資源簡介

專題20 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】象限角及終邊相同的角 7
【考點2】弧度制及其應用 12
【考點3】三角函數(shù)的定義及應用 17
【分層檢測】 21
【基礎(chǔ)篇】 21
【能力篇】 28
【培優(yōu)篇】 31
考試要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能進行弧度與角度的互化.
3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義
前提 如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)
定義 正弦 y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)
余弦 x叫做α的余弦函數(shù)，記作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函數(shù) 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)
(2)定義的推廣
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.
3.象限角
4.軸線角
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
3．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

5．（2023·全國·高考真題）若，則 ．
6．（2021·北京·高考真題）若點關(guān)于軸對稱點為，寫出的一個取值為 ．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
2．B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
3．
【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，若，則，
取，
則，即，
令，則，
因為，則，
即，則.
不妨取，即滿足題意.
故答案為：.
4．
【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．
【詳解】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因為，所以，即，．
所以，
所以或，
又因為，所以，．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
5．
【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進而可得結(jié)果.
【詳解】因為，則，
又因為，則，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
6．（滿足即可）
【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.
【詳解】與關(guān)于軸對稱，
即關(guān)于軸對稱，
，
則，
當時，可取的一個值為.
故答案為：（滿足即可）.
【考點1】象限角及終邊相同的角
一、單選題
1．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·模擬預測）已知角第二象限角，且，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
二、多選題
3．（23-24高一上·吉林長春·期末）下列說法正確的是（ ）
A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件
B．“，”是“”的充要條件
C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件
D．“”是“”的必要不充分條件
4．（22-23高二下·吉林長春·期末）下列說法正確的是（ ）
A．軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為
B．若，則
C．已知為銳角，，角的終邊上有一點，則
D．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和
三、填空題
5．（2022·河南開封·三模）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱.若，則 .
6．（2022·全國·模擬預測）已知的頂點為坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在第二象限，，則的值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角的集合.
【詳解】終邊落在陰影部分的角為，，
即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．
故選：B．
2．A
【分析】寫出象限角的取值范圍，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出選項.
【詳解】因為角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因為，即，所以角是第一象限角，
故選：A．
3．AC
【分析】對于A，利用象限角，求得角的范圍，可判定充分性，取，驗證必要性即可；對于B，考查時，的取值范圍，可判定必要性不成立；對于C，根據(jù)集合，的關(guān)系即可判定；對于D，根據(jù)條件求得的取值范圍即可判斷.
【詳解】對于A,因為為第一象限角，
所以，
則,
當為偶數(shù)時，為第一象限角，
當為奇數(shù)時，為第三象限角，
所以充分性成立；
當時，為第一象限角，則，為第二象限角，
即必要性不成立，故A正確；
對于B，當，時，
成立，則充分性成立；
當時，或，,
故必要性不成立，則B錯誤；
對于C，，
而，
則 ，故則“”是“”的充分不必要條件，故C正確；
對于D,當時，,
則，
則，故充分性成立，
當時，，
則，
則成立，
所以“”是“”的充要條件，故D錯誤，
故選：AC.
4．ABD
【分析】對于A，根據(jù)扇形相關(guān)知識計算即可；
對于B，根據(jù)角的范圍判斷正弦值和余弦值的符號，結(jié)合誘導公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡即可；
對于C，通過同角三角函數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)定義求得，，再通過兩角和的正切公式代入計算即可；
對于D，根據(jù)終邊相同的角的概念直接判斷.
【詳解】對于A，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，設(shè)其母線長為，則其底面圓的直徑為，
則圓錐側(cè)面展開圖的半徑（即圓錐母線長）為，弧長（即底面周長）為，
所以其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，故A正確；
對于B，若，則，則，
則
，故B正確；
對于C，若為銳角，，則，則，
角的終邊上有一點，則，
則，故C錯誤；
對于D，在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和，故D正確.
