資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.1.5 多項式乘多項式
——新授課
一、教材分析
本節課是湘教版初中數學七年級下冊第一章第一節《整式的乘法》中的內容，本節主要學習多項式與多項式相乘的運算法則，即先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項
式的每一項，再把所得的積相加。本節是整式乘法的進一步延伸，也是學習一元二次方程、因式分解及分式運算的重要基礎，屬于初中代數核心內容之一。
二、學情分析
已有基礎：學生熟悉單項式乘法及多項式加減法，但對多項式乘法的整體性和系統性缺乏認知。雖然具備初步的代數運算能力，但符號處理（如負號、系數相乘）易出錯。
潛在困難：
1.計算能力不足：部分學生因有理數運算基礎薄弱，導致多項式乘法中系數計算錯誤。
2.法則理解偏差：容易漏乘某些項或混淆運算順序。
3.幾何直觀欠缺：難以通過圖形輔助理解多項式乘法的幾何意義。
三、教學目標
1.掌握多項式乘法的法則，能正確進行多項式乘法運算。
2.熟練運用法則解決實際問題（如幾何面積計算）。
3.經歷從實際問題到代數法則的推導過程，體會轉化思想。
4.在逐步糾錯中培養嚴謹的運算習慣，增強學習信心。
四、重點難點
重點：理解并掌握多項式乘多項式的法則。
難點：理解多項式與多項式相乘的法則及正確運用法則進行計算。
五、教學方法
講授法、練習法、問答法
六、教學過程
一、問題導入
【問題】①號長方形的長為ab，寬為a、 ②號長方形的長為bc，寬為a、 ③號長方形的長為b，寬為ab, ④號長方形的長為bc，寬為b,求這四個長方形拼成的大長方形的面積。
法1：
解：①號長方形的面積:a·ab=a2b,
②號長方形的面積:a·bc=abc,
③號長方形的面積:b·ab=ab2,
④號長方形的面積:b·bc=b2c,
故大長方形的面積為a2b+abc+ab2+ b2c.
法2:
解： 長方形ABCD的寬為a+b,
長方形ABCD的長為ab+bc,
故大長方形的面積為
(a+b)(ab+bc)= a2b+abc+ab2+ b2c.
【回顧】乘法對加法的分配律：
(a+b)×c=a×c+b×c
a×(b+c)=a×b+a×c
【規定】多項式與多項式相乘的法則，目標是使整式的乘法滿足乘法對加法的分配律.
二、探究新知
【思考】
怎樣計算多項式x-2y與多項式3x+y的乘積？
解：(x-2y)(3x+y)=x·(3x+y)+(-2y)·(3x+y)
=x·3x+x·y+(-2y)·3x+(-2y)·y
=3x2+xy-6xy-2y2
=3x2-5xy-2y2.
【歸納】
法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是單項式)
一般步驟：
1.用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項
2.把所得的積相加
3.有同類項的合并同類項
4.把結果整理成某一字母的降冪排列
三、例題探究
例13計算：(1) (2x + y)(x－3y)；(2) (5x－2)(3x2－x－5).
解：(1) 原式= 2x·x+2x·(－3y) + y·x+ y·(－3y)
= 2x2－6xy + xy－3y2
= 2x2－5xy－3y2.
(2) 原式=15x －5x － 25x－6x ＋2x＋10
=15x －5x －6x －25x＋2x＋10
=15x －11x －23x＋10.
例14 計算：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2)； (2) (x＋y)(x2－xy＋y2).
解：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2)
= x3＋x2y＋xy2－yx2－xy2－y3
= x3－y3.
(2) (x＋y)(x2－xy＋y2)
= x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3
= x3＋y3.
【做一做】(1)設a，b，c都是正數，計算(a+b)(a+c)的結果.
(2)一個長方形的長為a+b，寬為a+c，試著畫出長方形，并利用這個長方形解釋(1)的結果.
解：(1)( a+b )( a+c )=a2+ac+ba+bc.
(2)該長方形的面積為( a+b )( a+c )，
∵組成該長方形的四個小長方形的面積分別為a2、ac、ba、bc，
∴( a+b )( a+c )=a2+ac+ba+bc.
四、課堂練習
1.計算：(1) (x－2y)(4x+3y)； (2) (x－5y)(3x－y);
(3) (x + y)(x2+xy+y2)； (4) (3x－y)(2x2+5xy－4y2).
2.用不同的方法計算右邊幾何圖形的面積，可得等式( )
A. (2a+b)(a+b)=2a2+b2　　　
B. (2a+b)(a+b)=2a2+2ab+b2　
C. (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2　　　
D. (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+2b2　
3.計算(a-2)(-a+1)的結果是 (　 )
A.a2-a-2　　　 B.-a2-a-2　　　 C.-a2+3a-2　　　 D.a2+3a-2
4.如果（2x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，那么m的值為 (　 )
A. 6 B. -3 C. 0 D. 1
5.如圖,一邊及其鄰邊長為a,b的長方形的周長為14,面積為10,則(a+1)(b+1)的值為(　 )
A.20　　　　
B.18　　　　
C.16　　　　
D.14
6.如果關于x的多項式x-2與x2+mx+1的乘積中不含x的一次項,求m的值.
五、課堂小結
什么是多項式乘多項式的法則，在運用過程中需注意什么？多項式乘多項式的一般步驟是什么？
六、作業布置
課堂作業：P14 T7
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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