資源簡介

(共22張PPT)
第四章 因式分解
4.3.2用乘法公式分解因式
01
教學目標
02
新知導入
03
新知講解
04
課堂練習
05
課堂小結
06
作業布置
01
教學目標
01
02
1. 掌握完全平方公式分解因式；
2．會綜合運用提公因式與完全平方公式解題．
02
新知導入
比一比,看誰快!
a2+2ab+b2=？
a2+2ab+b2=(a+b)2是什么運算？
當a，b取下列值時，計算a2+2ab+b2的值.其中，a=99，b=1.
03
新知探究
請用語言描述下公式的結構特點。
說一說：
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
＿
＿
（１）公式左邊：（是一個將要被分解因式的多項式）
★被分解的多項式含有三項，其中兩項為平方項且它們同號（兩數的平方和），另一項為中間項（這兩數積的2倍）.
(2)公式右邊:（是分解因式的結果）★分解的結果是兩個平方項底數和(差)的平方.
形如 　 的多項式稱為完全平方式.
03
新知講解
首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2
x2+2 x 3+(3)2
(-m)2+2(-m) n+n2
a2-2a 2b+(2b)2
運用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特點？
03
新知講解
首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2
x2+2 x 3+(3)2 x 3 (x+3)2
(-m)2+2(-m) n+n2 -m n
(-m+n)2
a2-2a 2b+(2b)2 a 2b (a-2b)2
運用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特點？
03
新知講解
如圖，用一張正方形紙片甲、兩張長方形紙片乙、一張正方形紙片丙拼成一個大正方形丁.
（1）用一個多項式表示圖形丁的面積；
（2）用整式積表示圖丁的面積；
（3）根據(1)(2)所得到的結果，寫一個表示因式分解的等式.
a
a
b
b
甲
乙
乙
丙
丁
03
新知講解
公式法
定義：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法．
特征：公式中的a，b可以是數，也可以是整式．
提煉概念
03
新知講解
用完全平方公式分解因式的關鍵是：判斷這個多項式是不是一個完全平方式.
填寫下表（若某一欄不適用，請填入“不適用”）
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是否是完全平方式
多項式
03
新知講解
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是否是完全平方式
多項式
是
a表示2y,b表示1
不是
不適用
不適用
不適用
不適用
不是
是
a表示1,b表示
是
a表示2y,b表示3x
a表示x,b表示3
是
新課探究
例
例3 把下列各式分解因式:
(1)原式=(2a)2+2×2a 3b+(3b)2=(2a+3b)2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2=-(x-2y)2
(3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
03
新知講解
例4 分解因式:
解:
＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32
把2x＋y看做
a2－2ab＋b2
中的字母“a”
即設a＝ 2x＋y ，
這種數學思想稱
為換元思想.
04
課堂練習
【知識技能類作業】必做題：
1.如果x2+mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值為（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
1.B
04
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
2.分解因式：
(1)16x2＋24x＋9；
(2)－3x2－12＋12x；
(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)原式＝(4x)2＋2×4x×3＋32
＝(4x＋3)2.
(2)原式＝－3(x2－4x＋4)
＝－3(x－2)2.
(3)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2.
04
課堂練習
【綜合拓展類作業】
3.選擇合適的方法因式分解：
(1)8a3－2a(a＋1)2；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2.
解：(1)原式＝2a[4a2－(a＋1)2]
＝2a[2a＋(a＋1)][2a－(a＋1)]
＝2a(3a＋1)(a－1)．
(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2.
05
課堂小結
1.公式法
定義：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法．
2.特征：公式中的a，b可以是數，也可以是整式．因式分解的步驟是“一提”、“二套”，即先看有沒有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法來分解因式．
3.注意：(1)作為首項的二次項系數為負數時，一般應先提取－1或整個系數；(2)如果各項有公因式，應先提取公因式.
06
作業布置
【知識技能類作業】必做題：
1.下列因式分解對嗎？說明理由
=
2=
少中間項
屬于平方差公式
平方項符號要一致
符號處理
06
作業布置
【知識技能類作業】選做題：
解：原式＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
解：原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
06
作業布置
【綜合拓展類作業】
3.若ab＝，a＋b＝，求多項式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小學教育資源及組卷應用平臺
學 科 數學 年 級 七下 設計者
教材版本 浙教版 冊、章 下冊第四章
課標要求 1.理解因式分解的意義，明確其與整式乘法的互逆關系. 2. 掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），并能靈活選擇方法分解多項式. 3.了解簡單的分組分解法（如兩項分組后提公因式）.
