資源簡介

專題02 常用邏輯用語（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】充分、必要條件的判定 4
【考點2】充分、必要條件的應用 5
【考點3】全稱量詞與存在量詞 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.
2.理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系.
3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對兩種命題進行否定.
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 pq且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示.
(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示.
3.全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中的任意一個x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
1.區別A是B的充分不必要條件(A B且B A)，與A的充分不必要條件是B(B A且AB)兩者的不同.
2.充要關系與集合的子集之間的關系，設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.
(2)若A是B真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.
(3)若A＝B，則p是q的充要條件.
3.p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.
4.含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”.
5.對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.
6.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2023·全國·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
5．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2021·全國·高考真題）等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
9．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2021·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【考點1】充分、必要條件的判定
一、單選題
1．（2024·北京海淀·一模）設是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·模擬預測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）已知中角，的對邊分別為，，則可作為“”的充要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·吉林長春·模擬預測）已知函數，設，則成立的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）“函數的圖象關于中心對稱”是“”的 條件．
6．（2021·陜西渭南·二模）下列四個命題是真命題的序號為 .
①命題“”的否定是“”.
②曲線在處的切線方程是.
③函數為增函數的充要條件是.
④根據最小二乘法，由一組樣本點()(其中)求得的線性回歸方程是，則至少有一個樣本點落在回歸直線上.
反思提升：
充分條件、必要條件的兩種判定方法：
(1)定義法：根據p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.
(2)集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.
【考點2】充分、必要條件的應用
一、單選題
1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·湖南·階段練習）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2021·福建寧德·模擬預測）已知命題：關于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·廣東·模擬預測）已知函數，則過點恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·吉林長春·模擬預測）設命題，命題．若q是p的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是 ．
6．（2024·上海普陀·二模）設等比數列的公比為，則“，，成等差數列”的一個充分非必要條件是 .
反思提升：
充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.
(2)要注意區間端點值的檢驗.
【考點3】全稱量詞與存在量詞
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）下列命題中，真命題是（ ）
A．“”是“”的必要條件
B．
C．
D．的充要條件是
2．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習）已知，，則是方程的解的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
4．（2023·山西·模擬預測）下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數
B．若命題“，”是假命題，則
C．設，，則“，且”是“”的必要不充分條件
D．，
三、填空題
5．（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意，”為假命題，則實數a的取值范圍是 ．
6．（2024·遼寧·模擬預測）命題：存在，使得函數在區間內單調，若的否定為真命題，則的取值范圍是 .
反思提升：
(1)含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結論.
(2)判定全稱量詞命題“ x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“ x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個x，使p(x)成立即可.
(3)由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的范圍；二是利用等價命題，即p與p的關系，轉化成p的真假求參數的范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
2．（2023·四川瀘州·一模）已知命題，，命題，，則下列命題是真命題的為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知向量，，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·四川成都·模擬預測）設公差不為0的無窮等差數列的前項和為，則“為遞減數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（2021·遼寧·模擬預測）已知命題：，，若為真命題，則的值可以為（ ）
A． B． C．0 D．3
6．（2021·江蘇·一模）下列選項中，關于x的不等式有實數解的充分不必要條件的有（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）下列選項中，與“”互為充要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為 ．
9．（2024·遼寧大連·一模）“函數是奇函數”的充要條件是實數 ．
10．（2022·全國·模擬預測）已知“”是“”成立的必要不充分條件，請寫出符合條件的整數的一個值 .
四、解答題
11．（2023·河南南陽·模擬預測）設p：實數x滿足，q：實數x滿足．
(1)若，且p和q均為真命題，求實數x的取值范圍；
(2)若且是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
12．（2023·重慶酉陽·一模）命題：任意，成立；命題：存在，+成立.
