探究出向量加法的三角形法則運算規律.【設計意圖】引導學生歸納概括出三角形法則的有關特征：首尾相連的兩個向量.思考如圖6.2-3，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力與的作用，你能作出這個物體所受的合力嗎？ 我們知道，合力在以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于這條對角線的長．從運算的角度看，可以看作是與的和，即力的合成可以看作向量的加法．【活動預設】感受在力的合成過程中，三角形法則就不太方便了，需要探究新的向量加法的運算方法.【設計意圖】為引入平行四邊形法則做鋪墊.問題3：現在這兩個向量具有什么特征？能否用三角形法則來對其求和？如果不行，有沒有什么處理方法？【活動預設】(1) 根據圖象，這兩個向量并不是首尾相連的，而是具有公共起點的兩個向量，因而不能直接使用三角形法則；(2) 三角形法則適用于首尾相連的兩個向量，故考慮將其中一個向量的起點平行移動到另一個向量的終點處.在利用三角形法則進行求和.【設計意圖】解決實際問題出發，靈活應用向量加法的三角形法則，從中得出平行四邊形法則的概念.問題4：觀察下圖，將平移到處，根據三角形法則可知：即為與的和向量.那你發現四邊形是什么四邊形了嗎？如圖6.2-4，以同一點O為起點的兩個已知向量，，以OA，OB為鄰邊作□OACB，則以O為起點的向量（OC是□OACB的對角線）就是向量與的和．我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型．【活動預設】(1) 借助三角形法則畫出圖像，找到和向量；(2) 進一步分析共起點的兩個向量的和向量的平行四邊形法則.教師講授：四邊形是一個平行四邊形.因此，以同一點為起點的兩個向量與，以為鄰邊作平行四邊形，則以為起點的向量就是向量與的和向量.我們把這樣的方法稱為向量的平行四邊法則.【設計意圖】歸納特征，總結平行四邊形法則的概念.問題5：你能分析一下平行四邊形法則和三角形法則的區別與聯系嗎？【預設的答案】此處通過列表呈現三角形法則、平行四邊形法則之間的關系。【設計意圖】對向量加法法則的理解和歸納總結；思考向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？對于零向量與任意向量，我們規定．例1 如圖6.2-5，已知向量，，求作向量．作法1：在平面內任取一點O（圖6.2-6（1）），作，．則．作法2：在平面內任取一點O（圖6.2-6（2）），作，．以OA，OB為鄰邊作□OACB，連接OC，則．【設計意圖】(1) 讓學生學會用向量的加法法則進行作圖運算(2) 根據三角形兩邊之和大于第三邊得出向量加法的三角不等式【變式】如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．(1) (2) (3) 【解析】（1）解：作，，，則即為所求作的向量. （2）解：作，，，則即為所求作的向量. （3）解：作，，，則即為所求作的向量. 在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量.◆探究(1)如果向量，共線，它們的加法與數的加法有什么關系？你能作出向量嗎？(2)結合例1，探索，，之間的關系．一般地，我們有，當且僅當，方向相同時等號成立．根據數的運算的學習經驗，定義了一種運算，就要研究相應的運算律，運算律可以有效地簡化運算．◆探究數的加法滿足交換律、結合律，向量的加法是否也滿足交換律和結合律呢？如圖6.2-7(1)，作，，以，為鄰邊作□ABCD，容易發現，，故．又，所以．由圖6.2-7(2)，你能否驗證 綜上所述，向量的加法滿足交換律和結合律． 應用新知例2 長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖6.2-8，一艘船從長江南岸A地出發，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15 km/h，同時江水的速度為向東6 km/h．(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小(結果保留小數點后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°)．解：(1)如圖6.2-9．表示船速，表示江水速度，以AD，AB為鄰邊作□ABCD，則表示船實際航行的速度．(2)在中，，，于是因為，所以利用計算工具可得．因此，船實際航行速度的大小約為16.2 km/h，方向與江水速度間的夾角約為68°．【變式】某人在靜水中游泳的速度為，河水自西向東的流速為1m/s，此人朝正南方向游去，求他的實際前進方向和速度．【答案】實際前進方向為南偏東，速度為.【分析】如圖所示，河水速度為，，人的速度為，，根據向量加法得到答案.【詳解】如圖所示：河水速度為，，人的速度為，，則，，，.故實際前進方向為南偏東，速度為.用向量的加法解決實際問題，一般步驟如下：（1）由題意作出相對應的幾何圖形，用向量表示相應問題中既有大小又有方向的量；(2)利用三角形法則或平行四邊形法則,進行向量的加法運算；(3)利用直角三角形的知識解決問題.課堂總結 1.向量加法的定義(1)定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.(2)對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a.2.向量求和的法則(1)向量加法的三角形法則．向量加法的三角形法則要“首尾相接”.(2)向量加法的平行四邊形法則．應用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點”.3.向量三角不等式．|a＋b|與|a|，|b|之間的關系一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立.4.向量加法的運算律．(加法交換律)a＋b＝b＋a；(加法結合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．4．方法歸納：數形結合法．5．常見誤區：向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點．6.準確理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.使用向量加法的三角形法則時，要特別注意“首尾順次相接”.和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點.向量相加的結果是向量，如果結果是零向量，一定要寫成0，而不應寫成0.7.(1)要注意向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算.(2)要靈活運用向量加法的運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序. 　
板書設計一·向量的加法三角形法則 平行四邊形法則二·例題
作業設計教材習題：課后練習教輔書：優化設計課后練習補充習題：
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