故選：ABD
5．
【分析】根據(jù)給定條件，用表示出，再代入并結(jié)合誘導公式、二倍角公式計算作答.
【詳解】因在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱，
則有，即，而，
所以，，.
故答案為：
6．
【分析】由題知在第一象限，，，再根據(jù)正切的二倍角公式求解即可.
【詳解】解：由在第二象限可知，在第一、三象限，
又，所以在第一象限，
所以，故．
因此．
故答案為：
反思提升：
(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
(2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置.
【考點2】弧度制及其應用
一、單選題
1．（2023·陜西安康·三模）羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸的非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，．若，則下列說法正確的是（ ）

A．當時，的面積為
B．當時，扇形的面積為
C．當時，四邊形的面積為
D．四邊形面積的最大值為1
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）質(zhì)點A，B在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運動，點A的起點在射線（）與圓O的交點處，點A的角速度為，點B的起點在圓O與x軸正半軸的交點處，點B的角速度為，則下列說法正確的是（ ）
A．在末時，點B的坐標為
B．在末時，劣弧的長為
C．在末時，點A與點B重合
D．當點A與點B重合時，點A的坐標可以為
三、填空題
5．（2023·上海普陀·一模）若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為 .
6．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段的中點，點在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為 百米.
參考答案：
1．C
【分析】將圓臺補成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，求出小圓錐的母線長后可得展開圖圓心角．
【詳解】將圓臺補成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，
設(shè)小圓錐母線長為，則大圓錐母線長為，由相似得，即，
∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為.
故選：C．
2．C
【分析】先求出，，進而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.
【詳解】
延長與交于點．由，，得，．
因為所對的圓心角為直角，所以，．
所以該梅花磚雕的側(cè)面積，
扇環(huán)的面積為，
則該梅花磚雕的表面積．
故選：C．
3．AC
【分析】根據(jù)三角形面積公式可判斷A；由扇形面積公式可判定B；，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C；，借助三角函數(shù)恒等式化簡即可判斷D.
【詳解】由題意，得圓的半徑，，，．
對于A，由，，得，
則，故A正確；
對于B，當時，因為，
所以扇形的面積，故B錯誤；
對于C，當時，
，故C正確；
對于D，
，
由，得
，
所以當，即時，取得最大值，為，故D錯誤．
故選：AC
4．BD
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的定義以及弧長公式判斷AB；設(shè)時刻點A與點B重合，求出則可以判斷CD.
【詳解】由題意，末時，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，則點B的坐標為，A錯；
點A的初始位置為，后，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，
則，所以劣弧的長為，B對；
設(shè)時刻點A與點B重合，則，
令，所以在末時，點A與點B不重合，C錯；
由C知，時，點A與點B第一次重合，此時射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，
射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，可得A與點B重合于，
此時點A的坐標為．D對，
故選：BD．
5．1弧度
【分析】根據(jù)弧度的定義求解即可．
【詳解】圓的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓半徑，弧長等于半徑的弧所對圓心角為1弧度角．
故答案為：1弧度．
6．
【分析】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，借助相似三角形性質(zhì)用表示，結(jié)合對稱性求出步道長度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)求出最大值即得.
【詳解】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，顯然，
由點O為線段的中點，得兩個半圓步道及直道都關(guān)于過點垂直于的直線對稱，
則，又，則∽，有，
即有，因此步道長，，
求導得，由，得，
當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，
因此當時，，
所以步道的最大長度為百米.
故答案為：
反思提升：
應用弧度制解決問題時應注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
【考點3】三角函數(shù)的定義及應用
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預測）在直角坐標系中，繞原點將軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點、順時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點，若點的縱坐標為，且的面積為，則點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件
B．若為第一象限角，則
C．在中，若，則為銳角三角形
D．已知，且，則
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：
①把點P的縱坐標y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；
②把點P的橫坐標x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；
③把點P的縱坐標y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；
④把點P的橫坐標x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.
