資源簡介

專題03 不等關系與不等式性質（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 5
【考點1】比較數(式)的大小 5
【考點2】不等式的基本性質 11
【考點3】不等式性質的綜合應用 16
【分層檢測】 19
【基礎篇】 19
【能力篇】 25
【培優篇】 27
考試要求：
1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
1.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性質
(1)對稱性：a＞b b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
2.有關分式的性質
(1)若a>b>0，m>0，則<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
一、單選題
1．（2019·全國·高考真題）若a>b，則
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
2．（2018·全國·高考真題）設，，則
A． B．
C． D．
3．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·遼寧·模擬預測）已知，下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
6．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】本題也可用直接法，因為，所以，當時，，知A錯，因為是增函數，所以，故B錯；因為冪函數是增函數，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．
【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數是增函數，，所以，故選C．
【點睛】本題主要考查對數函數性質、指數函數性質、冪函數性質及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養，利用特殊值排除即可判斷．
2．B
【詳解】分析：求出，得到的范圍，進而可得結果．
詳解：.
,即
又
即
故選B.
點睛：本題主要考查對數的運算和不等式，屬于中檔題．
3．C
【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質推理判斷C.
【詳解】對于ABD，取，滿足，
顯然，，，ABD錯誤；
對于C，，則，C正確.
故選：C
4．BC
【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
5．AC
【分析】對于A：根據不等式的性質分析判斷；對于BD：舉反例說明即可；對于C：結合指數函數單調性分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，可得，故A正確；
對于選項B：例如滿足，但，故B錯誤；
對于選項C：因為在上單調遞增，且，所以，故C正確；
對于選項D：例如滿足，
但，即，故D錯誤；
故選：AC.
6．
【分析】先得到，并根據得到，從而求出.
【詳解】因為，故，
由得，解得，
故.
故答案為：
【考點1】比較數(式)的大小
一、單選題
1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·廣東廣州·一模）若正實數a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）已知,,則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·廣東肇慶·二模）已知正數滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·內蒙古赤峰·一模）已知，，，則的大小關系是 .
6．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則 ．
參考答案：
1．B
【分析】通過作差法，，確定符號，排除D選項；
通過作差法，，確定符號，排除C選項；
通過作差法，，確定符號，排除A選項；
【詳解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故選：B.
2．D
【分析】根據函數單調性及得到或，分別討論兩種情況下四個選項是否正確，A選項可以用對數函數單調性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差法及指數函數單調性進行求解，D選項，需要構造函數進行求解.
【詳解】因為，為單調遞增函數，故，由于，故，或，
當時，，此時；
，故；
，；
當時，，此時，，故；
，；
故ABC均錯誤；
D選項，，兩邊取自然對數，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，
設（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調遞減，因為，所以，結論得證，D正確
故選：D
3．BC
【分析】兩式平方再作差,利用基本不等式即可得大小關系,進而得選項A,B正誤,兩式相除,由于,將分子分母同時除以,再利用基本不等式即可求出其范圍.
【詳解】解:由題知,
所以,
當且僅當時取等,
因為,所以,
即,故,
即選項A錯誤,選項B正確;
因為,
所以,
當且僅當,即時取等,
所以可得,
故選項C正確,選項D錯誤.
故選:BC
4．AC
【分析】將已知轉化為，通過構造函數法，結合導數判斷當時，，進而構造函數，根據單調性即可判斷選項CD；同理利用構造函數和求導即可判斷AB.
【詳解】因為，，，
所以，
所以，
構造
，
所以，
當，即時，
分析即可，
所以在上單調遞減，
所以，所以，
所以，
所以，
由，
所以，
構造，，
則，
所以在上單調遞增，
所以由得，
所以，
故此時， D選項錯誤；
當時，，此時，
所以可能成立，故C選項可能正確，
由，即，
構造，
所以，設，
當時，，所以在單調遞減，在上單調遞增，
且，所以當時，
即，
所以，
構造，
則，所以在上單調遞增，
所以，故A可能正確，B項錯誤；
故選：AC
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數思想與邏輯推理能力，屬于難題.注意事項：利用構造法，關鍵在于構造函數以及，利用導數以及參數的范圍進行判斷.
5．
【分析】構造函數，利用函數的單調性比較出與的大小，再用作差比較出與的大小，即可得出結果.