內容分析 因式分解是初中數學中的重要內容，它不僅是代數學習的基礎，也是解決實際問題的重要工具。在浙教版數學七年級下冊中，因式分解單元的教學目標是讓學生掌握因式分解的基本概念、方法和技巧，能夠熟練地進行因式分解，并運用因式分解解決實際問題.
學情分析 七年級學生已經具備了一定的數學基礎，強調從“運算思維”向“分解思維”的轉變，培養學生的逆向思考能力和結構化分析能力.通過數形結合（如用幾何圖形解釋因式分解）增強直觀理解.
單元目標 教學目標1.理解因式分解的概念和意義；2.掌握提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等基本的因式分解方法； 3.能夠熟練地進行多項式的因式分解；4.運用因式分解解決一些實際問題.（二）教學重點、難點教學重點：因式分解的概念和意義；提取公因式法、公式法等基本的因式分解方法.多項式除以單項式的運算技巧，以及整式乘除在實際問題中的應用.教學難點：如何靈活運用不同的因式分解方法解決復雜問題；如何將因式分解與實際問題相結合.
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架 教材特點：1. 知識脈絡與編排特點 引入方式：通過實際情境（如面積計算、代數式簡化）引出因式分解的必要性。 方法分層教學： 提公因式法：從單項式公因式到多項式公因式，強調“全提取”（如提取負號）。 公式法： 平方差公式：強調“兩數平方差”的結構特征（如 \(9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2\)）。 完全平方公式：注重中間項的符號與系數關系（如 \(x^2 + 6x + 9\) 與 \(x^2 - 4x + 4\)）。 綜合應用：結合先提公因式再用公式的“分步分解”策略。 拓展內容：簡單分組分解法的滲透（如 \(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y)\)）。2. 例題與習題設計 情境化：結合幾何圖形（如用面積相等解釋因式分解）、實際問題（如優化計算步驟）。 層次分明： 基礎題：直接應用單一方法（如分解 \(2a^2b - 4ab^2\)）。 變式題：需調整符號或變形后分解（如 \(-m^2 + 4n^2\)）。 綜合題：多步分解（如 \(3x^3 - 12x\) 先提公因式，再用平方差）。 易錯點強化： 分解不徹底（如 \(x^4 - 1\) 需連續使用平方差）。 忽略公因式中的負號（如 \(-a^2b + ab^2 = -ab(a - b)\)）。 數形結合：利用拼圖、面積模型直觀解釋因式分解（如用正方形和長方形拼圖說明公式法）。 實際應用導向：設計貼近生活的例題（如利用因式分解簡化工程問題中的代數式）。 思維漸進性：從單項式到多項式公因式，從單一方法到綜合應用，逐步提升復雜度.（三）教學設計思路建議：1.強化概念理解 類比引入：通過與小學數學中因數分解的概念類比，幫助學生初步理解因式分解的概念。結合實例：在講解因式分解的三種基本方法時，結合具體例題的分解過程和結果，逐步加深學生對因式分解概念的理解。2.突出重點與突破難點教學重點：重點講解因式分解的概念，讓學生明確因式分解是將一個多項式化成幾個整式的積的形式。突破難點：通過對比分析，讓學生理解因式分解與整式乘法的互逆關系，并能靈活運用這種關系尋求因式分解的方法。3.采用多樣化的教學方法情境導入：設計一些有趣的數學問題或實際應用問題，激發學生的學習興趣。例如，通過搶答的方式引入因式分解的實際應用，增強學生的競爭意識和探究欲望。探究式教學：引導學生自行探求解題途徑，培養他們的觀察、分析、判斷能力和創新能力。多媒體輔助：利用多媒體課件展示因式分解的過程和方法，使抽象的概念更加直觀易懂。4.注重方法的系統性與層次性系統講解：按照從簡單到復雜的順序，依次講解提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等因式分解方法。層次訓練：設計不同層次的練習題，從基礎題到綜合題，逐步提高學生對因式分解方法的掌握程度。5.強調因式分解的完整性徹底分解：在教學過程中，強調因式分解要分解到不能再分解為止。