資源簡介

專題10 指數與指數函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】指數冪的運算 4
【考點2】指數函數的圖象及應用 5
【考點3】指數函數的性質及應用 7
【分層檢測】 9
【基礎篇】 9
【能力篇】 11
【培優篇】 12
考試要求：
1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.
2.通過實例，了解指數函數的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數函數的圖象.
3.理解指數函數的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.
1.根式的概念及性質
(1)概念：式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數.
(2)①負數沒有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，記作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n為大于1的奇數).
⑤＝|a|＝(n為大于1的偶數).
2.分數指數冪
規定：正數的正分數指數冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.
3.指數冪的運算性質
實數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指數函數及其性質
(1)概念：函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，y>1； 當x<0時，01； 當x>0時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
y＝ax與y＝的圖象關于y軸對稱
1.畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，.
2.指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與03.在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·高考真題）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·北京·高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【考點1】指數冪的運算
一、單選題
1．（2022·重慶九龍坡·模擬預測）雷達是利用電磁波探測目標的電子設備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達所能發現目標的最大直視距離（如圖），其中為雷達天線架設高度，為探測目標高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠大于，．假設某探測目標高度為25m，為保護航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標，并發出預警，則艦載預警機的巡航高度至少約為（ ）
（參考數據：）
A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m
2．（2024·廣東深圳·一模）已知函數是定義域為的偶函數，在區間上單調遞增，且對任意，均有成立，則下列函數中符合條件的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·云南曲靖·模擬預測）若實數滿足，則（ ）
A．且 B．的最大值為
C．的最小值為7 D．
4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
三、填空題
5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·一模）請寫出滿足方程的一組實數對： ．
6．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知實數，滿足，，則 ．
反思提升：
(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：
①必須同底數冪相乘，指數才能相加.
②運算的先后順序.
(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.
(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.
【考點2】指數函數的圖象及應用
一、單選題
1．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·湖北·階段練習）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C． D．
二、多選題
3．（20-21高一上·山東濟南·期中）下列四個結論中，正確的結論為（ ）
A．函數與函數相等
B．若函數且的圖象沒有經過第二象限，則
C．當時，關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為
D．若函數的最大值為，最小值為，則
4．（2024·山東臨沂·一模）已知函數，則（ ）
A．的定義域為
B．的值域為
C．當時，為奇函數
D．當時，
三、填空題
5．（2024·云南曲靖·一模）如圖，在第一象限內，矩形的三個頂點，分別在函數的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2，則D點的坐標是 ．

6．（2023·上海浦東新·模擬預測）設.若函數的定義域為，則關于的不等式的解集為 .
反思提升：
1.對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.
2.有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解.
【考點3】指數函數的性質及應用
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（ ）（結果取整數，參考數據：）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）如果，記為區間內的所有整數．例如，如果，則；如果，則或3；如果，則不存在．已知，則（ ）
A．36 B．35 C．34 D．33
二、多選題
3．（2024·湖南·模擬預測）已知函數是定義域為的偶函數，是定義域為的奇函數，且.函數在上的最小值為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．在實數集單調遞減
C． D．或
4．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設函數，則下列選項正確的是（ ）
A．為奇函數
B．的圖象關于點對稱
C．的最小值為
D．若有兩個不等實根，則，且
三、填空題
5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對站內進行消毒工作，設在藥物釋放過程中，站內空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時間（小時）成正比.藥物釋放完畢后，與滿足關系（常數，）.據測定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，乘客方可進站，則地鐵站應安排工作人員至少提前 分鐘進行消毒工作.
6．（2021·上海松江·一模）從以下七個函數：中選取兩個函數記為和，構成函數，若的圖像如圖所示，則 .
反思提升：
1.比較指數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；(2)不能化成同底數的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2.指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.
3.涉及指數函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.
