資源簡介

第十八章平行四邊形
18.1.1《平行四邊形的性質》
第二課時：對角線的性質 教學設計
一、教學目標
（一）知識與技能
引導學生通過細致入微的觀察、精確無誤的測量以及科學有序的試驗，獲取數學猜想，隨后運用嚴謹規范的證明方法，推導出 “平行四邊形對角線互相平分” 這一關鍵結論。
助力學生熟練且精準地掌握運用平行四邊形性質進行相關證明與計算的方法技巧，構建完整的知識應用體系。
（二）過程與方法
在探索平行四邊形性質的過程中，著重鍛煉學生的觀察敏銳度、試驗操作能力、歸納總結能力等合情推理能力，同時強化其運用邏輯思維進行演繹推理的能力，全方位助力學生構建嚴密且完整的數學思維體系，提升數學素養。
（三）情感態度價值觀
精心設計教學活動，讓學生在數學學習中充分品味成功的喜悅，以此激發他們堅持不懈、鍥而不舍的探究精神，逐步培養學生積極主動參與課堂、樂于合作交流學習的良好習慣，營造積極向上的學習氛圍。
借助實際應用平行四邊形性質的案例，深度加深學生對數學與生活緊密聯系的認知，讓學生真切感受到數學的實用性，從而提升學生運用數學知識解決實際問題的意識和能力，增強學生對數學學科的熱愛。
二、教學重難點
（一）教學重點
深入透徹地理解并牢固掌握平行四邊形對角線互相平分的性質，這是本節課的核心知識要點，也是后續知識拓展和應用的基石。
（二）教學難點
靈活自如地運用平行四邊形對角線互相平分的性質，解決各類復雜多變的數學問題。這不僅要求學生對性質有深刻理解，更對學生的知識遷移能力、思維靈活性和綜合運用能力提出了較高要求，需要在教學中逐步引導和強化訓練。
三、教學過程
（一）情景引入 —— 趣題引思，生活啟智：土地平分之謎，數學生活交融
有一位歷經歲月滄桑的老人，憑借一生的辛勤勞作，在晚年終于擁有了一塊平行四邊形的土地。然而，由于年事已高、身體孱弱，他決定將這塊土地平均分給四個孩子。展示分地的示意圖，當四個孩子看到父親的分法后，頓時爭論不休，都覺得自己分得的土地少。此時，向同學們提問：你們認為老人這樣分合理嗎？為什么呢？
設計意圖：緊密聯系生活實際，以分地這一常見且有趣的生活情景作為切入點，將抽象晦澀的數學知識巧妙融入其中，迅速激發學生的學習興趣和好奇心，充分調動學生的學習積極性。讓學生深刻意識到數學知識源于生活又服務于生活，同時為后續深入探究平行四邊形對角線性質巧妙地埋下伏筆，引導學生積極思考如何運用數學知識解決生活中的實際問題，培養學生學以致用的意識。
（二）探究 —— 觀察猜想，推理驗證：圖形奧秘探索，猜想證明同行
呈現平行四邊形 ABCD，連接 AC、BD 并設它們相交于點 O 。引導學生仔細觀察并深入思考：OA 與 OC，OB 與 OD 之間存在怎樣的數量關系？鼓勵學生大膽提出猜想，并嘗試自主進行證明。
猜想環節：學生通過細致觀察和深入分析，提出猜想在平行四邊形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD 。
證明過程：
已知：如圖所示，四邊形 ABCD 是平行四邊形，對角線 AC、BD 相交于點 O。
求證：OA = OC，OB = OD。
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ AD∥BC，AD=BC
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △AOD≌△COB (ASA)
∴ OA=OC，OB=OD
設計意圖：通過讓學生親身觀察圖形、大膽提出猜想并嚴謹進行證明，全面培養學生的觀察能力、合情推理能力和演繹推理能力。讓學生深度參與知識的形成過程，使其對平行四邊形對角線互相平分這一性質的理解更加深刻，記憶更加牢固。同時，有效提高學生的邏輯思維能力和自主探究能力，培養學生勇于探索、敢于質疑的科學精神，為學生的終身學習奠定堅實基礎。
（三）形成定理 —— 歸納總結，定理生成：探索成果凝煉，定理正式登場
通過上述嚴謹的證明過程，我們得到了平行四邊形性質定理 3：平行四邊形的對角線互相平分。在幾何證明和計算中，
用符號語言來表示這一定理為：
∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ AO = OC，BO = OD。
設計意圖：及時對探究得出的結論進行系統歸納和總結，將其上升為定理，使學生對知識的掌握更加系統、規范和條理化。符號語言的引入和運用，有助于學生準確、簡潔地表達數學定理，提高學生運用定理進行幾何證明和計算的準確性和效率，培養學生的數學符號意識和數學表達能力，提升學生的數學素養。
（四）學以致用 —— 知識應用，拓展提升：性質實戰演練，思維拓展進階
問題探究：提出問題平行四邊形的對角線將平行四邊形 ABCD 分成四個三角形，那么這四個三角形的面積有怎樣的關系呢？
引導學生思考并解答：
解：相等.理由如下：
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ OA=OC，OB=OD
∵ △ADO與△ODC等底同高
∴ S△ADO=S△ODC
同理可得 S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB
例題講解：
例2 如圖，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的長，以及□ABCD的面積.