檢查習慣：培養學生在完成因式分解后檢查是否可以繼續分解的習慣。6.培養學生的逆向思維逆向應用：通過因式分解與整式乘法的互逆關系，引導學生逆向思考，培養他們的逆向思維能力。綜合運用：設計一些需要綜合運用多種因式分解方法的題目，提高學生的綜合運用能力。7.聯系實際應用 實際問題：結合實際問題講解因式分解的應用，如簡便運算、多項式的除法、解方程等，讓學生感受到因式分解的實際價值。拓展應用：適當引入一些拓展性的應用問題，如利用因式分解解決幾何問題或實際生活中的優化問題，拓寬學生的思維。8.重視情感態度與價值觀的培養 培養精神：通過因式分解的學習，培養學生接受矛盾的對立統一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態度。合作學習：鼓勵學生在小組合作中交流解題思路，培養團隊合作精神。對比教學：將因式分解與整式乘法對比，強化互逆關系（如設計“互逆配對”練習）。 錯例分析：收集學生典型錯誤（如分解不徹底、符號錯誤），通過糾錯活動深化理解。 探究活動： 分組討論“如何分解 \(x^2 + (a+b)x + ab\)”，引出十字相乘法（雖未正式學，可作拓展）。 設計“因式分解接力賽”，培養合作與快速決策能力。 技術融合：利用動態幾何軟件（如GeoGebra）演示因式分解的幾何意義，增強直觀性。浙教版七下因式分解單元以“實際問題—方法探究—綜合應用”為主線，注重數形結合與思維進階，教學中需強化結構分析、符號處理與策略選擇，為學生后續代數學習奠定堅實基礎。
（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數4.1因式分解的意義14.2提取公因式法1 4.3.1用乘法公式分解因式（1）14.3.2 4.3用乘法公式分解因式（2）1
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務4.1因式分解的意義1. 理解因式分解的概念；2．理解因式分解與整式乘法的關系．1.理解因式分解的概念. 2.理解因式分解與整式乘法的關系.任務一：因式分解是恒等變形，它與乘法運算互為逆運算.任務二：例題精講，掌握因式分解與整式乘法的關系.4.2提取公因式法1.掌握用提取公因式法分解因式；2．掌握添括號法則．1.掌握用提取公因式法分解因式.2.理解公因式可以是一個數，也可以是字母、單項式或多項式添括號時．所添括號前面是負號，括到括號里各項都要改變符號是易錯點.任務一： 理解公因式可以是一個數，也可以是字母、單項式或多項式.任務二：探究新知，理解提公因式時，如果第一項的系數是負數，應先提負號轉化，然后再提公因式.任務3：例題精講，掌握用提取公因式法分解因式.4.3用乘法公式分解因式（1）1.掌握平方差公式分解因式；2．會綜合運用提公因式與平方差公式解題.1.掌握平方差公式分解因式．2.會綜合運用提公因式與平方差公式解題.任務1：掌握若多項式各項有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解.任務2：讓學生自己動手解答問題，檢驗知識的掌握情況.4.3用乘法公式分解因式（2）1.掌握完全平方公式分解因式；2．會綜合運用提公因式與完全平方公式解題．?1.掌握完全平方公式分解因式.2.會綜合運用提公因式與完全平方公式解題.任務1：運用完全平方公式，首先判斷是不是符合完全平方公式特點.任務2：例題精講，會綜合運用提公因式與完全平方公式解題.
第4章《 因式分解》單元教學設計
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
第3課時《4.3.2用乘法公式分解因式》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 運用完全平方公式，首先判斷是不是符合完全平方公式特點．若多項式各項有公因式，先提取公因式，再用完全平方差公式因式分解．
學習者分析 因式分解的步驟是“一提”、“二套”，即先看有沒有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法來分解因式.