(1)若命題為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若命題和有且只有一個為真命題，求實數的取值范圍.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川·模擬預測）已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·廣東梅州·一模）已知直線，和平面，，且，則下列條件中，是的充分不必要條件的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空題
3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命題中：
①若集合中只有一個元素，則；
②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實數a的取值范圍是；
③已知函數的定義域為，則函數的定義域為；
④函數在上單調遞增；
⑤方程的實根的個數是2.
所有正確命題的序號是 .
四、解答題
4．（2023·上海普陀·一模）設函數的表達式為.
(1)求證：“”是“函數為偶函數”的充要條件；
(2)若，且，求實數的取值范圍.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·上海松江·二模）設為數列的前項和，有以下兩個命題：①若是公差不為零的等差數列且，，則是的必要非充分條件；②若是等比數列且，，則的充要條件是.那么（ ）
A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題
二、多選題
2．（2023·江蘇南京·一模）同學們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現象中都有相似的曲線形態.事實上，這些曲線在數學上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關理論在工程、航海、光學等方面有廣泛的應用.在恰當的坐標系中，這類函數的表達式可以為（其中，是非零常數，無理數），對于函數以下結論正確的是（ ）
A．是函數為偶函數的充分不必要條件；
B．是函數為奇函數的充要條件；
C．如果，那么為單調函數；
D．如果，那么函數存在極值點.
3．（2022·全國·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．有零點的充要條件是 B．當且僅當，有最小值
C．存在實數，使得在R上單調遞增 D．是有極值點的充要條件
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題02 常用邏輯用語（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 10
【考點1】充分、必要條件的判定 10
【考點2】充分、必要條件的應用 13
【考點3】全稱量詞與存在量詞 17
【分層檢測】 20
【基礎篇】 21
【能力篇】 26
【培優篇】 29
考試要求：
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.
2.理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系.
3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對兩種命題進行否定.
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 pq且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示.
(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示.
3.全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中的任意一個x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
1.區別A是B的充分不必要條件(A B且B A)，與A的充分不必要條件是B(B A且AB)兩者的不同.
2.充要關系與集合的子集之間的關系，設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.
(2)若A是B真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.
(3)若A＝B，則p是q的充要條件.
3.p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.
4.含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”.
5.對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.
6.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2023·全國·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
5．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2021·全國·高考真題）等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
9．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2021·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
參考答案：
1．B
【分析】
根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.
【詳解】
當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
3．C
【分析】
解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】
解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
4．B
【分析】
根據充分、必要性定義判斷條件的推出關系，即可得答案.
【詳解】
由，則，當時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
5．A
【分析】由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為可得：
當時，，充分性成立；
當時，，必要性不成立；
所以當，是的充分不必要條件.
故選：A.
6．C
【分析】設等差數列的公差為，則，利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.
【詳解】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.
若為單調遞增數列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；
若存在正整數，當時，，取且，，
假設，令可得，且，
當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.
所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.
故選：C.
7．B
【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當數列為時，滿足，
但是不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數列，則必有成立，若不成立，則會出現一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
8．B
【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得兩者之間的條件關系.
【詳解】
如圖所示，,當時，與垂直，，所以成立，此時，
∴不是的充分條件，
當時，，∴,∴成立，
∴是的必要條件，
綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.
9．A
【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.
【詳解】若函數在上單調遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數，在為增函數，
故在上的最大值為推不出在上單調遞增，
故“函數在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，
故選：A.
10．A
【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.
【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；
若，則或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【考點1】充分、必要條件的判定
一、單選題
1．（2024·北京海淀·一模）設是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·模擬預測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）已知中角，的對邊分別為，，則可作為“”的充要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·吉林長春·模擬預測）已知函數，設，則成立的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）“函數的圖象關于中心對稱”是“”的 條件．
6．（2021·陜西渭南·二模）下列四個命題是真命題的序號為 .
①命題“”的否定是“”.
②曲線在處的切線方程是.
③函數為增函數的充要條件是.