【詳解】根據題意，設，則其導數.
令，
故在區間上，恒成立，則有，即恒成立
在上恒成立，函數在上單調遞減，
則有，即
又，而，
，即
故答案為：
【點睛】方法點睛：構造適當的函數，利用函數的單調性來比較大小是一種常用的方法.
6．（答案不唯一）
【分析】根據冪函數的性質可寫出一個符合①②的冪函數，利用作差法說明其也滿足③，即可得答案.
【詳解】由題意可知的定義域為，且在上為增函數；
下面證明該函數滿足③：
取任意的，，
，
則，
當且僅當時取等號，
即，即滿足③，
故答案為：
反思提升：
1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.
2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論.
3.函數的單調性法：將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數單調性得出大小關系.
4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.
【考點2】不等式的基本性質
一、單選題
1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·一模）設則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2021·江蘇揚州·模擬預測）已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現了數學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
5．（2023·山西大同·模擬預測）已知，，，，則的最小值為 ．
6．（2024·河北承德·二模）已知等差數列（公差不為0）和等差數列的前項和分別為，如果關于的實系數方程有實數解，則以下1003個方程中，有實數解的方程至少有 個.
參考答案：
1．A
【分析】根據不等式的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；
反之：由，可得，又因為，所以，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要條件.
故選：A.
2．B
【分析】利用導數證明不等式，可得；根據不等式的性質可證得，則，即可求解.
【詳解】對于函數，，
令，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則，即.
所以，.
由，得，所以，則，
所以，即.
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：對于比較實數大小方法：
（1）利用基本函數的單調性，根據函數的單調性判斷，
（2）利用中間值“1”或“0”進行比較，
（3）構造函數利用函數導數及函數單調性進行判斷.
3．AC
【分析】對四個選項一一驗證：
對于A：利用為增函數直接證明；
對于B：取特殊值判斷；
對于C：若時，利用同向不等式相乘判斷；若時，有，直接判斷；若時，利用不等式的乘法性質進行判斷
對于D：取特殊值判斷；
【詳解】對于A：因為兩個不為零的實數，滿足，所以，而為增函數，所以，即；故A正確；
對于B：可以取，則有，所以；故B不正確；
對于C：若時，則有根據同向不等式相乘得：，即成立；
若時，有，故成立；
若時，則有，，因為，所以，即成立；
故C正確；
對于D：可以取，則有，所以；故D不正確；
故選：AC
【點睛】（1）判斷不等式是否成立：①利用不等式的性質或定理直接證明；②取特殊值進行否定，用排除法；
（2）多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證．
（3）要證明一個命題是真命題，需要嚴格的證明；要判斷一個命題是假命題，只需要舉一個反例否定就看可以了.
4．BC
【分析】通過取特殊值確定AD錯誤，通過證明當時，，由此證明B，通過證明時，，由此證明C.
【詳解】選項：，當時不成立，A錯誤
B選項：等價于，
故要證明只需證明，且，
只需證明，只需證明，
故考慮構造函數，則，
當時，，函數在上單調遞減，
當時，，函數在上單調遞增，
所以當時，，即，當且僅當時取等號，
當時，，
將中的替換為，
可得，即，
所以，，，，
所以，B選項正確
選項，設，則，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，，函數在上單調遞減，
所以當時，，即，當且僅當時取等號，
將中的替換為，因為，
所以
所以，
又，
所以，
當時，，
故，C正確；
選項：因為，D錯誤，
故選：BC.
【點睛】在進行類比推理時，要盡量從本質上去類比，不要被表面現象所迷惑；否則只抓住一點表面現象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤．
5．
【分析】由已知可得，結合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【詳解】因為，，
所以，又，，
所以，當且僅當時取等號．
所以，當且僅當時取等號．
所以的最小值為.
故答案為：.
6．
【分析】依題意，由等差數列的性質及求和公式得到，想要有實根，則，結合根的判別式與基本不等式得，中至少一個成立，同理得到，中至少一個成立，，，中至少一個成立，且，即可解決問題.
【詳解】由題意得，，
又因為，，
代入得，要使方程有實數解，則，
顯然第個方程有解，設方程與方程的判別式分別為，
則
即，等號成立的條件，
所以，中至少一個成立，
同理可得，中至少一個成立，，，中至少一個成立，且，
綜上，在所給的1003個方程中，有實根的方程最少個，
故答案為：.
