資源簡介

第十七章勾股定理
17.1.1《勾股定理》
第三課時：勾股定理的計算、作圖教學設計
一、教學目標
知識目標
1.學生能夠熟練運用勾股定理在數軸上精準畫出并清晰表示無理數。通過反復練習與實際操作，學生不僅能掌握具體的繪制步驟，還能深入理解每一步背后的數學原理，從而深度理解并切實感受數軸上的點與實數一一對應的緊密關系。例如，學生能準確說明為何通過特定直角三角形邊長構造出的線段長度，恰好能在數軸上對應某個無理數，真正建立起數與形之間的直觀聯系。
2.學生充分了解利用勾股定理證明 HL 定理的完整過程與邏輯依據。從定理的已知條件出發，逐步引導學生分析如何運用勾股定理3.進一步深化學生對數學中數形
3.結合思想和轉化思想的領悟與運用。在教學過程中，通過多樣化的實例，如利用勾股定理將幾何圖形中的邊長關系轉化為代數運算，或者借助數軸將抽象的無理數直觀表示出來，讓學生在實踐中不斷體會這兩種重要思想的應用。
核心素養目標
著重培養學生的邏輯思維意識，通過對勾股定理相關證明和應用的學習，引導學生有條理地思考問題，從已知條件出發，逐步推導結論，培養嚴謹的思維習慣。積極發展學生的數學理念，讓學生認識到數學不僅僅是數字和公式的運算，更是一種邏輯嚴密、結構嚴謹的知識體系。深刻體會勾股定理在數學領域以及實際生活中的廣泛應用價值，如在建筑設計、測量、航海等領域的應用，激發學生對數學學習的興趣和探索欲望。
二、教學重點、難點
（一）重點
熟練運用勾股定理在數軸上準確標出表示無理數的點。詳細講解利用勾股定理構造直角三角形，確定直角邊長度，進而得到斜邊長度作為無理數在數軸上表示的方法。
（二）難點
幫助學生透徹理解無理數同樣能夠在數軸上精確表示出來。通過從有理數在數軸上的表示入手，逐步引入無理數的概念，借助勾股定理構造出與無理數對應的線段長度，讓學生直觀看到無理數在數軸上的位置。
三、教學過程
（一）“舊知啟新思”—— 思考環節
在八年級上冊中我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等. 學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求證：△ABC≌△A′B′C′.
證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根據勾股定理，得
，
又 AB=A′B′，AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
設計意圖：通過回顧八年級上冊中通過畫圖得到的 “斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等” 這一結論，引發學生思考如何利用勾股定理進行證明。這一環節一方面能有效復習舊知，讓學生鞏固已學的三角形全等知識；另一方面，自然地引出本節課運用勾股定理進行證明的新內容，激發學生的探究欲望，促使學生主動思考數學知識之間的內在聯系，培養學生的邏輯思維能力。
（二）“數與軸的重逢”—— 知識再現環節
實數與數軸上的點是一一對應的.
數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你還記得我們以前是如何在數軸上畫出表示的點嗎？
則：點A表示.
你能用勾股定理驗證點A就是表示的點嗎？
設計意圖：回顧實數與數軸上的點一一對應的舊知，以及以前在數軸上畫出表示特定無理數點的方法，為后續運用勾股定理在數軸上表示無理數做鋪墊。通過喚起學生已有的知識記憶，讓學生在已有知識的基礎上進行知識的拓展與深化，降低新知識學習的難度，同時幫助學生構建完整的知識體系。
（三）“無理數的數軸之旅”—— 探究環節
你能在數軸上畫出表示的點嗎？
分析：利用勾股定理，可以發現，直角邊的長為正整數2，3的直角三角形的斜邊長為.
步驟：
1.在數軸上找出表示3的點A，則OA=3；
2.過點A作直線l⊥OA，在l上取點B，使AB=2；
3.以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸的交點C即為表示的點.
類似地，利用勾股定理，可以作出長為，，，…的線段. 按照同樣方法，可以在數軸上畫出表示，，，，，…的點.
設計意圖：通過具體的問題 “如何在數軸上畫出表示\(\sqrt{13}\)的點”，引導學生運用勾股定理進行分析和操作。讓學生在實踐中體會勾股定理在解決此類問題中的關鍵作用，培養學生的動手能力和邏輯思維能力。在探究過程中，學生需要思考如何選擇合適的直角邊長度，通過勾股定理計算出斜邊長度，從而確定無理數在數軸上的位置，這一過程能有效提升學生的數學應用能力和創新思維。
（四）“小試牛刀展身手”—— 練習環節
1.在數軸上作出表示的點.
解：如圖，點C為表示的點.
2.如圖，等邊三角形的邊長是6. 求：
(1)高AD的長；
(2)這個三角形的面積.