④根據最小二乘法，由一組樣本點()(其中)求得的線性回歸方程是，則至少有一個樣本點落在回歸直線上.
參考答案：
1．A
【分析】通過面面平行的性質判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.
【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿足，
如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，
所以“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A.

2．B
【分析】由建立的等量關系，求解，從而判斷選項.
【詳解】因為，化簡得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B．
3．AB
【分析】
由三角形中的大邊對大角，利用正弦定理和三角函數的性質，結合充要條件的定義，判斷各選項的正誤
【詳解】中，由正弦定理可知，時有，時有，A選項正確；
余弦函數在上單調遞減，中，當時有，則有；當時有，則有，B選項正確；
中，當時有，當為鈍角，為銳角時，，C選項錯誤；
中，當時有，當為鈍角，為銳角時，，D選項錯誤.
故選：AB
4．CD
【分析】根據給定函數，探討函數的奇偶性，利用導數探討函數的單調性，再利用性質即可判斷作答.
【詳解】函數的定義域為，，
即函數是上的偶函數，當時，，
求導得，則函數在上單調遞增，
對于A，取，滿足，而，A不是；
對于B，取，滿足，而，B不是；
對于CD，，于是，由函數是偶函數得，CD是.
故選：CD
5．充分必要
【分析】先由函數的圖象關于中心對稱求得的值，再解方程求得的值，進而得到二者間的邏輯關系.
【詳解】函數圖象的對稱中心為，
所以由“函數y=tanx的圖象關于(x0,0)中心對稱”等價于“”．
因為等價于，即．
所以“函數的圖象關于中心對稱”是“”的是充分必要條件．
故答案為：充分必要
6．①②
【分析】①由含有一個量詞的命題的否定的定義判斷；②利用導數的幾何意義判斷；③利用分段函數的單調性求解判斷；④根據回歸直線恒過樣本中心，但樣本點不一定在回歸直線上判斷；
【詳解】①由含有一個量詞的命題的否定知：命題“”的否定是“”，故正確.
②因為，所以，所以曲線在處的切線方程是，故正確；
③若函數為增函數，則，解得，所以函數為增函數的充要條件是，故錯誤；
④回歸方程恒過樣本點的中心，但樣本點不一定落在回歸直線上，故錯誤；
故答案為：①②
反思提升：
充分條件、必要條件的兩種判定方法：
(1)定義法：根據p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.
(2)集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.
【考點2】充分、必要條件的應用
一、單選題
1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·湖南·階段練習）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2021·福建寧德·模擬預測）已知命題：關于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·廣東·模擬預測）已知函數，則過點恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·吉林長春·模擬預測）設命題，命題．若q是p的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是 ．
6．（2024·上海普陀·二模）設等比數列的公比為，則“，，成等差數列”的一個充分非必要條件是 .
參考答案：
1．D
【分析】首先轉化為存在量詞命題的否定，求參數的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.
【詳解】若命題“，”為假命題，
則命題的否定“，”為真命題，
即，恒成立，
，，當，取得最大值，
所以，選項中只有是的真子集，
所以命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為.
故選：D
2．C
【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據題意推出，由此列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意集合，
，
若，則，此時，
因為“”是“”的必要不充分條件，故,
故；
若，則，此時，
因為“”是“”的必要不充分條件，故,
故；
若，則，此時，滿足,
綜合以上可得，
故選：C
3．CD
【分析】求出命題p成立時a的取值范圍，再根據必要不充分條件的定義判斷即可．
【詳解】命題p：關于x的不等式的解集為R，
則，解得
又，，
故選：CD．
4．AB
【分析】設切點坐標為，則有，所以問題轉化為方程恰有兩個解，令，然后利用導數求解其零點即可.
