資源簡介

(共22張PPT)
第四章 因式分解
4.3.1用乘法公式分解因式
01
教學目標
02
新知導入
03
新知講解
04
課堂練習
05
課堂小結
06
作業布置
01
教學目標
01
02
1. 掌握平方差公式分解因式；
2．會綜合運用提公因式與平方差公式解題．
02
新知導入
在日常生活中如上網等都需要密碼.
有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯.
例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼, 當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎
知識探究
本節課一起來研究 破解密鑰a2-b2=？
03
新知探究
平方差公式：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
兩個數的和與兩個數的差的乘積，等于這兩個數的平方差.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
因式分解
兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積.
類比：
03
新知講解
a
b
a
b
a-b
你能用圖形解釋嗎？
03
新知講解
運用a2-b2=(a+ b)(a- b)有哪些特點？
公式中的a、b可以是單項式(數字、字母)、還可以是多項式.分解因式最后結果中如果有同類項，一定要合并同類項.
“a2-b2”的形式 與平方差公式中a對應的項 與平方差公式中b對應的項
9a2-1
-t2+0.01s2
(a+b)2-(a-b)2
提煉概念
新課探究
例
E
例1：把下列各式分解因式：
（1）16a2-1 (2)-m2n2+4p2
(3) x2 - y2 (4)(x+z)2-(y+z)2
03
新知講解
例：
(1)16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
a2-b2=(a + b)(a - b)
03
新知講解
（2）原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn)
（4）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)]
=(x+z+y+z)(x+z- y-z)
=(x+y+2z)(x-y)
（3）原式 =( x)2 –( y)2=( x+ y)( x- y)
03
新知講解
例2 分解因式. 4x3y-9xy3
4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)
(2)提取公因式后,多項式還能繼續分解因式嗎
4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)
[注意]: 1.一般地,因式分解時有公因式先提公因式
2.因式分解時要分解徹底。
(1)能分解因式嗎 用什么方法
03
新知講解
知識解密
在日常生活中如上網等都需要密碼.
有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯.
例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼, 當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y )
把x=9,y=9代入可得出密碼.
04
課堂練習
【知識技能類作業】必做題：
1.下列多項式能否用平方差公式分解因式？說說你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
（1）不能 （2）能 （3）不能 (4)能 （5）能 （6）不能
04
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
2.因式分解：
(1)m3－4m＝_________________；
(2)x3－xy2＝_______________．
【解析】 (1)m3－4m＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)．
(2)x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．
04
課堂練習
【綜合拓展類作業】
04
課堂練習
【綜合拓展類作業】
05
課堂小結
注意點：若要分解多項式，先看有無公因式，其次查對各公式，徹底分解多項式。
一個知識點：平方差公式分解因式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
一種數學思想：類比思想。
06
作業布置
【知識技能類作業】必做題：
1.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　)
A.-a2-b2 B.-a2+81
C.p2-(-q2) D.a2-b3
B
06
作業布置
【知識技能類作業】選做題：
2.小明選用多項式4x3-xy2，取x=10,y=10時。用上述方法產生的密碼是什么 (寫出一個即可)
解：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)
把x=10,y=10代入 可得出一種密碼為103010
06
作業布置
【綜合拓展類作業】
3.如圖，在一塊長為 的正方形紙片的四角，各減去一個邊長為 的正方形，求剩余部分面積是多少？若 ，，求剩余部分面積.
