資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題01 集合（新高考專(zhuān)用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 8
【考點(diǎn)1】集合的基本概念 8
【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系 11
【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算 14
【分層檢測(cè)】 18
【基礎(chǔ)篇】 18
【能力篇】 25
【培優(yōu)篇】 28
考試要求：
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能在自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.
2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.
3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.
4.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集、交集與補(bǔ)集.
5.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算.
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
名稱(chēng) 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱(chēng)集合A為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA).
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運(yùn)算
集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集
符號(hào)表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運(yùn)算性質(zhì)
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè).
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國(guó)·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)1】集合的基本概念
一、單選題
1．（2023·江蘇·一模）設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
二、多選題
3．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）若對(duì)任意，，則稱(chēng)為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，，，則運(yùn)算可能是（ ）
A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法
三、填空題
5．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為 ．
6．（2023·湖北·二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱(chēng)組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為 ．
反思提升：
1.研究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.
【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，．若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西西安·期中）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．
B．集合
C．函數(shù)的值域?yàn)?br/>D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
4．（2024·甘肅定西·一模）設(shè)集合，則（ ）
A．
B．的元素個(gè)數(shù)為16
C．
D．的子集個(gè)數(shù)為64
三、填空題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，．若，則的最大值為 ．
6．（2021·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列．若集合，集合，集合（，），且，則 ．
反思提升：
1.若B A，應(yīng)分B＝ 和B≠ 兩種情況討論.
2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.
【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，則關(guān)于的表達(dá)方式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）圖中陰影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
三、填空題
5．（2020·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某單位周一、周二、周三開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)至多是 .
6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設(shè)表示不超過(guò)的正整數(shù)集合，表示k個(gè)元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則 ；若，則m的最大值為 ．
反思提升：
1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.
2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·重慶·三模）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·廣西·二模）若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
6．（20-21高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱(chēng)“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．若，則滿足戴德金分割
B．若為戴德金分割，則沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素
C．若為戴德金分割，則有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D．若為戴德金分割，則沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素
7．（23-24高一上·重慶永川·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．集合，，，若則或
B．設(shè)全集為，若，則
C．集合
D．“和都是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的必要不充分條件
三、填空題
8．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合，全集，則 ．
9．（2024·山東臨沂·一模）集合，，則 .
10．（2020·江蘇·一模）若，，則下圖中陰影表示的集合為 .
四、解答題
11．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，
.
(1)求;
(2)從下面（1）（2）中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
①；②；③.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，集合．
(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的值可能為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個(gè)數(shù)．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·上海普陀·一模）設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（21-22高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋铝薪Y(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
3．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的值是 ．
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【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 8
【考點(diǎn)1】集合的基本概念 8
【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系 11
【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算 14
【分層檢測(cè)】 18
【基礎(chǔ)篇】 18
【能力篇】 25
【培優(yōu)篇】 28
考試要求：
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能在自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.
2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.
3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.
4.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集、交集與補(bǔ)集.
5.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算.
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
名稱(chēng) 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱(chēng)集合A為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA).
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運(yùn)算
集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集
符號(hào)表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運(yùn)算性質(zhì)
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè).
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國(guó)·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類(lèi)，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．
故選：A．
2．B
【分析】
根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.
【詳解】
依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
3．A
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
4．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)椋?br/>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁剑挥惺共坏仁匠闪ⅲ裕?br/>故選：C．
5．B
【分析】
根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t有：
若，解得，此時(shí)，，不符合題意；
若，解得，此時(shí)，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
6．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因?yàn)椋剩蔬x：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．
7．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
8．A
【分析】先寫(xiě)出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
9．D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
10．B
【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
11．C
【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.
【詳解】任取，則，其中，所以，，故，
因此，.
故選：C.
12．B
【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可
【詳解】因?yàn)椋?
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.
【考點(diǎn)1】集合的基本概念
一、單選題
1．（2023·江蘇·一模）設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
二、多選題
3．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）若對(duì)任意，，則稱(chēng)為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，，，則運(yùn)算可能是（ ）
A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法
三、填空題
5．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為 ．
6．（2023·湖北·二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱(chēng)組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為 ．
參考答案：
1．B
【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)椋?br/>所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
3．ABD
【分析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，
可知，，為“影子關(guān)系”集合，
由，得或，當(dāng)時(shí)，，故不是“影子關(guān)系”集合．
故選：ABD
4．AC
【分析】先由題意設(shè)出，，然后分別計(jì)算，，，，即可得解.
【詳解】由題意可設(shè)，，其中，，，，
則，，所以加法滿足條件，A正確；，當(dāng)時(shí)，，所以減法不滿足條件，B錯(cuò)誤；
，，所以乘法滿足條件，C正確；，當(dāng)時(shí)，，所以除法不滿足條件，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
5．
【分析】
根據(jù)，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【詳解】由題意，所以或，則或，
所以實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
6．7
【分析】令，列舉出所有三元子集，結(jié)合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個(gè)數(shù).
【詳解】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，
所以的三元子集，如下共有35個(gè)：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿足要求的有：
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個(gè)元素.
故答案為：7
反思提升：
1.研究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.