【詳解】由，得，
設切點為，則切線的斜率為，
所以有，
整理可得：，
由題意可知：此方程有且恰有兩個解，令，
，
，
令，則，
所以在上單調遞增，因為，
所以當時，；當時，，
①當，即時，
當時，，則函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
當時，，則函數單調遞增，
所以只要或，即或；
②當，即時，
當時，，則函數單調遞增，
當時，函數單調遞減，
當時，，則函數單調遞增，
當時，，
所以只要或，由可得：，
由得；
③當時，，所以函數在上單調遞增，
所以函數至多有一個零點，不合題意；
綜上：當時，或；
當時，或，
所以選項A正確，B正確，C錯誤，D錯誤，
故選：AB
【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵是根據題意將問題轉化為方程恰有兩個解，構造函數，再次將問題轉化為此函數有兩個零點，然后利用導數通過分析其單調性可求得結果.
5．
【分析】化簡命題和，利用真子集關系列式可求出結果.
【詳解】由，得，即；
由，得，
因為q是p的必要不充分條件，所以是的真子集，
所以且兩個等號不同時取，解得.
故答案為：
6．（或,答案不唯一）
【分析】根據已知條件，結合等差數列、等比數列的性質，即可求解．
【詳解】，，成等差數列，
則，即，解得或，
故“，，成等差數列”的一個充分非必要條件是（或．
故答案為：（或,答案不唯一）
反思提升：
充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.
(2)要注意區間端點值的檢驗.
【考點3】全稱量詞與存在量詞
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）下列命題中，真命題是（ ）
A．“”是“”的必要條件
B．
C．
D．的充要條件是
2．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習）已知，，則是方程的解的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
4．（2023·山西·模擬預測）下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數
B．若命題“，”是假命題，則
C．設，，則“，且”是“”的必要不充分條件
D．，
三、填空題
5．（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意，”為假命題，則實數a的取值范圍是 ．
6．（2024·遼寧·模擬預測）命題：存在，使得函數在區間內單調，若的否定為真命題，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．B
【分析】舉反例來判斷ACD，利用指數函數的性質判斷B.
【詳解】對于A，當時，滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，故錯誤；
對于B，根據指數函數的性質可得，對于，即，故正確；
對于C，當時，，故錯誤；
對于D，當時，滿足，但不成立，故錯誤.
故選：B.
2．C
【分析】利用二次函數的圖象和性質，理解全稱量詞命題和存在量詞命題的真假以及充要條件的意義即可.
【詳解】因為，所以函數的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為：，函數的最小值為.
若“是方程的解”，則，那么就是函數的最小值，
所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分條件；
若“，”，則為函數的最小值，所以，即，
所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要條件.
綜上可知：“是方程的解”的充要條件是“，”.
故選：C
3．AD
【分析】根據含有一個量詞的命題的否定判斷A、B；C選項轉化為一元二次方程無實數解，用判別式計算的取值范圍；D選項轉化為二次不等式恒成立，計算參數的范圍.
【詳解】含有一個量詞的命題的否定，是把量詞改寫，再把結論否定，所以A正確，B不正確；
C選項，若為假命題，則的否定“”是真命題，即方程在實數范圍內無解，，得，C不正確；
D選項，，等價于，解得，D正確；
故選：AD.
4．ABD
【分析】根據函數奇偶性的定義即可判斷選項；根據特稱命題的的真假判斷選項；根據必要不充分條件的判斷即可判斷選項；根據等式的性質判斷選項.
【詳解】對于，函數的定義域為，且，所以函數為偶函數，故選項正確；
對于，若命題“，”是假命題，則恒成立，
所以，解得，故選項正確；
對于，若，且，則成立，反之不一定成立，例如：滿足，但是，故“，且”是“”充分不必要條件，故選錯誤；
對于，若，則，當時方程有解，所以，，故選項正確；
故選：.
5．
【分析】首先求命題為真命題時的取值范圍，再求其補集，即可求解.
【詳解】若命題“任意，”為真命題，則，
設，，，當時，等號成立，
由對勾函數的性質可知，當時，函數單調遞減，當單調遞增，
，，所以，
即，
所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.