下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的定義域為
D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，若角的頂點為原點，始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則 .
6．（2023·江西贛州·二模）已知為銳角，滿足，則 ．
參考答案：
1．B
【分析】利用三角函數(shù)定義求出，利用三角形面積公式求出，進而求出，再利用差角的正弦求出即可得解.
【詳解】由點的縱坐標為，得，，顯然，
而，即，又，
因此， ，有，
，顯然點在第四象限，
所以點的縱坐標為.
故選：B
2．B
【分析】先確定角的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】因為，
所以角的終邊在第二象限，
又因為
，
且，
所以.
故選：B.
3．ACD
【分析】對A，根據(jù)充分，必要條件的概念判斷；對B，利用二倍角余弦公式化簡求解；對C，將條件式切化弦結(jié)合三角變換求解判斷；對D，利用二倍角余弦公式化簡條件式，再弦化切求解.
【詳解】對于A，若是第二象限角或第三象限角，則.若，取，
此時不是第二象限角或第三象限角，則是的充分不必要條件，故A正確；
對于B，由于為第一象限角，則，
，故B錯誤；
對于C，在中，若，則，所以，
故，所以，故為銳角三角形，故C正確；
對于D，由，所以，則，
由，知，故D正確.
故選：ACD.
4．ABD
【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)及余割正割的定義逐一判斷即可.
【詳解】，A正確；
，B正確；
函數(shù)的定義域為，C錯誤；
，
當時，等號成立，D正確.
故選：ABD.
5．
【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到，再利用倍角公式和誘導公式進行轉(zhuǎn)化求得.
【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，所以
.
故答案為：
6．2
【分析】
根據(jù)齊次式法運算求解即可.
【詳解】因為，
整理得，解得或，
又因為為銳角，則，所以.
故答案為：2.
反思提升：
1.三角函數(shù)定義的應用
(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.
(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.
2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·安徽·模擬預測）已知角終邊上有一點，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（23-24高一上·山東菏澤·期末）集合，，，則集合中的元素個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·福建·三模）若滿足，，則可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如圖，質(zhì)點和在單位圓上逆時針作勻速圓周運動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點位置坐標為，B的角速度為，起點位置坐標為，則（ ）

A．在末，點的坐標為
B．在末，扇形的弧長為
C．在末，點在單位圓上第二次重合
D．面積的最大值為
三、填空題
8．（2021·四川瀘州·一模）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則 ．
9．（2023·上海·模擬預測）在平面直角坐標系中，角以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應的角是，則 ；
10．（2024·湖北·模擬預測）函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則 .
四、解答題
11．（2021·上海閔行·二模）某植物園中有一塊等腰三角形的花圃，腰長為20米，頂角為30°，現(xiàn)在花圃內(nèi)修一條步行道(步行道的寬度忽略不計)，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲線表示(D E兩點分別在腰 上，以下結(jié)果精確到0.01).
（1）如果曲線是以A為圓心的一段圓弧(如圖1)，求的長；
（2）如果曲線是直道(如圖2)，求的最小值，并求此時直道的長度.
12．（2023·貴州·模擬預測）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點.

(1)求；
(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.
【詳解】已知角終邊上有一點，即點，
，
為第三象限角.
故選：C.
2．B
【分析】解不等式，得出整數(shù)的取值，即可得解.
【詳解】解不等式，可得，
所以，整數(shù)的取值有、、，
又因為集合，，
則，即集合中的元素個數(shù)為.
故選：B.
3．C
【分析】根據(jù)給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.
【詳解】顯然為等腰三角形，，
則，，又，
所以，于是，
所以璜身的面積近似為.
故選：C
4．D
【分析】由題意可得，再根據(jù)誘導公式及三角函數(shù)的定義即可得解.
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，
所以，
因為把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，
所以，
所以.
故選：D.
5．AC
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解.