易錯警示　在研究指數型函數的單調性時，當底數a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）在等差數列中，已知與是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知是定義在上的偶函數，則（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
3．（2024·天津·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·貴州畢節·模擬預測）已知函數，則對任意非零實數x，有（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）對函數，公共定義域內的任意x，若存在常數，使得恒成立，則稱和是伴侶函數，則下列說法正確的是（ ）
A．存在常數，使得與是伴侶函數
B．存在常數，使得與是伴侶函數
C．與是伴侶函數
D．若，則存在常數，使得與是伴侶函數
6．（2023·廣東廣州·模擬預測）下列是（，，）的必要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·模擬預測）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2021·山東菏澤·二模）寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數函數
①當時，；②為偶函數
9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為 .
10．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數滿足，當時，.函數，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為 .
四、解答題
11．（2021·四川遂寧·模擬預測）已知函數定義在上有恒成立，且當時，.
（1）求的值及函數的解析式；
（2）求函數的值域.
12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數是指數函數．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·寧夏石嘴山·三模）定義在R上的偶函數滿足，且當 時，，若關于x的方程恰有5個實數解，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）若實數，滿足，，，則（ ）
A．且 B．的最小值為
C．的最小值為7 D．
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）若，滿足約束條件，則的最大值為 ．
四、解答題
4．（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知關于x的不等式的解集為．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數，，正實數a，b，c滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·河北石家莊·模擬預測）下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2021·北京西城·二模）已知函數其中且.給出下列四個結論：
①若，則函數的零點是；
②若函數無最小值，則的取值范圍為；
③若，則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
④若關于的方程恰有三個不相等的實數根，則的取值范圍為，且的取值范圍為.
其中，所有正確結論的序號是 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題10 指數與指數函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 8
【考點1】指數冪的運算 8
【考點2】指數函數的圖象及應用 12
【考點3】指數函數的性質及應用 17
【分層檢測】 22
【基礎篇】 22
【能力篇】 29
【培優篇】 33
考試要求：
1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.
2.通過實例，了解指數函數的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數函數的圖象.
3.理解指數函數的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.
1.根式的概念及性質
(1)概念：式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數.
(2)①負數沒有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，記作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n為大于1的奇數).
⑤＝|a|＝(n為大于1的偶數).
2.分數指數冪
規定：正數的正分數指數冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.
3.指數冪的運算性質
實數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指數函數及其性質
(1)概念：函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，y>1； 當x<0時，01； 當x>0時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
y＝ax與y＝的圖象關于y軸對稱
1.畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，.
2.指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與03.在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·高考真題）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·北京·高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．D
【分析】
根據偶函數的定義運算求解.
【詳解】
因為為偶函數，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
3．A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即
由二次函數性質知，
因為，而，
即，所以，
綜上，，
又為增函數，故，即.
故選：A.
4．A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
5．C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
6．C
【分析】根據二次函數的性質可判斷選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；
對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對于C，因為函數定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；
對于D，，函數定義域為，而且，如當，，D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數的性質即可解出．
7．C
【分析】
利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】
對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調，D錯誤.
故選：C.
8．D
【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
【考點1】指數冪的運算
一、單選題
1．（2022·重慶九龍坡·模擬預測）雷達是利用電磁波探測目標的電子設備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達所能發現目標的最大直視距離（如圖），其中為雷達天線架設高度，為探測目標高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠大于，．假設某探測目標高度為25m，為保護航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標，并發出預警，則艦載預警機的巡航高度至少約為（ ）
（參考數據：）
A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m
2．（2024·廣東深圳·一模）已知函數是定義域為的偶函數，在區間上單調遞增，且對任意，均有成立，則下列函數中符合條件的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·云南曲靖·模擬預測）若實數滿足，則（ ）
A．且 B．的最大值為
C．的最小值為7 D．
4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
三、填空題
5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·一模）請寫出滿足方程的一組實數對： ．
6．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知實數，滿足，，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據題意，列出關于的方程，然后求解即可.