【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，．若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西西安·期中）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．
B．集合
C．函數(shù)的值域?yàn)?br/>D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
4．（2024·甘肅定西·一模）設(shè)集合，則（ ）
A．
B．的元素個(gè)數(shù)為16
C．
D．的子集個(gè)數(shù)為64
三、填空題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，．若，則的最大值為 ．
6．（2021·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列．若集合，集合，集合（，），且，則 ．
參考答案：
1．D
【分析】先求集合A，確定即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為.
故選:D.
2．D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A，由題意可知，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
因?yàn)椋瑒t，所以．
故選：D．
3．BD
【分析】根據(jù)空集的定義判斷A，根據(jù)集合元素的特征判斷B，根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C，將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，
又，令，所以，，
即，
所以，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)椋蔆錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
且為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
故選：BD
4．BCD
【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，進(jìn)而求得集合，利用集合的交并運(yùn)算與常用數(shù)集的定義，結(jié)合集合子集個(gè)數(shù)的求法逐一分析各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】對(duì)于ABC，因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；
對(duì)于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.
故選：BCD.
5．
【分析】先求集合，對(duì)分類(lèi)討論，并結(jié)合，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，注意端點(diǎn)值能否取到．
【詳解】因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，若，則．
在數(shù)軸上表示出集合，，如圖，
則；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立．
綜上，的最大值為．
故答案為：
6．5
【解析】根據(jù)題意判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式（或），求出即可.
【詳解】由，其中，，
可得，則，令，或可得，①
令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，②
根據(jù)①②得出，所以；
令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，③
根據(jù)①③得出，所以；
同理令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，與①聯(lián)立可；
令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，與①聯(lián)立可；綜上所述.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)與集合相等，關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式（或），考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
反思提升：
1.若B A，應(yīng)分B＝ 和B≠ 兩種情況討論.
2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.
【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，則關(guān)于的表達(dá)方式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）圖中陰影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
三、填空題
5．（2020·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某單位周一、周二、周三開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)至多是 .
6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設(shè)表示不超過(guò)的正整數(shù)集合，表示k個(gè)元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則 ；若，則m的最大值為 ．
參考答案：
1．C
【分析】解絕對(duì)值不等式求出集合，求函數(shù)的定義域求得集合.由此求出，從而得到.
【詳解】由題意，得，，所以，所以.
故選：C．
2．B
【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據(jù)并集的定義計(jì)算可得．
【詳解】由得，解得，
所以．
由解得，即，
所以.
故選：B．
3．AB
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【詳解】由題意得，，
所以，
故AB正確，CD錯(cuò)誤，
故選：AB.
4．AC
【分析】利用維恩圖，根據(jù)交并補(bǔ)的混合運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】如圖，

對(duì)于A，，則，故A正確；
對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，故，故C正確；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，
故選：AC．
5．6
【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Venn圖的問(wèn)題，然后結(jié)合題意確定這三天都開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)至多幾人即可.
【詳解】如圖所示，（a+b+c+x）表示周一開(kāi)車(chē)上班的人數(shù)，（b+d+e+x）表示周二開(kāi)車(chē)上班人數(shù)，（c+e+f+x）表示周三開(kāi)車(chē)上班人數(shù)，x表示三天都開(kāi)車(chē)上班的人數(shù)，

則有：
，
即，
即，當(dāng)時(shí)，x的最大值為6，
即三天都開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)至多是6.
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題主要考查Venn圖的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
6． 22
【分析】
根據(jù)定義，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，表示有2個(gè)元素的集合，，
因?yàn)椋矣?個(gè)元素，
所以或或，所以；
由題中定義可知：，
于是由
，
而，
即，又因?yàn)椋?br/>所以m的最大值為，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義，運(yùn)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
反思提升：
1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.
2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·重慶·三模）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·廣西·二模）若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
6．（20-21高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱(chēng)“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．若，則滿足戴德金分割
B．若為戴德金分割，則沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素
C．若為戴德金分割，則有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D．若為戴德金分割，則沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素
7．（23-24高一上·重慶永川·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．集合，，，若則或
B．設(shè)全集為，若，則
C．集合
D．“和都是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的必要不充分條件
三、填空題
8．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合，全集，則 ．
9．（2024·山東臨沂·一模）集合，，則 .
10．（2020·江蘇·一模）若，，則下圖中陰影表示的集合為 .
四、解答題
11．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，
.
(1)求;
(2)從下面（1）（2）中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
①；②；③.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，集合．
(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，求解方程，得出集合，即可得出答案.
【詳解】若，解可得，或或，
所以.
若，則，所以，
所以.
故選：B.
2．D
【分析】根據(jù)包含關(guān)系，寫(xiě)出所有滿足條件的集合A即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以可以是，共8個(gè)，
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域確定集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榧希?br/>則.
故選：D．
4．A
【分析】借助元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由題意可得，解得.
故選：A.
5．ACD
【分析】根據(jù)Venn圖可知，依次判定選項(xiàng)即可.
【詳解】根據(jù)Venn圖可知，
對(duì)于A，顯然，故A正確；
對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，故C正確；
對(duì)于D，，或，
則，故D正確.