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學習任務單
課程基本信息
學科 數學 年級 七年級 學期 秋季
課題 4.3.1用乘法公式分解因式
教科書 書 名：義務教育教科書數學七年級下冊 出版社：浙江教育出版社
學生信息
姓名 學校 班級 學號
學習目標
1.掌握平方差公式分解因式； 2．會綜合運用提公因式與平方差公式解題．
課前學習任務
復習引入 【思考】 在日常生活中如上網等都需要密碼. 有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯. 例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼, 當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎 本節課一起來研究 破解密鑰a2-b2=？ 請用語言描述下公式的結構特點. （１）公式左邊：是一個將要被分解因式的多項式 ★被分解的多項式含有兩項，且這兩項異號，并且能寫成（　）２－（　）２的形式。 (2)公式右邊:（是分解因式的結果） ★分解的結果是兩個底數的和乘以兩個底數的差的形式。
課上學習任務
【學習任務一】 平方差公式： 兩個數的和與兩個數的差的乘積，等于這兩個數的平方差。 兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積. 你能用圖形解釋嗎？ 【學習任務二】 運用a2-b2=(a+ b)(a- b)有哪些特點？ 公式中的a、b可以是單項式(數字、字母)、還可以是多項式.分解因式最后結果中如果有同類項，一定要合并同類項. “a2-b2”的形式 與平方差公式中a對應的項 與平方差公式中b對應的項 9a2-1-t2+0.01s2(a+b)2-(a-b)2
【學習任務三】 例1：把下列各式分解因式： （1）16a2-1 (2)-m2n2+4p2 (3) x2 - y2 (4)(x+z)2-(y+z)2 能分解因式嗎 用什么方法 4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2) 提取公因式后,多項式還能繼續分解因式嗎 4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y) [注意]: 1.一般地,因式分解時有公因式先提公因式 2.因式分解時要分解徹底。 知識解密 在日常生活中如上網等都需要密碼. 有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯. 例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼, 當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎 x4–y4=(x2+y2)(x2–y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y ) 把x=9,y=9代入可得出密碼. 【習任務四】課堂練習 必做題： 1.下列多項式能否用平方差公式分解因式？說說你的理由. 選做題： 2.因式分解： (1)m3－4m＝_________________； (2)x3－xy2＝_______________． 【綜合拓展類作業】 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 選做題： 2.小明選用多項式4x3-xy2，取x=10,y=10時。用上述方法產生的密碼是什么 (寫出一個即可) 【綜合拓展類作業】 3.如圖，在一塊長為 a 的正方形紙片的四角，各減去一個邊長為 b 的正方形，求剩余部分面積是多少？若 a=1.86，b=0.34，求剩余部分面積.
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分課時教學設計
第3課時《4.3.1用乘法公式分解因式》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 掌握若多項式各項有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解．
學習者分析 掌握運用平方差公式，首先判斷是不是符合平方差公式特點.分解因式的步驟是首先提取公因式，然后考慮用公式.
教學目標 1.掌握平方差公式分解因式； 2．會綜合運用提公因式與平方差公式解題．
教學重點 掌握平方差公式分解因式．
教學難點 會綜合運用提公因式與平方差公式解題．
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：引入新課 在日常生活中如上網等都需要密碼. 有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯. 例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼, 當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎 本節課一起來研究 破解密鑰a2-b2=？ 請用語言描述下公式的結構特點. （１）公式左邊：是一個將要被分解因式的多項式 ★被分解的多項式含有兩項，且這兩項異號，并且能寫成（　）２－（　）２的形式。 (2)公式右邊:（是分解因式的結果） ★分解的結果是兩個底數的和乘以兩個底數的差的形式。 學生活動1： 學生在教師的引導下，能很快回憶相關問題. ? 帶著問題參與新課. 活動意圖說明：激發學生興趣,引入新課主題，激發學生的興趣，理解學生思考，進行探索.理解運用平方差公式，首先判斷是不是符合平方差公式特點． 環節二：新知探究 平方差公式： 兩個數的和與兩個數的差的乘積，等于這兩個數的平方差。 兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積. 你能用圖形解釋嗎？ 運用a2-b2=(a+ b)(a- b)有哪些特點？ 公式中的a、b可以是單項式(數字、字母)、還可以是多項式.分解因式最后結果中如果有同類項，一定要合并同類項. “a2-b2”的形式 與平方差公式中a對應的項 與平方差公式中b對應的項 9a2-1-t2+0.01s2(a+b)2-(a-b)2
學生活動2： 學生自學、互動。在具體計算時，可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，猜想、發現結論． 學生自主解答，教師適時的進行提示 學生思考 活動意圖說明：從舊知識出發，呼應引課問題，學生通過自己解決問題，讓學生在小組內共同合作．掌握若多項式各項有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解． 環節三：典例精析 例1：把下列各式分解因式： （1）16a2-1 (2)-m2n2+4p2 (3) x2 - y2 (4)(x+z)2-(y+z)2 (1)16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1) 原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn) 原式 =( x)2 –( y)2=( x+ y)( x- y) （4）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)] =(x+z+y+z)(x+z- y-z) =(x+y+2z)(x-y) 例2 分解因式. 4x3y-9xy3 能分解因式嗎 用什么方法 4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2) 提取公因式后,多項式還能繼續分解因式嗎 4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y) [注意]: 1.一般地,因式分解時有公因式先提公因式 2.因式分解時要分解徹底。 知識解密 在日常生活中如上網等都需要密碼. 有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯. 例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼, 當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎 x4–y4=(x2+y2)(x2–y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y ) 把x=9,y=9代入可得出密碼. 學生活動3： 參與教師分析和講例題． 活動意圖說明：熟練掌握.鞏固學的知識，學生通過自己解決問題，充分發揮學習的主動性，會綜合運用提公因式與平方差公式解題.
