資源簡介

人教A版高一（下）數學必修第二冊6.1平面向量的概念教學設計
課題 6.1 平面向量的概念
課型 新課 課時 1課時
學習目標 1 .了解向量的物理背景，理解平面向量的基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示.2 .掌握向量的長度（模）、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念，并會區分平行向量和相等向量.
學習重點 理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.
學習難點 平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.
學情分析 本節內容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境導入，學習平面向量的概念、表示以及平面向量之間的關系這些知識點，為平面向量的運算做鋪墊。
核心知識 1.能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量,了解向量的實際背景.掌握向量與數量的區別.2.掌握向量的幾何表示,會用字母表示向量,用向量表示點的位置.3.理解向量、零向量、單位向量、向量的長度(模)的意義,了解平行向量(共線向量)和相等向量的意義,并會判斷向量間共線(平行)、相等的關系.
教學內容及教師活動設計（含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
情境導入：情境一：小船由A地航行15 n mile 到達B地。試問小船能到達B地嗎？ 情境二：小船由A地向東南方向航行15 n mile 到達B地。試問小船能到達B地嗎？問:位移和距離這兩個量有什么不同？情境三：物體受到的重力是豎直向下的，物體的質量越大，它受到的重力越大。情境四：物體在液體中受到的浮力是豎直向上的，物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大。問:你能通過這些物理量得出向量的概念嗎？在現實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后只用一個實數就可以表示出來，如長度、質量等．還有一些量則不是這樣，例如下圖中小船的位移，小船由A地向東南方向航行15 n mile到達B地（速度的大小為10 n mile/h)．這里，如果僅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向東南方向”航行，那么小船就不一定到達B地了．這就是說，位移是既有大小又有方向的量．力、速度、加速度等也是這樣的量．對這種既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我們本章將要研究的向量． 向量是近代數學中重要和基本的概念之一，向量理論具有豐富的物理背景、深刻的數學內涵．向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮著重要作用．本章我們將通過實際背景引入向量的概念，類比數的運算學習向量的運算及其性質，建立向量的運算體系．在此基礎上，用向量的語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的一些問題． 我們知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量．本節我們將通過對這些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通過研究向量之間的一些特殊關系，初步認識向量的一些特征．向量的實際背景與概念在本章引言中，小船位移的大小是A，B兩地之間的距離15 n mile，位移的方向是東南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是東南方向．又如，物體受到的重力是豎直向下的（圖6.1-1)，物體的質量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖6.1-2)，物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大． 力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它們的共同屬性．我們知道，從一支筆、一棵樹、一本書……中，可以抽象出只有大小的數量“1”．類似地，我們可以對力、位移、速度……這些量進行抽象，形成一種新的量．在數學中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小沒有方向的量稱為數量，如年齡、身高、長度、面積、體積、質量等都是數量．物理學中常稱向量為矢量，數量為標量，你還能舉出物理學中的一些向量和數量嗎？向量的幾何表示由于數量可以用實數表示，而實數與數軸上的點一一對應，所以數量可用數軸上的點表示，而且不同的點表示不同的數量．那么，該如何表示向量呢？我們仍以位移為例，小船以A為起點，B為終點，我們可以用連接A，B兩點的線段長度代表小船行進的距離，并在終點B處加上箭頭表示小船行駛的方向．于是，這條“帶有方向的線段”就可以用來表示位移．受此啟發，我們可以用帶箭頭的線段來表示向量，線段按一定比例（標度）畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向． 通常，在線段AB的兩個端點中，規定一個順序，假設A為起點，B為終點，我們就說線段AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段(directed line segment)(圖6.1-3)．通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向．以A為起點、B為終點的有向線段記作，線段的長度也叫做有向線段的長度，記作．有向線段包含三個要素：起點、方向、長度． 知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定了．向量可以用有向線段表示，我們把這個向量記作向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．用有向線段表示向量，使向量有了直觀形象． 向量的大小稱為向量的長度（或稱模），記作．長度為0的向量叫做零向量（zero vector)，記做．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量（unit vector)． 向量也可以用字母，，，…表示．應用新知例1 在圖6.1-4中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實際距離（精確到1km)． 解： 表示A地至B地的位移，且；表示A地至C地的位移，且．相等向量與共線向量下面，我們通過向量之間的關系進一步認識向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors)．如圖6.1-5，用有向線段表示的向量與是兩個平行向量． 向量與平行，記作．我們規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量，都有．長度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector)．如圖6.1-6，用有向線段表示的向量與相等，記作．任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關；同時，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的模和方向確定．如圖6.1-7，，，是一組平行向量，任作一條與所在直線平行的直線，在上任取一點，則可在l上分別作出，，．這就是說，任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量（collinear vectors)．例2 如圖6.1-8，設O是正六邊形ABCDEF的中心．（1）寫出圖中的共線向量；（2）分別寫出圖中與，，相等的向量．解：（1）是共線向量；是共線向量；是共線向量．（2）課堂總結1.向量的概念及表示(1)定義:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示:①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素:起點、方向、長度.(3)兩個特殊向量:①零向量與非零向量:長度為0的向量叫做零向量.印刷時用加粗的阿拉伯數字零表示,即0;書寫時,可寫為.長度不為0的向量稱為非零向量.②單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量.2.向量間的關系(1)平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a,b平行,記作a∥b.規定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.(2)相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量a與b相等,記作a=b.
板書設計§6.1 平面向量的概念情境導入 三、課堂小結1.向量概念 2.向量的表示 3.向量之間的關系 二、探索新知 四、作業布置例1、2、
作業設計教材習題：習題6.1教輔書：優化設計6.1
教學反思
　　

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