故選：ACD
6．BD
【分析】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；BD選項(xiàng)，可舉出例子；C選項(xiàng)，推理出，C錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，設(shè)，滿足，
此時(shí)為戴德金分割，且沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素，B正確；
C選項(xiàng)，若有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素，則，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)，滿足沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素，D正確.
故選：BD
7．BC
【分析】對(duì)于A：由，得出或等于2，分別求解，然后驗(yàn)證互異性即可判斷為錯(cuò)；對(duì)于B：由集合間的包含關(guān)系和補(bǔ)集的概念判斷正確；對(duì)于C：令集合中的，即可判定為正確；對(duì)于D，取特值即可判定為錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A：由，
若或1，
當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去；
若或2，
當(dāng)時(shí)，合題意，當(dāng)時(shí)，，合題意，
故或2，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則，B正確；
對(duì)于C：令集合中的，得，故C正確；
對(duì)于D：不是無(wú)理數(shù)，若為無(wú)理數(shù)，可取，和不都是無(wú)理數(shù)，故“和都是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò).
故選：BC.
8．
【分析】利用集合的補(bǔ)集求解.
【詳解】解：集合，全集，
所以，
故答案為：
9．
【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合，再解分式不等式求出集合，最后根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由，可得，則，
所以，
由，可得，等價(jià)于，解得，
所以，
所以，所以.
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)韋恩圖表示的是，再利用交集的定義計(jì)算即可.
【詳解】解：韋恩圖表示的是，由，，則.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，韋恩圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
11．(1)；
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）解不等式結(jié)合集合的運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）結(jié)合所選條件判定集合間的關(guān)系，注意分類(lèi)討論解含參不等式一一計(jì)算即可.
【詳解】（1）由，得，
由，即，
所以；
（2）因?yàn)榈膬筛謩e為，
若選擇①，由（1）得，，故.
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，不滿足.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
若選擇②，由（1）得，，故，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意;
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以;
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
若選擇③，由（1）得，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)成立，
滿足題意，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，顯然不滿足.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)，即可由交集為空集，分情況討論，
（2）根據(jù)真子集，即可列不等式求解.
【詳解】（1）由得，
由，
①若，即時(shí)，，符合題意；
②若，即時(shí)，需或，解得．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
（2）由已知A是B的真子集，知，且兩個(gè)端點(diǎn)不同時(shí)取等號(hào)，解得．
由實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的值可能為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個(gè)數(shù)．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)列舉法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.
【詳解】，
若要，
則需，
所以解得
所以，
所以.
故選：.
2．AB
【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的含有數(shù)0的單調(diào)區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系列式作答.
【詳解】依題意，，由，得：，
于是得的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，因在上為增函數(shù)，
因此，，即有，解得，
所以，選項(xiàng)C，D不滿足，選項(xiàng)A，B滿足.
故選：AB
3．
【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值為.
故答案為：.
4．(1)
(2)36
【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出公差和，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）先得到，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，，又，故，依次類(lèi)推，直至當(dāng)時(shí)，，故，結(jié)合集合中的元素互異，求出集合中元素個(gè)數(shù).
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可知，
因?yàn)椋?br/>所以，
解得，所以，
，故．
（2）因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，則，又，故；
當(dāng)時(shí)，，則，故；
當(dāng)時(shí)，，則，故；
當(dāng)時(shí)，，則，故，
依次類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，則，故，
由于集合中的元素互異，需要減去重復(fù)出現(xiàn)的元素，
所以集合中元素的個(gè)數(shù)為
個(gè)．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·上海普陀·一模）設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（21-22高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋铝薪Y(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
3．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的值是 ．
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對(duì)的取值由小到大進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中的條件是否滿足，即可得解.
【詳解】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.
①假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，則，
，這與矛盾；
②假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，，
，，，滿足題意.
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)最少為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合元素個(gè)數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對(duì)集合元素的個(gè)數(shù)由小到大進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)集合中的元素進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中條件是否成立即可.
2．ACD
【分析】先研究值域?yàn)闀r(shí)函數(shù)的定義域，再研究使得值域?yàn)榈煤瘮?shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】由于，
，，，，
即函數(shù)的定義域?yàn)?br/>當(dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有滿足，所以，故D正確；
當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí)，僅有滿足，所以，故C正確；
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋剩什灰欢ㄕ_，故A正確，B錯(cuò)誤；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．或3.
【分析】先判斷區(qū)間與的關(guān)系可得，再分析時(shí)定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點(diǎn)的不等式，進(jìn)而求得和即可.最后分析當(dāng)時(shí)，，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可
【詳解】先判斷區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)椋驶?因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，，故不成立；故.
再分析區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)椋驶?
①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)， ，因?yàn)椋蚀藭r(shí)，即，因?yàn)椋始矗剩獾茫驗(yàn)椋?此時(shí)區(qū)間在左側(cè)，在右側(cè).故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋剩?，此時(shí)，故，解得，因?yàn)椋剩?br/>②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得，故此時(shí)且，即且，所以，故，故，即，，因?yàn)椋剩?br/>綜上所述，或3
故答案為：或3.
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