反思提升：
解決此類題目常用的三種方法：
(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
(2)利用特殊值法排除錯誤答案；
(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數、對數、冪函數等函數的單調性進行判斷.
【考點3】不等式性質的綜合應用
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（20-21高三上·江蘇·階段練習）已知實數x，y滿足則（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
4．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（21-22高三·云南昆明·階段練習）已知實數，，滿足則的取值范圍是 ．（用區間表示）
6．（2022·上海普陀·一模）設二次函數，若函數的值域為，且，則的取值范圍為 .
參考答案：
1．B
【分析】利用方程組以及不等式的性質計算求解.
【詳解】設，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D錯誤.
故選：B.
2．C
【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉化為關于的代數式，利用函數的單調性去求的取值范圍即可解決
【詳解】由，可得，
則，則，令，則
，
又在單調遞增，在單調遞減
，，
則，即
故選：C
3．ABD
【解析】利用不等式的性質直接求解.
【詳解】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；
因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；
因為，所以，則，故C錯誤；
因為，所以，則，故D正確.
故選：ABD.
4．AC
【分析】根據不等式的性質，變形求解.
【詳解】，兩式相乘得，所以，A正確；
由題得，又，兩式相乘得，所以，B錯誤；
因為，所以兩式相乘得，C正確；
因為，所以兩式相乘得，D錯誤．
故選：AC
5．
【分析】直接用表示出，然后由不等式性質得出結論．
【詳解】,
則解得，則，
又，
∴，
即，
故答案為：．
6．[1,13]
【分析】根據二次函數的性質和已知條件得到m與n的關系，化簡后利用不等式即可求出其范圍.
【詳解】二次函數f(x)對稱軸為，
∵f(x)值域為，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案為：[1,13].
反思提升：
利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·上海金山·二模）若實數、滿足，則下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南長沙·模擬預測）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關系為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陜西西安·模擬預測）若，則有（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（21-22高三上·湖北·階段練習）下列命題成立的是（ ）
A．若，，則
B．若不等式的解集是，則
C．若，，則
D．若a，b滿足，則的取值范圍是
6．（2023·山東·二模）已知實數滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南長沙·二模）已知實數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（20-21高一上·湖北武漢·期中）購買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價格的升降，甲策略是每次購買這種物品的數量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數一定，則 種購物策略比較經濟.
9．（2022·全國·模擬預測）已知實數、滿足，，則的取值范圍為 ．
10．（2022·四川瀘州·三模）已知x，，滿足，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中一定成立的結論是 （寫出所有成立結論的編號）．
四、解答題
11．（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習）（1）已知，求的取值范圍.
（2）比較與的大小，其中.
12．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習）已知實數，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
參考答案：
1．D
【分析】對于D，結合對數函數的單調性即可判斷；對于ABC，取，即可判斷.
【詳解】由題意，，所以，故D正確；
當，時，，但，，，故A，B，C錯誤.
故選：D.
2．D
【分析】平均速度等于總路程除以總時間
【詳解】設從甲地到乙地的的路程為s，從甲地到乙地的時間為t1，從乙地到甲地的時間為t2，則
，，，
∴，，
故選:D.
3．B
【分析】根據的特點，構造函數，判斷其單調性，得到，故有，再運用作差法比較即得.
【詳解】設，則，
當時，，在上遞增；
當時，，在上遞減,
故.
則，即；
由可知，故.
故選：B.
4．B
【分析】由題意首先得，進一步，從而我們只需要比較的大小關系即可求解，兩式作商結合基本不等式、換底公式即可比較.
【詳解】，所以，
，
又因為，
所以，即.
故選：B.
5．BC
【分析】根據不等式的性質、一元二次不等式的解法、基本不等式等知識對選項進行分析，由此確定正確選項.
【詳解】對于A，取，，，，則，則A錯誤；
對于B，方程的兩根分別為1和2，則，，解得，，所以，則B正確；
因為，，所以，則C正確；
由，，得，又，所以，即的取值范圍是，則D錯誤.
故選：BC
6．BC
【分析】根據已知等式可確定，結合不等式性質和作差法依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，，，A錯誤；
對于B，，，，，，，
，即，B正確；
對于C，，，，即，C正確；
對于D，，D錯誤.