板書設計
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列多項式能否用平方差公式分解因式？說說你的理由. 選做題： 2.因式分解： (1)m3－4m＝_________________； (2)x3－xy2＝_______________． 【綜合拓展類作業】
課堂總結 分解因式的步驟是首先提取公因式，然后考慮用公式；(2)分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解為止． 注意： (1)公式中的字母a，b可以表示任何數或單項式和多項式； (2)若給出的多項式不具備明顯平方差關系，需要轉化成a2－b2的形式．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題 1.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 選做題： 2.小明選用多項式4x3-xy2，取x=10,y=10時。用上述方法產生的密碼是什么 (寫出一個即可) 【綜合拓展類作業】 3.如圖，在一塊長為 a 的正方形紙片的四角，各減去一個邊長為 b 的正方形，求剩余部分面積是多少？若 a=1.86，b=0.34，求剩余部分面積.
教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
學 科 數學 年 級 七下 設計者
教材版本 浙教版 冊、章 下冊第四章
課標要求 1.理解因式分解的意義，明確其與整式乘法的互逆關系. 2. 掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），并能靈活選擇方法分解多項式. 3.了解簡單的分組分解法（如兩項分組后提公因式）.
內容分析 因式分解是初中數學中的重要內容，它不僅是代數學習的基礎，也是解決實際問題的重要工具。在浙教版數學七年級下冊中，因式分解單元的教學目標是讓學生掌握因式分解的基本概念、方法和技巧，能夠熟練地進行因式分解，并運用因式分解解決實際問題.
學情分析 七年級學生已經具備了一定的數學基礎，強調從“運算思維”向“分解思維”的轉變，培養學生的逆向思考能力和結構化分析能力.通過數形結合（如用幾何圖形解釋因式分解）增強直觀理解.
單元目標 教學目標1.理解因式分解的概念和意義；2.掌握提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等基本的因式分解方法； 3.能夠熟練地進行多項式的因式分解；4.運用因式分解解決一些實際問題.（二）教學重點、難點教學重點：因式分解的概念和意義；提取公因式法、公式法等基本的因式分解方法.多項式除以單項式的運算技巧，以及整式乘除在實際問題中的應用.教學難點：如何靈活運用不同的因式分解方法解決復雜問題；如何將因式分解與實際問題相結合.
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架 教材特點：1. 知識脈絡與編排特點 引入方式：通過實際情境（如面積計算、代數式簡化）引出因式分解的必要性。 方法分層教學： 提公因式法：從單項式公因式到多項式公因式，強調“全提取”（如提取負號）。 公式法： 平方差公式：強調“兩數平方差”的結構特征（如 \(9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2\)）。 完全平方公式：注重中間項的符號與系數關系（如 \(x^2 + 6x + 9\) 與 \(x^2 - 4x + 4\)）。 綜合應用：結合先提公因式再用公式的“分步分解”策略。 拓展內容：簡單分組分解法的滲透（如 \(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y)\)）。2. 例題與習題設計 情境化：結合幾何圖形（如用面積相等解釋因式分解）、實際問題（如優化計算步驟）。 層次分明： 基礎題：直接應用單一方法（如分解 \(2a^2b - 4ab^2\)）。 變式題：需調整符號或變形后分解（如 \(-m^2 + 4n^2\)）。 綜合題：多步分解（如 \(3x^3 - 12x\) 先提公因式，再用平方差）。 易錯點強化： 分解不徹底（如 \(x^4 - 1\) 需連續使用平方差）。 忽略公因式中的負號（如 \(-a^2b + ab^2 = -ab(a - b)\)）。 數形結合：利用拼圖、面積模型直觀解釋因式分解（如用正方形和長方形拼圖說明公式法）。 實際應用導向：設計貼近生活的例題（如利用因式分解簡化工程問題中的代數式）。 思維漸進性：從單項式到多項式公因式，從單一方法到綜合應用，逐步提升復雜度.（三）教學設計思路建議：1.強化概念理解 類比引入：通過與小學數學中因數分解的概念類比，幫助學生初步理解因式分解的概念。