【詳解】根據題意知，，
由
因為R遠大于，
∴
，
解得.
∴艦載預警機的巡航高度至少約為9100m.
故選：C
2．D
【分析】由指數、對數運算性質結合函數單調性、奇偶性定義逐一判斷每個選項即可求解.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故不是偶函數，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，
又定義域為全體實數，它關于原點對稱，且，
即函數是定義域為的偶函數，
當時，單調遞增，滿足題意.
故選：D.
3．ABD
【分析】對于AD，利用指數函數的性質即可判斷；對于BC，利用指數的運算法則與基本不等式的性質即可判斷.
【詳解】由，可得，所以且，故A正確；
由，可得，即，所以，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；
，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為9，故C錯誤；
因為，則，
所以，故D正確.
故選：ABD.
4．AC
【分析】根據逆否命題的真假性即可判斷A，根據冪的運算性質即可判斷B，根據不等式的性質即可判斷C,根據對勾函數的單調性即可判斷D.
【詳解】對于A,若，均不大于2，則 ，則 ，故，則，至少有一個大于2為真命題，故A正確，
對于B, B. ，，故 B錯誤，
對于C,由得，由得，所以，故C正確，
對于D，由于 ，函數 在單調遞增，故，D錯誤，
故選:AC
5．（答案不唯一）
【分析】運用對數式與指數式互化、根式與指數冪互化計算即可.
【詳解】∵，
∴，
∴令得：，即：.
故答案為：（答案不唯一）.
6．1
【分析】由可變形為，故考慮構造函數，判斷函數的單調性，利用單調性化簡等式，由此可求.
【詳解】因為，化簡得．
所以，又，
構造函數，
因為函數，在上都為增函數，
所以函數在上為單調遞增函數，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案為：.
反思提升：
(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：
①必須同底數冪相乘，指數才能相加.
②運算的先后順序.
(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.
(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.
【考點2】指數函數的圖象及應用
一、單選題
1．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·湖北·階段練習）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C． D．
二、多選題
3．（20-21高一上·山東濟南·期中）下列四個結論中，正確的結論為（ ）
A．函數與函數相等
B．若函數且的圖象沒有經過第二象限，則
C．當時，關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為
D．若函數的最大值為，最小值為，則
4．（2024·山東臨沂·一模）已知函數，則（ ）
A．的定義域為
B．的值域為
C．當時，為奇函數
D．當時，
三、填空題
5．（2024·云南曲靖·一模）如圖，在第一象限內，矩形的三個頂點，分別在函數的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2，則D點的坐標是 ．

6．（2023·上海浦東新·模擬預測）設.若函數的定義域為，則關于的不等式的解集為 .
參考答案：
1．A
【分析】先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可得到選項.
【詳解】由函數，，令，解得，
則其定義域為，關于原點對稱，
所以函數在定義內為偶函數，排除C，D選項，因為，觀察選項可知，選A.
故選：A
2．B
【分析】根據指數函數與對數函數性質求得，然后妙用“1”可得.
【詳解】當時，，
所以，函數過定點，得，
所以，，
因為，，
所以，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，的最小值為8.
故選：B
3．BD
【解析】根據兩個函數的值域不同可判斷選項A不正確，根據指數函數圖象的特點可判斷選項B，分離參數得，只需，即可判斷選項C，
是一個奇函數加常數，奇函數在定義域內最大值與最小值之和等于可判斷選項D，進而可得正確選項.
【詳解】對于選項A：函數值域為，函數值域為，所以與函數不是相等函數，故選項A不正確；
對于選項B：若函數且的圖象沒有經過第二象限，則，解得：，故選項B正確；
對于選項C：當時，關于的不等式恒成立，
即，令，則，
因為在單調遞減，所以在單調遞增，
所以，所以，故選項C不正確；
對于選項D：函數，令則
，所以是奇函數，所以，
因此，故選項D正確，
故選：BD
【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題一般采用分離參數法求參數范圍
若不等式（是實參數）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.