故選：BC.
7．BCD
【分析】根據不等式的性質對各個選項驗證.
【詳解】因為，所以有，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D正確．
故選：BCD．
8．乙
【分析】設第一次和第二次購物時價格分別為，每次購n，根據條件，求得按甲策略購買的平均價格x，若按第二種策略，設每次花錢m元錢，則可求得按乙策略購買的平均價格y，利用作差法，即可比較x，y的大小，進而可求得答案.
【詳解】設第一次和第二次購物時價格分別為，
按甲策略，每次購n，按這種策略購物時，兩次的平均價格，
按乙策略，第一次花m元錢，能購物物品，第二次仍花m元錢，能購物物品，
兩次購物的平均價格，
比較兩次購物的平均價格 ，
因為甲策略的平均價格不小于第乙種策略的平均價格，所以用第二種購物方式比較經濟，
故答案為：乙.
9．
【分析】設，利用待定系數法求出的值，然后根據不等式的性質即可求解.
【詳解】解：設，則，解得，
所以，
因為，，
所以，，
所以，
故答案為：.
10．①④
【分析】根據基本不等式，結合特殊值法逐一判斷即可.
【詳解】①：因為，
所以有，故本結論一定成立；
②：當時，顯然成立，但是不成立，故本結論不一定成立；
③：當時，顯然成立，但是不成立，故本結論不一定成立；
④：因為，所以，由①可知：
，
所以，因此本結論一定成立，
故答案為：①④
11．（1）； （2）.
【分析】根據不等式的基本性質，逐個運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，可得，
因為，所以，即的取值范圍為.
（2）解：由，，
因為，所以，
故.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據不等性質變形證明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，進而得解.
【詳解】（1）證明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
（2）解：由且，得，且，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·江西·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（21-22高一上·重慶·期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．，則 D．若，則
三、填空題
3．（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·一模）已知，求證：
(1)；
(2).
參考答案：
1．A
【分析】利用不等式的基本性質可得出、的大小關系，利用函數在上的單調性可得出、的大小關系，綜合可得出、、的大小關系.
【詳解】因為，，則，
所以，，
構造函數，其中，則，
所以，函數在上為增函數，所以，，即，
所以，，故.
故選：A.
2．ABC
【分析】根據不等式的性質判斷AD，結合作差法比較大小判斷BC.
【詳解】解：對于A選項，因為，故，故，正確；
對于B選項，由于，，故，，故，即，正確；
對于C選項，由于，故，故，即，正確；
對于D選項，當時，，故錯誤.
故選：ABC
3．
【分析】
根據題意，將原不等式分離參數，然后換元，由函數的單調性可得最值，即可得到結果.
【詳解】
原不等式等價于，
令.
令，且，
則在上單調遞減，
.
故的范圍是.
故答案為：
4．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）構造基本不等式即可證明；（2）利用作商法證明.
【詳解】（1）
又因為c>0，所以，
=，（當且僅當時，“=”成立）.
即證.
（2）因為.
因為0，，（>1.
同理>1，
>1，故.
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c滿足，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
2．（2023·江蘇南通·二模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】構造函數，利用其單調性，分，，討論即可.
【詳解】由題意得，即，則，則，
令，根據減函數加減函數為減函數的結論知：
在上單調遞減，
當時，可得，，兩邊同取以5為底的對數得
，對通過移項得，
兩邊同取以3為底的對數得，
所以，所以 ，所以，且，
故此時，，故C,D選項錯誤，
時，，
，且，故A錯誤,
下面嚴格證明當時，，，
根據函數在上單調遞增，且，
則當時，有，
，，
下面證明：，
要證：，
即證：，等價于證明，
即證：，此式開頭已證明，
對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得
，
則
故當時，，則
當時，可得，，兩邊同取以5為底的對數得
，對通過移項得，
兩邊同取以3為底的對數得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此時，，
下面嚴格證明當時，，
當時，根據函數，且其在上單調遞減，可知
，則，則，
根據函數函數在上單調遞增，且，
則當時，，
下面證明：，
要證：
即證：，等價于證，
即證：，此式已證明，
對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得
，
則，
故時，，則
當時，，則，，
綜上，，
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵在于構造函數，利用其單調性及，從而得到之間的大小關系，同時需要先求出的范圍，然后再對進行分類討論.