結合實例：在講解因式分解的三種基本方法時，結合具體例題的分解過程和結果，逐步加深學生對因式分解概念的理解。2.突出重點與突破難點教學重點：重點講解因式分解的概念，讓學生明確因式分解是將一個多項式化成幾個整式的積的形式。突破難點：通過對比分析，讓學生理解因式分解與整式乘法的互逆關系，并能靈活運用這種關系尋求因式分解的方法。3.采用多樣化的教學方法情境導入：設計一些有趣的數學問題或實際應用問題，激發學生的學習興趣。例如，通過搶答的方式引入因式分解的實際應用，增強學生的競爭意識和探究欲望。探究式教學：引導學生自行探求解題途徑，培養他們的觀察、分析、判斷能力和創新能力。多媒體輔助：利用多媒體課件展示因式分解的過程和方法，使抽象的概念更加直觀易懂。4.注重方法的系統性與層次性系統講解：按照從簡單到復雜的順序，依次講解提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等因式分解方法。層次訓練：設計不同層次的練習題，從基礎題到綜合題，逐步提高學生對因式分解方法的掌握程度。5.強調因式分解的完整性徹底分解：在教學過程中，強調因式分解要分解到不能再分解為止。檢查習慣：培養學生在完成因式分解后檢查是否可以繼續分解的習慣。6.培養學生的逆向思維逆向應用：通過因式分解與整式乘法的互逆關系，引導學生逆向思考，培養他們的逆向思維能力。綜合運用：設計一些需要綜合運用多種因式分解方法的題目，提高學生的綜合運用能力。7.聯系實際應用 實際問題：結合實際問題講解因式分解的應用，如簡便運算、多項式的除法、解方程等，讓學生感受到因式分解的實際價值。拓展應用：適當引入一些拓展性的應用問題，如利用因式分解解決幾何問題或實際生活中的優化問題，拓寬學生的思維。8.重視情感態度與價值觀的培養 培養精神：通過因式分解的學習，培養學生接受矛盾的對立統一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態度。合作學習：鼓勵學生在小組合作中交流解題思路，培養團隊合作精神。對比教學：將因式分解與整式乘法對比，強化互逆關系（如設計“互逆配對”練習）。 錯例分析：收集學生典型錯誤（如分解不徹底、符號錯誤），通過糾錯活動深化理解。 探究活動： 分組討論“如何分解 \(x^2 + (a+b)x + ab\)”，引出十字相乘法（雖未正式學，可作拓展）。 設計“因式分解接力賽”，培養合作與快速決策能力。 技術融合：利用動態幾何軟件（如GeoGebra）演示因式分解的幾何意義，增強直觀性。浙教版七下因式分解單元以“實際問題—方法探究—綜合應用”為主線，注重數形結合與思維進階，教學中需強化結構分析、符號處理與策略選擇，為學生后續代數學習奠定堅實基礎。
（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數4.1因式分解的意義14.2提取公因式法1 4.3.1用乘法公式分解因式（1）14.3.2 4.3用乘法公式分解因式（2）1
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務4.1因式分解的意義1. 理解因式分解的概念；2．理解因式分解與整式乘法的關系．1.理解因式分解的概念. 2.理解因式分解與整式乘法的關系.任務一：因式分解是恒等變形，它與乘法運算互為逆運算.任務二：例題精講，掌握因式分解與整式乘法的關系.4.2提取公因式法1.掌握用提取公因式法分解因式；2．掌握添括號法則．1.掌握用提取公因式法分解因式.2.理解公因式可以是一個數，也可以是字母、單項式或多項式添括號時．所添括號前面是負號，括到括號里各項都要改變符號是易錯點.任務一： 理解公因式可以是一個數，也可以是字母、單項式或多項式.任務二：探究新知，理解提公因式時，如果第一項的系數是負數，應先提負號轉化，然后再提公因式.任務3：例題精講，掌握用提取公因式法分解因式.4.3用乘法公式分解因式（1）1.掌握平方差公式分解因式；2．會綜合運用提公因式與平方差公式解題.1.掌握平方差公式分解因式．2.會綜合運用提公因式與平方差公式解題.任務1：掌握若多項式各項有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解.任務2：讓學生自己動手解答問題，檢驗知識的掌握情況.4.3用乘法公式分解因式（2）1.掌握完全平方公式分解因式；2．會綜合運用提公因式與完全平方公式解題．?1.掌握完全平方公式分解因式.2.會綜合運用提公因式與完全平方公式解題.任務1：運用完全平方公式，首先判斷是不是符合完全平方公式特點.任務2：例題精講，會綜合運用提公因式與完全平方公式解題.
第4章《 因式分解》單元教學設計
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