教學目標 1.掌握完全平方公式分解因式； 2．會綜合運用提公因式與完全平方公式解題．
教學重點 掌握完全平方公式分解因式．
教學難點 會綜合運用提公因式與完全平方公式解題．
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：引入新課 當a，b取下列值時，計算a2+2ab+b2的值.其中，a=99，b=1. a2+2ab+b2=？ a2+2ab+b2=(a+b)2是什么運算？ 請用語言描述下公式的結構特點。 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 （１）公式左邊：（是一個將要被分解因式的多項式） ★被分解的多項式含有三項，其中兩項為平方項且它們同號（兩數的平方和），另一項為中間項（這兩數積的2倍）.(2)公式右邊:（是分解因式的結果）★分解的結果是兩個平方項底數和(差)的平方. 學生活動1： 學生在教師的引導下，能很快回憶相關問題. ? 帶著問題參與新課. 活動意圖說明：激發學生興趣,引入新課主題，激發學生的興趣，理解學生思考，進行探索.運用完全平方公式，首先判斷是不是符合完全平方公式特點． 環節二：新知探究 運用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特點？ 首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2x2+2 x 3+(3)2 x3(x+3)2 (-m)2+2(-m) n+n2 -mn(-m+n)2a2-2a 2b+(2b)2 a2b(a-2b)2
如圖，用一張正方形紙片甲、兩張長方形紙片乙、一張正方形紙片丙拼成一個大正方形丁. （1）用一個多項式表示圖形丁的面積； （2）用整式積表示圖丁的面積； （3）根據(1)(2)所得到的結果，寫一個表示因式分解的等式. 公式法 定義：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法． 特征：公式中的a，b可以是數，也可以是整式． 用完全平方公式分解因式的關鍵是：判斷這個多項式是不是一個完全平方式. 學生活動2： 學生自學、互動。在具體計算時，可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，猜想、發現結論． 學生自主解答，教師適時的進行提示 學生思考 活動意圖說明：從舊知識出發，呼應引課問題，學生通過自己解決問題，讓學生在小組內共同合作．因式分解的步驟是“一提”、“二套”，即先看有沒有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法來分解因式． 環節三：典例精析 例3 把下列各式分解因式: (1)原式=(2a)2+2×2a 3b+(3b)2=(2a+3b)2 (2)原式=-(x2-4xy+4y2=-(x-2y)2 (3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 例4 分解因式: 解: ＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32 把2x＋y看做 a2－2ab＋b2 中的字母“a” 即設a＝ 2x＋y ， 這種數學思想稱 為換元思想. 學生活動3： 參與教師分析和講例題． 活動意圖說明：熟練掌握.鞏固學的知識，學生通過自己解決問題，充分發揮學習的主動性，會綜合運用提公因式與完全平方公式解題.
板書設計
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1、如果x2+mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值為（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3 選做題： 2.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－3x2－12＋12x； (3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 【綜合拓展類作業】 3.選擇合適的方法因式分解： (1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2－4x2y2.
課堂總結
作業設計 【知識技能類作業】 必做題 1.下列因式分解對嗎？說明理由 （1）m2+n2=(m+n)2 （2）m2 n2=((m n)2 （3）a2+2ab b2=(a b)2 （4） a2 2ab b2= (a b) 選做題： 2.把下列各式分解因式：(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2 【綜合拓展類作業】 3.若ab＝3/8，a＋b＝5/4，求多項式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
學習任務單
課程基本信息
學科 數學 年級 七年級 學期 秋季
課題 4.3.2用乘法公式分解因式
教科書 書 名：義務教育教科書數學七年級下冊 出版社：浙江教育出版社
學生信息
姓名 學校 班級 學號
學習目標
1.掌握完全平方公式分解因式； 2．會綜合運用提公因式與完全平方公式解題．
課前學習任務
復習引入 【思考】 當a，b取下列值時，計算a2+2ab+b2的值.其中，a=99，b=1. a2+2ab+b2=？ a2+2ab+b2=(a+b)2是什么運算？ 請用語言描述下公式的結構特點。 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 （１）公式左邊：（是一個將要被分解因式的多項式） ★被分解的多項式含有三項，其中兩項為平方項且它們同號（兩數的平方和），另一項為中間項（這兩數積的2倍）.(2)公式右邊:（是分解因式的結果）★分解的結果是兩個平方項底數和(差)的平方.
課上學習任務
【學習任務一】 運用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特點？ 首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2x2+2 x 3+(3)2 x3(x+3)2 (-m)2+2(-m) n+n2 -mn(-m+n)2a2-2a 2b+(2b)2 a2b(a-2b)2
如圖，用一張正方形紙片甲、兩張長方形紙片乙、一張正方形紙片丙拼成一個大正方形丁.（1）用一個多項式表示圖形丁的面積； （2）用整式積表示圖丁的面積； （3）根據(1)(2)所得到的結果，寫一個表示因式分解的等式. 【學習任務二】 公式法 定義：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法． 特征：公式中的a，b可以是數，也可以是整式． 用完全平方公式分解因式的關鍵是：判斷這個多項式是不是一個完全平方式. 【學習任務三】 例3 把下列各式分解因式: 例4 分解因式: 【習任務四】課堂練習 必做題： 1、如果x2+mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值為（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3 選做題： 2.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－3x2－12＋12x； (3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 【綜合拓展類作業】 3.選擇合適的方法因式分解： (1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2－4x2y2. 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列因式分解對嗎？說明理由 （1）m2+n2=(m+n)2 （2）m2 n2=((m n)2 （3）a2+2ab b2=(a b)2 （4） a2 2ab b2= (a b) 選做題： 2.把下列各式分解因式：(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2 【綜合拓展類作業】 3.若ab＝3/8，a＋b＝5/4，求多項式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