故答案為：
6．
【分析】先給出命題p的否定，由函數的單調性進行求解.
【詳解】命題p的否定為：任意，使得函數在區間內不單調，
由函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則，而，
得，
故答案為：
反思提升：
(1)含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結論.
(2)判定全稱量詞命題“ x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“ x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個x，使p(x)成立即可.
(3)由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的范圍；二是利用等價命題，即p與p的關系，轉化成p的真假求參數的范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
2．（2023·四川瀘州·一模）已知命題，，命題，，則下列命題是真命題的為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知向量，，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·四川成都·模擬預測）設公差不為0的無窮等差數列的前項和為，則“為遞減數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（2021·遼寧·模擬預測）已知命題：，，若為真命題，則的值可以為（ ）
A． B． C．0 D．3
6．（2021·江蘇·一模）下列選項中，關于x的不等式有實數解的充分不必要條件的有（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）下列選項中，與“”互為充要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為 ．
9．（2024·遼寧大連·一模）“函數是奇函數”的充要條件是實數 ．
10．（2022·全國·模擬預測）已知“”是“”成立的必要不充分條件，請寫出符合條件的整數的一個值 .
四、解答題
11．（2023·河南南陽·模擬預測）設p：實數x滿足，q：實數x滿足．
(1)若，且p和q均為真命題，求實數x的取值范圍；
(2)若且是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
12．（2023·重慶酉陽·一模）命題：任意，成立；命題：存在，+成立.
(1)若命題為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若命題和有且只有一個為真命題，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】利用圓上恰存在三個點到直線的距離等于，等價于到直線：的距離為，從而利用點線距離公式與充分必要條件即可得解.
【詳解】因為圓：的圓心，半徑為，
當圓上恰存在三個點到直線的距離等于時，
則到直線：的距離為，
所以，解得，即必要性不成立；
當時，由上可知到直線：的距離為，
此時圓上恰存在三個點到直線的距離等于，即充分性成立；
所以“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的充分不必要條件.
故選：A.
2．A
【分析】判斷兩個命題的真假后逐項分析即可
【詳解】時，故假
時，故真
故為真
故選：A
3．B
【分析】利用向量數量積的坐標表示，結合充分性和必要性的定義求解即可.
【詳解】由題意，得，，
若，則，
即，解得，
所以“”推得出“”，即必要性成立，
但“”推不出 “”，即充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分條件．
故選：B．
4．C
【分析】根據等差數列的通項以及前項和的函數性質，即可結合充要條件的定義求解.
【詳解】因為是公差不為0的無窮等差數列，若“為遞減數列”，
可得的通項公式為一次函數且一次性系數小于0，一定存在正整數，
當時,有，故存在，當遠遠大于時， 時，此時，故充分性成立，
若存在正整數，當時，，故二次函數開口向下，
因此，故為遞減數列，故必要性成立.
故選：C．
5．BCD
【分析】
將條件轉化為對應方程有根問題，分和兩種情況，進行求解即可．
【詳解】
命題：，，為真命題，
即有根，
當時，成立，
當時，需滿足，解得且，
的取值范圍為，
故選：BCD．
6．AC
【分析】先找其充要條件，然后取它的子集.
【詳解】時必有解，當時，或，
故AC符合題意.
故選：AC
7．BC
【分析】求解各不等式判斷即可.
【詳解】對A，則，即，，解得，故A錯誤；
對B，則，故，解得，故B正確；
對C，則，解得，故C正確；
對D，，則，解得，故D錯誤.
故選：BC
8．
【分析】將問題轉化命題“，”是真命題求解.
【詳解】解：因為命題“，”是假命題，
所以命題“，”是真命題，
又當時，，
當且僅當，即時等號成立，
所以，
所以，
所以實數的取值范圍為，
故答案為：.