4．ACD
【分析】由分母不為零求出函數的定義域，即可判斷A，再分、分別求出函數值的取值范圍，即可得到函數的值域，從而判斷B，根據奇偶性判斷C，根據指數冪的運算判斷D.
【詳解】對于函數，令，解得，
所以的定義域為，故A正確；
因為，當時，所以，
當時，所以，
綜上可得的值域為，故B錯誤；
當時，則，
所以為奇函數，故C正確；
當時，則，
故D正確.
故選：ACD
5．
【分析】根據指對冪函數的圖象及解析式求出A點的橫坐標、點縱坐標，即可得D點的坐標.
【詳解】由題意，縱坐標都為2，則點橫坐標為8，即點橫坐標為8，
所以A點的橫坐標為，點縱坐標為，
由為矩形及題圖知：D點的坐標是.
故答案為：
6．
【分析】由函數的定義域可求得實數的值，可得出函數的解析式，求出的值，然后利用指數函數的單調性可解不等式，即可得其解集.
【詳解】若，對任意的，，則函數的定義域為，不合乎題意，
所以，，由可得，
因為函數的定義域為，所以，，解得，
所以，，則，
由可得，解得.
因此，不等式的解集為.
故答案為：.
反思提升：
1.對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.
2.有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解.
【考點3】指數函數的性質及應用
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（ ）（結果取整數，參考數據：）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）如果，記為區間內的所有整數．例如，如果，則；如果，則或3；如果，則不存在．已知，則（ ）
A．36 B．35 C．34 D．33
二、多選題
3．（2024·湖南·模擬預測）已知函數是定義域為的偶函數，是定義域為的奇函數，且.函數在上的最小值為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．在實數集單調遞減
C． D．或
4．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設函數，則下列選項正確的是（ ）
A．為奇函數
B．的圖象關于點對稱
C．的最小值為
D．若有兩個不等實根，則，且
三、填空題
5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對站內進行消毒工作，設在藥物釋放過程中，站內空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時間（小時）成正比.藥物釋放完畢后，與滿足關系（常數，）.據測定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，乘客方可進站，則地鐵站應安排工作人員至少提前 分鐘進行消毒工作.
6．（2021·上海松江·一模）從以下七個函數：中選取兩個函數記為和，構成函數，若的圖像如圖所示，則 .
參考答案：
1．D
【分析】設經過個小時才能駕駛，則，再根據指數函數的性質及對數的運算計算可得.
【詳解】設經過個小時才能駕駛，則即.
由于在定義域上單調遞減，.
他至少經過4小時才能駕駛.
故選：D.
2．B
【分析】根據給定條件，構造函數，利用導數的幾何意義建立不等式，借助裂項相消法求和及指數函數性質求出的范圍即可得解.
【詳解】令函數，求導得，
則可視為函數在處的切線斜率，
設，則直線的斜率，
由導數的幾何意義有，因此，
而，
即有，
又，因此，
所以.
故選：B
【點睛】思路點睛：觀察題設中所給和式的結構特征，構造函數，利用導數導數的幾何意義建立不等式是解題的關鍵.
3．AC
【分析】
根據函數的奇偶性可得出關于的方程組，即可得的解析式，從而得選項A；結合函數的單調性，可判斷選項B；根據的解析式，求出的解析式，利用換元法，將所求函數轉化為二次函數的最值問題，結合二次函數的對稱軸和二次函數的定義域，即可求出其最小值，從而解得，即可判斷選項C與選項D.
【詳解】A，因為為偶函數，所以，又為奇函數，所以，
因為①，所以，即②，
由得：，，所以選項A正確；
B，因為函數在上均為增函數，
故在上單調遞增，所以選項錯誤；
C、D，因為，
所以，
又，當，即時等號成立，，
設，對稱軸，
當時，函數在上為減函數，在上為增函數，
則，解得或（舍）；
當時，在上單調遞增，，解得：，不符合題意.
