資源簡介

【新教材】3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）
（人教A版）
客觀世界中的各種各樣的運動變化現(xiàn)象均可表現(xiàn)為變量間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系常常可用函數(shù)模型來描述，并且通過研究函數(shù)模型就可以把我相應(yīng)的運動變化規(guī)律.
課程目標
1、能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實際問題；
2、感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型在數(shù)學和其他學科中的重要性．
數(shù)學學科素養(yǎng)
1.數(shù)學抽象：總結(jié)函數(shù)模型；
2.邏輯推理：找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題干信息寫出分段函數(shù)；
3.數(shù)學運算：結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值. ；
4.數(shù)據(jù)分析：二次函數(shù)通過對稱軸和定義域區(qū)間求最優(yōu)問題；
5.數(shù)學建模：在具體問題情境中，運用數(shù)形結(jié)合思想，將自然語言用數(shù)學表達式表示出來。
重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的處理實際問題；
難點：運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題．
教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。
教學工具：多媒體。
情景導入
我們學習過了一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)等都與現(xiàn)實世界有緊密聯(lián)系，請學生們舉例說明與此有關(guān)的生活實例.
要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.
預(yù)習課本，引入新課
閱讀課本93-94頁，思考并完成以下問題
1.一、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達形式分別是什么？
2.冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的表達形式是什么？
3.解決實際問題的基本過程是？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。
新知探究
1．常見的數(shù)學模型有哪些
(1)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);
(2 )反比例函數(shù)模型:f(x)=+b(k,b為常數(shù),k≠0);
(3)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);
(4)冪函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1);
(5)分段函數(shù)模型:這個模型實則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應(yīng)用也十分廣泛.
2.解答函數(shù)實際應(yīng)用問題時,一般要分哪四步進行
提示:第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象;
第二步:建立函數(shù)模型,把實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;
第三步:解答數(shù)學問題,求得結(jié)果;
第四步:把數(shù)學結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答.
而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當,所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解.
四、典例分析、舉一反三
題型一 一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用
例1 (1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y=6x+30 000,而出廠價格為每套12元,要使該廠不虧本,至少日生產(chǎn)文具盒(　　)
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套
(2)某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果,假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱.價格每提高1元,平均每天少銷售3箱.
①求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;
②求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;
③當每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤 最大利潤是多少
【答案】（1）D （2）見解析
【解析】(1)因利潤z=12x-(6x+30 000), 所以z=6x-30 000,
由z≥0解得x≥5 000,故至少日生產(chǎn)文具盒5 000套.
(2)①根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),
化簡,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
②因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
③因為w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以當x<60時,w隨x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以當x=55時,w有最大值,最大值為1 125.
所以當每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元.
解題技巧：（一、二次函數(shù)模型應(yīng)用）
1.一次函數(shù)模型的應(yīng)用
利用一次函數(shù)求最值,常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答時,注意系數(shù)a的正負,也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值.
2.二次函數(shù)模型的應(yīng)用
構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時,可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值,也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解,但一定要注意自變量的取值范圍.
跟蹤訓練一
1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:
①買一個茶壺贈一個茶杯;
②按總價的92%付款.
某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優(yōu)惠
2、某自來水廠的蓄水池存有400噸水,水廠每小時可向蓄水池中注水60噸,同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,t小時內(nèi)供水總量為120 噸(0≤t≤24).
①從供水開始到第幾小時時,蓄水池中的存水量最少 最少存水量是多少噸
②若蓄水池中水量少于80噸時,就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,請問:在一天的24小時內(nèi),有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.
【答案】見解析
【解析】　1. 解:由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由優(yōu)惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,當購買34個茶杯時,兩種優(yōu)惠辦法付款相同;
當4≤x<34時,y1當x>34時,y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.
2. 解:①設(shè)t小時后蓄水池中的存水量為y噸,
則 ,
令則即
所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,
∴當x=6,即t=6時,ymin=40,
即從供水開始到第6小時時,蓄水池存水量最少,只有40噸.
②令400+10x2-120x<80,
即x2-12x+32<0,
解得4因為所以每天約有8小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.
題型二 分段函數(shù)模型的應(yīng)用
例2　一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示．
(1)求圖中陰影部分的面積，關(guān)說明所求面積的實際含義；
(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)s與時間t的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象．
【答案】見解析
【解析】解：（1）
陰影部分的面積為
陰影部分的面積表示汽車在這5 h內(nèi)行駛的路程為360 km.
（2）獲得路程關(guān)于時間變化的函數(shù)解析式：
圖像如圖
解題技巧：(分段函數(shù)注意事項）)
1.分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏.
2.分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.
3.分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結(jié)論.
跟蹤訓練二
1.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元,經(jīng)預(yù)測可知,市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件,當出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時,銷售所得的收入約為5t- t2(萬元).
(1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位:百件),試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);
(2)當這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時,當年所得利潤最大
【答案】 見解析
【解析】解:(1)當0當x>5時,產(chǎn)品只能售出500件.
所以,
所以當x=4.75(百件)時,f(x)有最大值,
f(x)max=10.781 25(萬元).
當x>5時,f(x)<12-0.25×5=10.75(萬元).
故當年產(chǎn)量為475件時,當年所得利潤最大.
五、課堂小結(jié)
讓學生總結(jié)本節(jié)課所學主要知識及解題技巧
六、板書設(shè)計
(
3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）
函數(shù)模型
例1
例2
例3
解決實際問題的基本步驟
)
本節(jié)課主要就一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型舉例說明就函數(shù)的實際應(yīng)用.在實際應(yīng)用中，建立合適的函數(shù)模型,把實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題為關(guān)鍵點.

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