9．0
【分析】結合三角函數奇偶性、冪函數奇偶性以及奇偶性的定義即可運算求解.
【詳解】若函數是奇函數，
則當且僅當，
也就是恒成立，從而只能.
故答案為：0.
10．
【分析】先解出的解集，然后根據必要不充分條件判斷兩集合的包含關系即可求解.
【詳解】由，得,
令，，
“”是“”成立的必要不充分條件，.
（等號不同時成立），解得，故整數的值可以為.
故答案為：中任何一個均可.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）根據一元二次不等式求解p，q為真命題時的范圍，即可求解，
（2）根據充分不必要條件，即可列不等式求解.
【詳解】（1）當時，由，得，
解得，即p為真命題時，實數x的取值范圍是
由，解得，
即q為真命題時，實數x的取值范圍是．
所以若p，q均為真命題，則實數x的取值范圍為．
（2）由，得，
因為，所以，故p：．
若是的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，
所以，解可得．故實數a的取值范圍是
12．(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判別式求得m的取值范圍，進而得到q假的條件；
（2）求得p真的條件，由和有且只有一個為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的m的取值范圍，再取并集即得.
【詳解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一個為真命題，
真假，或假真，
或，
或或.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川·模擬預測）已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·廣東梅州·一模）已知直線，和平面，，且，則下列條件中，是的充分不必要條件的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空題
3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命題中：
①若集合中只有一個元素，則；
②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實數a的取值范圍是；
③已知函數的定義域為，則函數的定義域為；
④函數在上單調遞增；
⑤方程的實根的個數是2.
所有正確命題的序號是 .
四、解答題
4．（2023·上海普陀·一模）設函數的表達式為.
(1)求證：“”是“函數為偶函數”的充要條件；
(2)若，且，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】分離參數，求函數的最小值即可求解.
【詳解】因為命題“”為真命題，所以．
令與在上均為增函數，
故為增函數，當時，有最小值，即，
故選：A．
2．BCD
【分析】結合命題的充分不必要條件：由線面關系可得到A錯誤；由線面垂直的性質和判定可推出B正確；由線面平行的性質和判定可推出C正確；由面面垂直的性質和判定可推出D正確.
【詳解】A：若，，則直線，可能平行或異面，所以不能推出，故A錯誤；
B：若，則直線m垂直于平面的每一條直線，又，所以成立，
但若成立，根據線面垂直的判定，還需在平面找一條與n相交的直線，且m不在平面內，故q不能推出p，故B正確；
C：若，且，由面面平行的性質可知，成立；反之，由線面平行的判定可知當，不能推出，故C正確；
D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，則直線n與平面可能成任意角度，故D正確.
故選：BCD.
3．②③⑤
【分析】利用判別式可判斷①；利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷②；求出的定義域可判斷③；分離常量后根據反比例函數的單調性可判斷④；在同一坐標系中作出和的圖象可判斷⑤.
【詳解】對于①：時，；時，，則，故或1，
故錯誤；
對于②：p：，為假命題，則，為真命題，
故即，故正確；
對于③：，則，即的定義域為，故正確；
對于④：，其在上單調遞減，故錯誤；
對于⑤：在同一坐標系中作出和的圖象，觀察兩圖象有2個交點，
則方程的實根的個數是2，故正確.
故答案為：②③⑤.
4．(1)證明見解析；
(2)或.
【分析】（1）根據給定條件，利用偶函數的定義、結合充要條件的意義推理即得.
（2）利用偶函數性質及在的單調性求解不等式即可.
【詳解】（1）函數的定義域為R，不恒為0，
函數為偶函數
，
所以“”是“函數為偶函數”的充要條件.