綜上，所以選項C正確，錯誤.
故選：.
4．BD
【分析】A由奇偶性定義判斷正誤，B判斷是否成立即可，C應用特殊值法有，即可判斷正誤，D由題設方程有兩個不等實根，令轉化為當時，在上有兩個零點；當時，在上有兩個零點，應用導數研究單調性并確定極值，根據極值的符號求參數范圍.
【詳解】A：，錯誤；
B：，即的圖象關于點對稱，正確；
C：當時，，錯誤；
D：由題意有，整理得有兩個不同實根，顯然，令，
∴當時，在上與有兩個交點，即有兩個零點，
若得，則上，單調遞減；上，單調遞增；
又，，故僅需在上有兩個零點，則；
當時，在上與有兩個交點，即有兩個零點，
若得，則上，單調遞增；上，單調遞減；
又，，故僅需在上有兩個零點，則；
綜上，有兩個不等實根，則，且，正確.
故選：BD
【點睛】關鍵點點睛：D選項，將問題轉化為：當時，在上有兩個零點；當時，在上有兩個零點，進而應用導數研究單調性，根據條件成立時極值的符號求參數范圍.
5．
【分析】當時，求出關于的函數解析式，然后解不等式，即可得解.
【詳解】由于函數的圖象過點，則，可得，
故當時，，由，可得，解得，此時.
故地鐵站應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作.
故答案為：.
6．
【解析】由函數的定義域排除，，再由的圖象過定點及圖象的變化情況，分析與，或與是否經過得結論．
【詳解】由圖象可知，函數的定義域為，故排除，，
又由的圖象過定點，
由函數圖象，可得當時，且為增函數，
當時， 大于0與小于0交替出現，
若時，此時函數的圖象不過定點，
因為過，且當時，，當時，，
若包含，當時，，不滿足過點，
若包含，此時函數不滿足時，大于0與小于0交替出現，
若包含，此時函數不滿足時，大于0與小于0交替出現，
所以只有滿足條件．
故答案為：．
反思提升：
1.比較指數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；(2)不能化成同底數的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2.指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.
3.涉及指數函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.
易錯警示　在研究指數型函數的單調性時，當底數a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）在等差數列中，已知與是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知是定義在上的偶函數，則（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
3．（2024·天津·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·貴州畢節·模擬預測）已知函數，則對任意非零實數x，有（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）對函數，公共定義域內的任意x，若存在常數，使得恒成立，則稱和是伴侶函數，則下列說法正確的是（ ）
A．存在常數，使得與是伴侶函數
B．存在常數，使得與是伴侶函數
C．與是伴侶函數
D．若，則存在常數，使得與是伴侶函數
6．（2023·廣東廣州·模擬預測）下列是（，，）的必要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·模擬預測）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2021·山東菏澤·二模）寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數函數
①當時，；②為偶函數
9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為 .
10．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數滿足，當時，.函數，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為 .
四、解答題
11．（2021·四川遂寧·模擬預測）已知函數定義在上有恒成立，且當時，.
（1）求的值及函數的解析式；
（2）求函數的值域.
12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數是指數函數．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】由韋達定理得到，再由等差數列的性質得到的值，結合指數、對數的運算法則可求值.
【詳解】因為與是方程的兩根，由韋達定理得，
因為數列為等差數列，所以，，
所以，
故選：B.
2．A
【分析】利用偶函數和0處函數值列方程求解即可.
【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以，即，
又，所以，
聯立，解得，，
經檢驗，，滿足要求，
故.
故選：A.
3．D
【分析】根據排除A，根據定義域排除B，根據奇偶性排除C，進而可得答案.