解：(1)∵ AD是等邊三角形ABC底邊BC上的高
∴ ∠ADB=90°，BD=BC=3
在Rt△ABD中，根據勾股定理，
AD2=AB2-BD2=62-32=27
AD==
(2)S△ABC=×6×3=9
設計意圖：通過兩個練習題，一個是在數軸上作出表示特定無理數的點，另一個是運用勾股定理求解等邊三角形的高和面積，鞏固學生對勾股定理在數軸表示無理數以及解決實際幾何問題中的應用。通過練習，檢驗學生對知識的掌握程度，及時發現學生在理解和應用過程中存在的問題，并進行針對性指導，幫助學生查漏補缺，強化知識掌握。
（五）“知識殿堂的回顧”—— 課堂小結環節
本節課你有哪些收獲？比如在知識方面，是否掌握了用勾股定理證明 HL 定理，以及在數軸上表示無理數的方法；在方法上，是否學會了如何構造直角三角形利用勾股定理解決問題；在思想層面，對數形結合和轉化思想有沒有更深刻的體會。
2. 還有沒解決的問題嗎？鼓勵學生大膽提出在課堂學習過程中遇到的疑惑，無論是對概念的理解，還是對解題方法的困惑，都可以及時反饋給老師和同學。
設計意圖：引導學生回顧本節課所學內容，包括知識、方法和思想等方面。通過回顧知識，幫助學生梳理知識體系，強化重點內容的記憶；回顧方法，讓學生總結解決問題的思路和技巧，提升學習能力；回顧思想，加深學生對數學思想的理解，培養學生用數學思想方法解決問題的意識。同時讓學生提出未解決的問題，以便教師及時了解學生的學習情況，進行后續的輔導和教學調整，做到因材施教。
（六）“情感升華的總結”
同學們，在今天的數學探索之旅中，我們一同借助勾股定理這把神奇的鑰匙，打開了在數軸上表示無理數的大門，領略了數與形完美結合的魅力。從證明直角三角形全等的 HL 定理，我們看到勾股定理在邏輯推理中的強大作用，它將幾何圖形的關系通過嚴謹的代數運算得以證明。到在數軸上為一個個無理數找到它們專屬的位置，每一步都凝聚著我們的思考與智慧。勾股定理就像一座橋梁，連接著幾何圖形與代數運算，讓我們看到了數學世界的和諧與統一。它不僅存在于書本的定理和公式中，更廣泛應用于生活的方方面面，如建筑工人在搭建直角結構時要用到勾股定理來確保角度準確，航海家在確定船只位置和航線時也離不開勾股定理的幫助。希望大家在未來的數學學習中，繼續保持這份對知識的渴望和探索精神，用數學的眼光去發現更多生活中的美好與奧秘，不斷挖掘數學知識的深度和廣度，提升自己的數學素養和綜合能力。
四、教學反思
1.教學方法的有效性：從本節課的授課過程來看，靈活運用了多種教學方法，既有教師清晰明了的講解，讓學生快速掌握重點知識和方法；又有組織學生積極參與的討論，促進學生之間的思想交流與碰撞，培養學生的合作學習能力和批判性思維；還有在教師精心指導下的自學，讓學生學會自主探索知識，提高自主學習能力；以及豐富多彩的學生活動，如動手在數軸上繪制無理數對應的點，增強學生的實踐操作能力。這些多樣化的教學方法充分調動了學生學習的積極性，使得學生能夠真正成為課堂的主人，充分發揮了學生的主體作用，讓學生在不同的學習方式中都能有所收獲。
2.學習空間的拓展：課堂上為學生拓展了廣闊的學習空間，給予學生充分發表意見的自由度。在討論環節，學生們能夠圍繞問題各抒己見，提出不同的解題思路和觀點；在提出問題環節，學生可以大膽表達自己在學習過程中的疑惑。這種自由的氛圍有助于培養學生的獨立思考能力，讓學生敢于質疑、敢于創新。同時，學生之間的思想交流也營造出良好的學習氛圍，大家相互學習、相互啟發，共同進步。
3.學生的理解與掌握情況：在教學過程中，通過觀察學生在課堂上的反應、練習的完成情況以及課堂小結時學生的反饋，發現大部分學生能夠較好地理解和掌握運用勾股定理在數軸上表示無理數以及解決相關實際問題的方法。他們能夠準確地構造直角三角形，運用勾股定理計算出相應的邊長，并在數軸上正確表示出無理數。在解決實際幾何問題時，也能熟練運用勾股定理求解邊長和面積。但仍有少數學生在理解數軸上點與實數一一對應關系以及勾股定理的靈活應用上存在困難。例如，部分學生在選擇直角邊長度構造直角三角形時缺乏靈活性，不能快速找到合適的勾股數組合；在理解無理數在數軸上的表示原理時，只是機械地記憶步驟，沒有真正理解其背后的數學邏輯。在今后的教學中，需要針對這部分學生進行個別輔導，設計更多有針對性的練習，如專門訓練勾股數組合的尋找、數軸上無理數表示原理的深度剖析等，幫助他們突破難點。
4.教學環節的優化：雖然各個教學環節之間過渡較為自然，但在時間把控上還可以進一步優化。例如在探究環節，可以適當給予學生更多自主探索的時間，讓他們有更充分的機會去嘗試不同的勾股數組合，探索在數軸上表示無理數的多種方法，培養學生的創新思維和探索精神。在練習環節，對于學生的解題思路和方法的點評可以更加深入和全面，不僅要指出正確與否，還要分析不同解題方法的優缺點，引導學生選擇最優解法，提升學生的解題能力和思維水平。同時，在教學過程中可以引入更多生活中的實際案例，如測量樹的高度、計算梯子靠墻的安全高度等，讓學生更加深刻地體會勾股定理的應用價值，增強學生學習數學的興趣和動力，使數學課堂更加生動有趣、貼近生活。
六、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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