【詳解】因為，，
所以或，
因為，
所以或，
所以
或，
或，
因為范圍不定，
當時，，當時，=，
故選：AC
6．AD
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)過的定點，再利用三角函數(shù)的定義求出和即可.
【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過定點,
令，得或，此時，則或,
當點在角的終邊上，則；
當點在角的終邊上，則；
綜上：或，故AD正確，BC錯誤.
故選：AD.
7．BCD
【分析】求出末點和的坐標可判斷選項AB;求出末點和的坐標，結(jié)合誘導公式可判斷C；根據(jù)三角形面積公式可判斷D.
【詳解】在末,點的坐標為，點的坐標為；，扇形的弧長為；
設(shè)在末，點在單位圓上第二次重合，
則，故在末，點在單位圓上第二次重合；
,經(jīng)過s后，可得，面積的可取得最大值.
故選:BCD.
8．
【解析】由題意得，然后由求解.
【詳解】因為角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱，且，
所以，
所以，
故答案為：
9．
【分析】由已知可得，，然后根據(jù)誘導公式即可求解.
【詳解】依題意.
因為，
所以．
故答案為：.
10．/
【分析】由，代入函數(shù)解析式中，結(jié)合，可得的值.
【詳解】函數(shù)，最小正周期，
由于，，
又，可得.
故答案為：.
11．（1）13.82米；（2）的最小值約為28.28米，此時直道的長度約為7.32米.
【分析】（1）先求出的面積，再結(jié)合題目條件利用扇形面積公式即可求出的值．
（2）設(shè)，，由題意可得，再利用基本不等式求出的最小值，以及此時的值，進而求出的值即可．
【詳解】（1）設(shè)，依題知，扇形的面積為，
又的面積為，
由得：，解得：，
（米），故的長約為13.82米．
（2）如圖2，線段平分的面積，設(shè)，，
，
，
又（當且僅當時取等號），
此時（米，（米
綜上，的最小值約為28.28米，此時直道的長度約為7.32米．
12．(1)
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式直接得解；
（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，進而可得面積.
【詳解】（1）由題知，，
所以；
（2）由題知，，，
，且，所以，
而，則，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
2．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（ ）
A． B．
C．若，則 D．是周期函數(shù)
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為，底面圓的直徑為，則的值為 ．
四、解答題
4．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.
(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最小？
參考答案：
1．A
【分析】利用二倍角公式以及不同象限角的三角函數(shù)值符號，即可判斷出結(jié)果.
【詳解】充分性：由可知，
又由可得可知，
綜上，，即為第三象限角．
必要性：若為第三象限角，則，所以，即且；
所以“且”是“為第三象限角”的充要條件．
故選：A．
2．ACD
【分析】根據(jù)題意分別求出，，則，，從而可對A判斷求解，利用換元法令可對B判斷求解，由求出，并結(jié)合從而可對C判斷求解，由可對D判斷求解.
【詳解】由題意得在角的終邊上，且，所以，，
則，，
對A：，故A正確；
對B：，令，
所以，故B錯誤；
對C：，解得，
又由，故C正確；
對D：，因為為周期函數(shù)，故D正確.
故選：ACD.