【詳解】對于A， 在處無意義，故A錯誤；
對于B：的定義域為，故B錯誤；
對于C：的定義域為，
且，則為偶函數，故C錯誤；
對于D，滿足圖中要求，故D正確.
故選：D.
4．D
【分析】根據給定的函數式，計算及即可判斷作答.
【詳解】函數，，
則，顯然，且，AB錯誤；
，D正確，C錯誤.
故選：D
5．AD
【分析】根據伴侶函數的定義，由對數的運算法則判斷A，根據指數型函數的單調性以及值域可判斷B，求導，判斷的單調性進而可判斷C，根據常函數的性質可判斷D.
【詳解】A選項：由題意得，
故存在，使得恒成立，故A正確；
B選項：由題意得，
由于為單調遞增函數，且值域為，
因此不存在，使得恒成立，故B錯誤；
C選項：由題意得，
令函數，則，
易知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，不滿足，故C錯誤；
D選項：令，則，
所以為常函數，（點撥：若兩個函數的導函數相同，則兩個函數相差一個常數）
不妨令，故存在，使得恒成立，故D正確.
故選：AD
6．CD
【分析】AB選項，可舉出反例；CD選項，利用指數函數單調性可進行判斷.
【詳解】A選項，若，則A錯誤，
B選項，等價為，當時不成立，故B錯誤，
C選項，因為在R上單調遞增，而，所以，C正確；
D選項，因為在R上單調遞增，而，所以，D正確.
故選：CD
7．ABD
【分析】根據的關系與各圖形一個個檢驗即可判斷．
【詳解】當時，A正確；當時，B正確；
當時，D正確；當時，無此選項．
故選：ABD．
8．（，）（答案不唯一）
【分析】根據可知為指數函數，將其做相應的變化符合是偶函數即可.
【詳解】若滿足①對任意的有成立，
則對應的函數為指數函數的形式；
若滿足②為偶函數，只需要將加絕對值即可，
所以滿足①②兩個條件的函數可以是：（，）.
故答案為：（，）（答案不唯一）
9．
【分析】由題意可知此命題的否定為真命題，從而可求出的取值范圍.
【詳解】因為“，”是假命題，
所以“，”是真命題，即在上恒成立，
因為在上單調遞增，所以，
則.
故答案為：.
10．4
【分析】在同一坐標系內作出與的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得與的圖象所有交點的橫坐標之和.
【詳解】函數是偶函數，圖象對稱軸為，則函數的圖象有對稱軸，
所以函數的圖象有對稱軸，
，時，在上單調遞減且，
定義在R上的偶函數滿足，
則函數有對稱軸，又當時，，
在同一坐標系在內作出與的圖象，
由圖象可得，與的圖象有4個交點，
又與的圖象均有對稱軸，
則兩函數所有交點的橫坐標之和為4.
故選：B
11．（1），（2）
【分析】（1）利用奇函數的性質進行計算．
（2）利用換元法結合一元二次函數的性質求出當時的取值范圍，再根據奇函數的性質，即可求出函數的值域．
【詳解】解：（1）因為函數定義在上有恒成立
所以函數為奇函數，又當時，
所以．
當時，則．所以，
因為是定義在上的奇函數，
所以，即．
所以函數的解析式為．
（2）令，當時，，
則當時，可寫為，所以．
由是定義在上的奇函數，所以當時．
即函數的值域為．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由指數函數定義可直接構造方程組求得，進而得到所求解析式；
（2）將不等式化為，根據對數函數單調性和定義域要求可構造不等式組求得結果.
【詳解】（1）為指數函數，
，解得：，
.
（2）由（1）知：，
，解得：，
的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·寧夏石嘴山·三模）定義在R上的偶函數滿足，且當 時，，若關于x的方程恰有5個實數解，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）若實數，滿足，，，則（ ）
A．且 B．的最小值為
C．的最小值為7 D．
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）若，滿足約束條件，則的最大值為 ．
四、解答題
4．（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知關于x的不等式的解集為．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
參考答案：
1．A
【分析】通過已知得出的兩條對稱軸為直線，直線，由此可在同一平面內作出函數與函數的圖象，結合已知列出不等式組即可求解.