（2）當時，，求導得，函數在R上單調遞增，
當時，，即函數在單調遞增，又是偶函數，
因此，
即，解得或，
所以實數的取值范圍是或.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·上海松江·二模）設為數列的前項和，有以下兩個命題：①若是公差不為零的等差數列且，，則是的必要非充分條件；②若是等比數列且，，則的充要條件是.那么（ ）
A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題
二、多選題
2．（2023·江蘇南京·一模）同學們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現象中都有相似的曲線形態.事實上，這些曲線在數學上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關理論在工程、航海、光學等方面有廣泛的應用.在恰當的坐標系中，這類函數的表達式可以為（其中，是非零常數，無理數），對于函數以下結論正確的是（ ）
A．是函數為偶函數的充分不必要條件；
B．是函數為奇函數的充要條件；
C．如果，那么為單調函數；
D．如果，那么函數存在極值點.
3．（2022·全國·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．有零點的充要條件是 B．當且僅當，有最小值
C．存在實數，使得在R上單調遞增 D．是有極值點的充要條件
參考答案：
1．C
【分析】根據題意，由等差數列和等差數列的前項和性質分析①的真假，由等比數列和等比數列的前項和性質分析②的真假，綜合可得答案.
【詳解】根據題意，對于命題①，是公差不為零的等差數列，
若，則在中，至少有一項為，
假設，則，
必有，
反之，在等差數列中，若，
則，有，則成立，
但不成立，
故是的必要非充分條件，故①正確；
對于命題②，若是等比數列，設其公比為，若，時，
有，則中，至少有一項為，則，
假設則有必有，
又由，必有為偶數且，故，
反之，若，則，必有，則有，，
則，
若是等比數列且，，則的充要條件是，
故②正確.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵點是，熟練掌握等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，從而分析得解.
2．BCD
【分析】根據奇偶函數的定義、充分條件和必要條件的定義即可判斷AB；利用導數，分類討論函數的單調性，結合極值點的概念即可判斷CD.
【詳解】對于A，當時，函數定義域為R關于原點對稱，
，故函數為偶函數；
當函數為偶函數時，，故，
即，又，故，
所以是函數為偶函數的充要條件，故A錯誤；
對于B，當時，函數定義域為R關于原點對稱，
，故函數為奇函數，
當函數為奇函數時，，
因為，，故.
所以是函數為奇函數的充要條件，故B正確；
對于C，，因為，
若，則恒成立，則為單調遞增函數，
若則恒成立，則為單調遞減函數，
故，函數為單調函數，故C正確；
對于D，，
令得，又，
若，
當，，函數為單調遞減.
當，，函數為單調遞增.函數存在唯一的極小值.
若，
當，，函數為單調遞增.
當，，函數為單調遞減.故函數存在唯一的極大值.
所以函數存在極值點，故D正確.
故答案為：BCD.
3．BCD
【分析】對于A，將函數有零點的問題轉化為方程有根的問題，根據一元二次方程有根的條件可判斷其正誤；對于B，分類討論a的取值范圍，利用導數判斷函數的最值情況；對于C，可舉一具體實數，說明在R上單調遞增，即可判斷其正誤；對于D，根據導數與函數極值的關系判斷即可.
【詳解】對于A，函數有零點方程有解，
當時，方程有一解；
當時，方程有解，
綜上知有零點的充要條件是，故A錯誤；
對于B，由得，
當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，
此時有最大值，無最小值；
當時，方程有兩個不同實根，，
當時，有最小值，當時，；當時，有最小值0；
當時，且當時，，無最小值；
當時，時，，無最小值,
綜上，當且僅當時，有最小值，故B正確；
對于C，因為當時，，在R上恒成立，此時在R上單調遞增，故C正確；
對于D，由知，當時，是的極值點，
當，時，和都是的極值點，
當時，在R上單調遞增，無極值點，
所以是有極值點的充要條件，故D正確，
故選:BCD.
【點睛】本題以函數為背景，考查二次函數、對數函數性質和利用導數研究函數單調性及最值，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數學抽象、邏輯推理和數學運算核心素養.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