3．
【分析】
根據(jù)扇形的面積及弧長求出母線及底面圓半徑，再由余弦定理求解.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，
∵扇形的圓心角為
，解得，
∵扇形的弧長等于它圍成的圓錐的底面周長，
，
所以圓錐的軸截面中，，，
由余弦定理可得，
故答案為：
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得的大小，再根據(jù)正弦定理可得，進而求得扇形的半徑，從而得到種植花卉區(qū)域的面積
（2）設(shè)，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得關(guān)于的表達式，從而得到平行四邊形的面積表達式，從而根據(jù)三角函數(shù)的最值求解即可
【詳解】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積
（2）設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因為，故要面積最小，則當，即，時面積取得最小值，即多大時，平行四邊形綠地占地面積最小
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，面積為的扇形OMN中，M，N分別在x，y軸上，點P在弧MN上（點P與點M，N不重合），分別在點P，N作扇形OMN所在圓的切線交于點Q，其中與x軸交于點R，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．2
二、多選題
2．（23-24高三上·山東威海·期末）質(zhì)點和同時出發(fā)，在以原點為圓心，半徑為的上逆時針作勻速圓周運動.的角速度大小為，起點為與軸正半軸的交點；的角速度大小為，起點為射線與的交點.則當與重合時，的坐標可以為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
3．（2021·上海·模擬預測）已知，對任意，總存在實數(shù)，使得，則的最小值是
參考答案：
1．B
【分析】利用扇形面積公式求出扇形所在圓半徑，設(shè)，用的函數(shù)表示，再利用三角變換，結(jié)合基本不等式求解即得.
【詳解】由扇形的面積為，得，解得，設(shè)，
在中，，連接OQ，則，
在中，，，
令，則，且，則
，
當且僅當，即時取等號，而，
所以時，取得最小值．
故選：B
【點睛】思路點睛：涉及圖形上的點變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點的運動與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.
2．BD
【分析】確定點的初始位置，由題意列出重合時刻的表達式，進而可得點的坐標，通過賦值對比選項即可得解.
【詳解】依題意，點的起始位置，點的起始位置，
則，設(shè)當與重合時，用的時間為，
于是，即，
則，所以，
對于A，若，則或，，
解得，或，因為，這樣的不存在，故A錯誤；
對于B，當時，，即，故B正確；
對于C，若，則或，，
解得，或，因為，這樣的不存在，故C錯誤；
對于D，當時，，即，故D正確；
故選：BD.
【點睛】思路點睛：通過設(shè)兩質(zhì)點重合時所用時間，得到重合點坐標，結(jié)合角度差，根據(jù)三角函數(shù)周期性以及誘導公式判斷選項即可.
3．
【分析】利用單位圓中的終邊位置研究，可知，存在正整數(shù),使得，，由此求得的最小值.
【詳解】在單位圓中分析，由題意，
的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域
（其中），
必存在某個正整數(shù)，使得終邊在OB的下面，而再加上，即跨越空白區(qū)域到達下一個周期內(nèi)的陰影區(qū)域內(nèi)，
∴，
∵對任意要成立，所以必存在某個正整數(shù)，使得以后的各個角的終邊與前面的重復（否則終邊有無窮多，必有兩個角的終邊相差任意給定的角度比如1°，進而對于更大的,次差的累積可以達到任意的整度數(shù)，便不可能在空白區(qū)域中不存在了），
故存在正整數(shù),使得，即，，
同時，
∴的最小值為,
故答案為：.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，主要思想是在單位圓中利用數(shù)形結(jié)合思想進行研究分析.得出存在正整數(shù),使得，是關(guān)鍵.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題20 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】象限角及終邊相同的角 4
【考點2】弧度制及其應用 6
【考點3】三角函數(shù)的定義及應用 8
【分層檢測】 9
【基礎(chǔ)篇】 9
【能力篇】 12
【培優(yōu)篇】 13
考試要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能進行弧度與角度的互化.
3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義
前提 如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)
定義 正弦 y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)
余弦 x叫做α的余弦函數(shù)，記作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函數(shù) 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)
(2)定義的推廣
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.
3.象限角
4.軸線角
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
3．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

5．（2023·全國·高考真題）若，則 ．
6．（2021·北京·高考真題）若點關(guān)于軸對稱點為，寫出的一個取值為 ．
【考點1】象限角及終邊相同的角
一、單選題
1．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·模擬預測）已知角第二象限角，且，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
二、多選題
3．（23-24高一上·吉林長春·期末）下列說法正確的是（ ）
A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件
B．“，”是“”的充要條件
C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件
D．“”是“”的必要不充分條件
4．（22-23高二下·吉林長春·期末）下列說法正確的是（ ）
A．軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為
B．若，則
C．已知為銳角，，角的終邊上有一點，則
D．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和
三、填空題
5．（2022·河南開封·三模）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱.若，則 .