【詳解】因為，所以的圖象關于直線對稱，
又是定義在R上的偶函數，所以的圖象關于直線對稱，
作出函數與函數的圖象如圖所示，

若關于x的方程恰有5個實數解，
則函數與函數的圖象有5個交點，
所以，解得.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得出函數的對稱性，由此通過數形結合即可順利得解.
2．AD
【分析】根據指數函數的性質判斷A，利用基本不等式判斷BC，根據指數冪的運算判斷D；
【詳解】對于A：因為，若，則，又，顯然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正確；
對于B：，即，所以，
當且僅當，即，時取等號，即的最大值為，故B錯誤；
對于C：
，
當且僅當，即，時取等號，故C錯誤；
對于D：，
因為，所以，即，即，
即，因為，所以，即，故D正確；
故選：AD.
3．16
【分析】畫出不等式組表示的可行域，分析的最值，再根據指數函數單調性即可求出的最大值.
【詳解】由不等式組得到表示的區域為如圖所示：
令，作直線，并平移，
當直線過點時，目標函數有最大值，
聯立解得：，則點，
因為在單調遞增，
所以有最大值，
故答案為：16.
4．(1)
(2)．
【分析】（1）利用整體思想解不等式，結合指數函數的單調性求解集即可；
（2）結合（1）及條件可得，靈活運用“1”化簡問題式，利用換元法及二次函數的單調性求最值即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
即，
即，
解之得，
∵，當且僅當取得等號，
∴，
解得，
由在R上單調遞增可得，
故．
（2）∵，且，，
則，
由，兩邊平方得，，
所以
，
不妨令，則，當且僅當時等號成立，
所以，
由二次函數的單調性可知，當時取得等號，
綜上，當時取到最小值．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數，，正實數a，b，c滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·河北石家莊·模擬預測）下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2021·北京西城·二模）已知函數其中且.給出下列四個結論：
①若，則函數的零點是；
②若函數無最小值，則的取值范圍為；
③若，則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
④若關于的方程恰有三個不相等的實數根，則的取值范圍為，且的取值范圍為.
其中，所有正確結論的序號是 .
參考答案：
1．B
【分析】由可得，結合可判斷b的范圍，再由可得，結合可判斷a，c大小關系，進而可得答案.
【詳解】由題得，，
由，得，即，所以．
由，得，
因為，，所以，
又，所以，所以．
由，得，即．
易知，所以，所以，故．
又，所以，所以，
所以，所以，所以．
故選：B．
【點睛】思路點睛：比較大小常用方法：
（1）同構函數，利用單調性比較；
（2）取中間值進行比較；
（3）利用基本不等式比較大小；
（4）利用作差法比較大小.
2．BD
【分析】根據指對數的運算律，分析每個不等式，判斷正誤.
【詳解】因為，所以，A錯誤；
因為，，所以，B正確；
因為，，
所以，C錯誤；
因為，所以，D正確.
故選：BD.
3．①④
【分析】分，， ，四種情況作出函數的簡圖，然后對四個結論逐一判斷正誤.
【詳解】對于①：當時，顯然，當時，無零點；
當時，由可得，所以的零點是0. 故①正確；
對于②：
當時，簡圖如下：
當時，簡圖如下：
當時，簡圖如下：
當時，簡圖如下：
由圖可知，若無最小值，則或. 故②錯誤；
對于③：由圖可知，在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增. 故③錯誤；
對于④：由圖可知，只有當且即時，方程才有三個不相等的實數根. 不妨設三個根由小到大依次為，，，顯然. 由得，故，且，
所以，故，從而. 故④正確.
故答案為：①④.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是：分，， ，四種情況作出函數的簡圖.
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