2．ABD
【分析】證明，放縮可判斷A，由，放縮可判斷B，先證出，再放縮，根據再放縮即可判斷C，可得，令，轉化為，構造，利用導數判斷單調性求函數最小值即可判斷D.
【詳解】由，可得，
，
令，則，當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，所以，即，
由知，A正確；
由可得，可得（時取等號），
因為，所以，B正確；
時，，則，
，C錯誤；
，
令，則，
，
在單調遞增，，，故D正確.
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：比較式子的的大小，要善于對已知條件變形，恰當變形可結合，，放縮后判斷AB選項，變形，再令，變形，是判斷D選項的關鍵，變形到此處，求導得最小值即可.
3．/0.2
【分析】利用換元法可得，進而根據不等式的性質，分情況討論求解.
【詳解】令其中，
所以，
若，則，故，
令，
因此,故,則，
若，則，即，
，
則,故,則，
當且僅當且時等號成立，
如取時可滿足等號成立，
綜上可知的最小值為，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，在和前提下進行合理分類討論，根據題意得到相對應的不等式組，注意題目的條件關鍵詞是“或”.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題03 不等關系與不等式性質（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】比較數(式)的大小 3
【考點2】不等式的基本性質 4
【考點3】不等式性質的綜合應用 5
【分層檢測】 6
【基礎篇】 6
【能力篇】 8
【培優篇】 8
考試要求：
1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
1.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性質
(1)對稱性：a＞b b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
2.有關分式的性質
(1)若a>b>0，m>0，則<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
一、單選題
1．（2019·全國·高考真題）若a>b，則
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
2．（2018·全國·高考真題）設，，則
A． B．
C． D．
3．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·遼寧·模擬預測）已知，下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
6．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
【考點1】比較數(式)的大小
一、單選題
1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·廣東廣州·一模）若正實數a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）已知,,則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·廣東肇慶·二模）已知正數滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·內蒙古赤峰·一模）已知，，，則的大小關系是 .
6．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則 ．
反思提升：
1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.
2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論.
3.函數的單調性法：將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數單調性得出大小關系.
4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.
【考點2】不等式的基本性質
一、單選題
1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·一模）設則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2021·江蘇揚州·模擬預測）已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現了數學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
5．（2023·山西大同·模擬預測）已知，，，，則的最小值為 ．
6．（2024·河北承德·二模）已知等差數列（公差不為0）和等差數列的前項和分別為，如果關于的實系數方程有實數解，則以下1003個方程中，有實數解的方程至少有 個.
反思提升：
解決此類題目常用的三種方法：
(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
(2)利用特殊值法排除錯誤答案；
(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數、對數、冪函數等函數的單調性進行判斷.
【考點3】不等式性質的綜合應用
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（20-21高三上·江蘇·階段練習）已知實數x，y滿足則（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
4．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（21-22高三·云南昆明·階段練習）已知實數，，滿足則的取值范圍是 ．（用區間表示）
6．（2022·上海普陀·一模）設二次函數，若函數的值域為，且，則的取值范圍為 .
反思提升：
利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·上海金山·二模）若實數、滿足，則下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南長沙·模擬預測）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關系為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陜西西安·模擬預測）若，則有（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（21-22高三上·湖北·階段練習）下列命題成立的是（ ）
A．若，，則
B．若不等式的解集是，則
C．若，，則
D．若a，b滿足，則的取值范圍是
6．（2023·山東·二模）已知實數滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南長沙·二模）已知實數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（20-21高一上·湖北武漢·期中）購買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價格的升降，甲策略是每次購買這種物品的數量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數一定，則 種購物策略比較經濟.
9．（2022·全國·模擬預測）已知實數、滿足，，則的取值范圍為 ．
10．（2022·四川瀘州·三模）已知x，，滿足，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中一定成立的結論是 （寫出所有成立結論的編號）．
四、解答題
11．（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習）（1）已知，求的取值范圍.
（2）比較與的大小，其中.
12．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習）已知實數，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·江西·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（21-22高一上·重慶·期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．，則 D．若，則
三、填空題
3．（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·一模）已知，求證：
(1)；
(2).
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c滿足，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
2．（2023·江蘇南通·二模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為 ．
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