6．（2022·全國·模擬預測）已知的頂點為坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在第二象限，，則的值為 ．
反思提升：
(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
(2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置.
【考點2】弧度制及其應用
一、單選題
1．（2023·陜西安康·三模）羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸的非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，．若，則下列說法正確的是（ ）

A．當時，的面積為
B．當時，扇形的面積為
C．當時，四邊形的面積為
D．四邊形面積的最大值為1
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）質(zhì)點A，B在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運動，點A的起點在射線（）與圓O的交點處，點A的角速度為，點B的起點在圓O與x軸正半軸的交點處，點B的角速度為，則下列說法正確的是（ ）
A．在末時，點B的坐標為
B．在末時，劣弧的長為
C．在末時，點A與點B重合
D．當點A與點B重合時，點A的坐標可以為
三、填空題
5．（2023·上海普陀·一模）若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為 .
6．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段的中點，點在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為 百米.
反思提升：
應用弧度制解決問題時應注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
【考點3】三角函數(shù)的定義及應用
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預測）在直角坐標系中，繞原點將軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點、順時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點，若點的縱坐標為，且的面積為，則點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件
B．若為第一象限角，則
C．在中，若，則為銳角三角形
D．已知，且，則
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：
①把點P的縱坐標y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；
②把點P的橫坐標x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；
③把點P的縱坐標y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；
④把點P的橫坐標x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.
下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的定義域為
D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，若角的頂點為原點，始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則 .
6．（2023·江西贛州·二模）已知為銳角，滿足，則 ．
反思提升：
1.三角函數(shù)定義的應用
(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.
(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.
2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·安徽·模擬預測）已知角終邊上有一點，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（23-24高一上·山東菏澤·期末）集合，，，則集合中的元素個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·福建·三模）若滿足，，則可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如圖，質(zhì)點和在單位圓上逆時針作勻速圓周運動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點位置坐標為，B的角速度為，起點位置坐標為，則（ ）

A．在末，點的坐標為
B．在末，扇形的弧長為
C．在末，點在單位圓上第二次重合
D．面積的最大值為
三、填空題
8．（2021·四川瀘州·一模）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則 ．
9．（2023·上海·模擬預測）在平面直角坐標系中，角以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應的角是，則 ；
10．（2024·湖北·模擬預測）函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則 .
四、解答題
11．（2021·上海閔行·二模）某植物園中有一塊等腰三角形的花圃，腰長為20米，頂角為30°，現(xiàn)在花圃內(nèi)修一條步行道(步行道的寬度忽略不計)，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲線表示(D E兩點分別在腰 上，以下結(jié)果精確到0.01).
（1）如果曲線是以A為圓心的一段圓弧(如圖1)，求的長；
（2）如果曲線是直道(如圖2)，求的最小值，并求此時直道的長度.
12．（2023·貴州·模擬預測）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點.

(1)求；
(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
2．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（ ）
A． B．
C．若，則 D．是周期函數(shù)
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為，底面圓的直徑為，則的值為 ．
四、解答題
4．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.
(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最小？
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，面積為的扇形OMN中，M，N分別在x，y軸上，點P在弧MN上（點P與點M，N不重合），分別在點P，N作扇形OMN所在圓的切線交于點Q，其中與x軸交于點R，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．2
二、多選題
2．（23-24高三上·山東威海·期末）質(zhì)點和同時出發(fā)，在以原點為圓心，半徑為的上逆時針作勻速圓周運動.的角速度大小為，起點為與軸正半軸的交點；的角速度大小為，起點為射線與的交點.則當與重合時，的坐標可以為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
3．（2021·上海·模擬預測）已知，對任意，總存在實數(shù)，使得，則的最小值是
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