解：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ BC=AD=8，CD=AB=10
∵ AC⊥BC，∴ △ABC是直角三角形
根據勾股定理，AC===6
又 OA=OC，∴ OA=AC=3，S□ABCD=BC AC=8×6=48
設計意圖：精心設計問題探究和例題講解環節，讓學生將所學的平行四邊形對角線互相平分的性質靈活運用到實際問題的解決中，進一步加深學生對性質的理解和掌握程度。培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，提高學生的邏輯思維能力、運算能力和知識遷移能力。同時，讓學生在解決問題的過程中，切實體會數學知識的實用性和趣味性，增強學生學習數學的自信心和成就感，激發學生學習數學的內在動力。
（五）練習 —— 鞏固提升，分層拓展：習題沙場練兵，能力分層進階
1.如圖，在□ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14. △AOD的周長是多少？△ABC與△DBC的周長哪個長？長多少？
解：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ BC=AD=10，AB=CD
OA=OC=AC=×8=4
OB=OD=BD=×14=7
∴ △AOD的周長=OA+OD+AD=4+7+10=21
∵ △ABC的周長=AB+BC+AC=AB+10+8=AB+18
△DBC的周長=CD+BC+BD=CD+10+14=CD+24=AB+24
∴ △DBC的周長比△ABC的周長更長，長6cm.
2.如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F.求證OE=OF.
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ AB∥CD，OA=OC
∴ ∠OAE=∠OCF
又 ∠AOE=∠COF
∴ △AOE≌△COF (ASA)
∴ OE=OF
設計意圖：精心挑選具有代表性和層次性的練習題，通過練習，進一步鞏固學生對平行四邊形性質的理解和應用能力，有效提高學生的解題能力和思維能力。不同類型的練習題能夠滿足不同層次學生的學習需求，讓每個學生都能在練習中有所收獲、有所進步。同時，在練習過程中，注重培養學生的獨立思考能力和合作交流能力，鼓勵學生積極分享解題思路和方法，相互學習、共同提高，營造良好的學習氛圍。
（六）課堂小結 —— 知識梳理，反思升華：知識回顧復盤，思維反思沉淀
引導學生全面回顧本節課所學內容，提問：本節課你有哪些收獲？鼓勵學生從知識、方法、思想等多個角度進行總結，如掌握了平行四邊形對角線互相平分的性質，學會了用多種方法證明數學結論，體會到了數學中的轉化思想等。詢問學生：還有沒解決的問題嗎？及時解答學生的疑惑，確保學生對本節課內容的理解和掌握。
設計意圖：課堂小結環節至關重要，有助于學生系統梳理本節課的知識脈絡，強化重點知識，加深對知識的理解和記憶。讓學生從多個角度總結收獲，能夠有效培養學生的歸納總結能力和反思能力，引導學生學會學習、學會思考。及時解答學生的疑惑，能夠幫助學生解決學習過程中遺留的問題，確保學生對知識的掌握更加扎實、牢固，為后續學習奠定堅實的基礎，同時增強學生學習數學的信心。
四、教學反思
1.教學方法成效：采用分組討論學習和自主探究的教學方法，極大提升了學生的實踐參與度。小組討論促使學生積極交流，思維碰撞出火花，有效提高了解題能力，同時顯著增強了學生間的合作意識，營造出濃厚的交流學習氛圍，加深了同學情誼與師生間的教學和諧關系，使教學過程更加流暢自然，教學效果得到有效提升。
2.學生學習表現：大部分學生能夠積極參與課堂討論和探究活動，在觀察、猜想、證明等環節展現出較強的思維能力，但仍有部分學生在自主探究時存在困難，需要更多引導和鼓勵。在知識應用環節，部分學生對平行四邊形性質的運用不夠熟練，反映出對知識的理解深度有待加強。
3.教學內容把控：教學內容的設計整體合理，從生活情景引入到性質探究、定理生成及應用練習，邏輯連貫。不過，在探究環節，提供的平行四邊形類型可以更加豐富多樣，以滿足不同思維角度學生的觀察和猜想需求；練習環節，拓展性題目不足，難以充分挖掘學有余力學生的潛力。
4.改進方向：在今后的教學中，要進一步優化教學環節。針對探究環節，準備多種不同邊長比例、角度大小的平行四邊形，讓學生從更多維度進行觀察與猜想；在練習環節，增設拓展性題目，如探究平行四邊形對角線與面積、周長的特殊關系等，滿足不同層次學生的學習需求；關注學習困難學生，給予他們更多指導和幫助，確保每個學生都能在數學學習中有所收獲，促進全體學生的全面發展。
五、展示評價
評價維度 評價要點 評價等級（A. 優秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
學生參與度 是否積極參與課堂討論、回答問題，主動參與探究活動
知識掌握 能否準確理解平行四邊形對角線互相平分的性質，熟練運用性質進行證明和計算
思維能力 在觀察、猜想、證明過程中，思維的敏捷性、邏輯性和創新性表現如何
合作交流 小組合作中，與小組成員溝通是否順暢，能否積極貢獻自己的想法，傾聽他人意見

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