資源簡介

基本不等式
教學目標：
1．探索并了解基本不等式的證明；
2．體會證明不等式的基本思想方法；
3．能應用基本不等式解決簡單的不等式證明問題。
教學重點：1.應用數形結合的思想理解基本不等式；
2.從不同角度探索基本不等式的證明過程。
教學難點：用基本不等式求最大值和最小值。
教學方法：情境教學法、講授法、直觀教學法
教學工具：多媒體
教學過程：
1、情景設置：
（展示并介紹古代弦圖）同學們現在看到的是中國古代數學中著名的一副圖，叫做弦圖。它是由我國三國時期的數學家趙爽設計的。早在1300多年以前，這位數學家就巧妙的利用弦圖中的面積關系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一。
（展示24屆國際數學家大會會標）大家現在看到的是2002年在我們北京召開的第24屆國際數學家大會的會標。這個會標設計源于古代弦圖。它的色調明暗相間，使它看上去象一個風車，代表中國人民的熱情好客。弦圖不僅造型美觀，而且蘊藏著很多玄機,他的玄機當然不僅僅是像風車這么簡單，今天咱們也來研究一下弦圖。
二、引入新知：
問題一：請觀察會標圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形 它們在面積上有哪些相等關系和不等關系
有正方形和直角三角形；正方形ABCD的面積等于4個直角三角形的面積加上正方形EFGH的面積，即正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積之和。
如果令，那么，則正方形ABCD的面積，4個直角三角形的面積之和，故有。
問題二：它們有相等的時候嗎？
(演示幾何畫板，學生觀察，分析得出結果)。
我們可以得出當且僅當時，；
這其實就是一個從“形”到“數”的轉化，運用了數學中非常重要的數形結合的思想方法。
故，當且僅當時，等號成立。
思考：同學們如何理解“當且僅當”？
當時，等號成立；
僅當時，等號成立。
問題三：如果是任意實數，這個結論還成立嗎？若成立，你能給出證明嗎？ （學生自主完成）
證明：
當且僅當時，等號成立。
這是作差比較法，將得到的差值與零作比較。
因此我們可以得出結論1：
一般地，對于任意實數，我們有，當且僅當時，等號成立。
這是一個很重要的不等式，對數學中重要的結論，我們應仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延。
問題四：如果，用分別代替，結果如何？
可得。
通常我們把上式寫為
我們可以得出結論2：
基本不等式： 如果，則有，當且僅當時，等號成立。
思考：能否用不等式的性質進行證明？（學生活動）
證法一：作差比較法。
沿用問題三的證明過程，用分別代替可得出證明。
證法二：請同學們把以下證明過程補充完整：
要證 ①
只要證 ②
要證②,只要證 ③
要證③,只要證 ④
顯然, ④是成立的。當且僅當a=b時, ④中的等號成立 。
這種證明方法叫“分析法”，實際就是執果索因的思想方法。
同學們還有沒有用不等式的性質證明這個不等式的其他方法？這個問題請大家在課后進行探討。
我們常把叫做正數的算術平均數，把叫做正數的幾何平均數，因此我們可以給出基本不等式的代數解釋：兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數。
思考：能否用幾何方法進行證明？
思考：能否找出圖中與和相關的線段 ？
易知是直徑，就是半徑，比如半徑DO=；
可知～，則半弦CD=；
顯然半弦CD半徑DO，故。
因此我們可以得出基本不等式的幾何解釋：半弦不大于半徑。
或者認為是：直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的一半。
除此以外你還可以想到基本不等式的其他解釋嗎？前面我們剛學了數列，和在數列中分別表示什么？
分別表示正數的等差中項與等比中項。
因此，從數列的角度看：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項。
可以看出我們可以從不同的角度去理解基本不等式。
三、例題講解、強化認知
學以致用，我們可以兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢？運用基本不等式的不同形態我們可以解決不同類型的問題。
形態一：
例1. 若，求的最小值。
分析：直接運用形態一
解：
當且僅當即時，y取最小值2。
結論1：已知 x, y 都是正數, P 是常數.
則（當且僅當時，取“=”號）
簡稱為“積定和最小”。
練一練：下列函數最小值是2的是（ ）
注意：利用求最值時要注意：
（1）各項皆為正數；
（2）和為定值；
（3）注意等號成立的條件。
即“一正，二定，三相等”。
形態二：
例2.若，求的最大值。
解：
=
當且僅當，即時，y取最大值。
注意：一正，二定，三相等。
結論2：已知 x, y 都是正數, S 是常數.
則（當且僅當時，取“=”號）
簡稱為：“和定積最大”
小結：不論利用哪種形態的基本不等式求最值，都要注意以下幾點：
（1）各項皆為正數；
（2）和或積為定值；
（3）注意等號成立的條件。
即“一正，二定，三相等”。
在生活中基本不等式有什么用呢？我們來看看下一個例題：
例3 用籬笆圍成一個面積為100的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
解：設菜園的長、寬分別為、，則，籬笆的長為。
顯然
由可得，
當且僅當時，等號成立。
因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短為40m。
小結：一定要注意運用基本不等式的三個限制條件：“一正，二定，三相等”。
練一練：用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
四、反思小結，概括提煉
1、掌握了兩個不等式；
2、掌握了基本不等式的簡單應用，求最值的時候要注意：一正，二定，三相等；積定和最小與和定積最大。
3、感受了數形結合的數學思想。著名數學家華羅庚說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”可見數形結合的思想非常重要，是解決數學問題的非常強大的思想武器。
（六）作業布置
1.已知，求的最值。
2.已知a、b都是正數，試探索, ,,的大小關系，并證明你的結論。

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